2026年深圳市中考数学终极押题模拟卷一（含答案）

这是一份2026年深圳市中考数学终极押题模拟卷一（含答案），共14页。
A．39.94mmB．39.89mmC．40.04mmD．40.06mm
2．（3分）山西省怀仁市被誉为“中国北方日用瓷都”．如图所示的是当地生产的瓷器笔洗，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
3．（3分）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球B．黄球C．白球D．蓝球
4．（3分）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（ ）
A．50sin24°米B．50cs24°米
C．50sin24°米D．50cs24°米
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2＝x6B．（x2）3＝x6
C．x2•x3＝x6D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
6．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（ ）
A．180°﹣xB．90°+xC．90°﹣xD．180°﹣2x
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问7200文能买多少株橡？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．4(x−1)=7200xB．7200x−1=4
C．4x−1=7200xD．7200x=4
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△CDE沿CE折叠，使点D落在正方形ABCD的内部一点F处，则∠AFB的度数为（ ）
A．105°B．120°C．135°D．150°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）已知x＝2是关于x的方程5x﹣m＝8的解，则m的值是 ．
10．（3分）将点P（﹣2，3）向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得的点的坐标为 ．
11．（3分）计算3aa+1+3a+1的结果是 ．
12．（3分）如图，反比例函数y=−4x(x＞0)与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y=−4x(x＞0)的图象上，直线AB与y轴交于点C，连接OB，若AB＝3AC，则OB的长为 ．
13．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，点E在AD边上，连接OE，将线段OE绕着点O逆时针旋转90°得到线段OF（点F在矩形ABCD内部），连接AF，EF．若AB＝2，AD＝4，则△AEF面积的最大值是 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：(−1)2024×(3−π)0−38+(12)−1．
15．（7分）解不等式组：2x+4＜0x+82−2＞0．
16．（8分）一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生 人，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 元，中位数是 元；
（3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？
17．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示：
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式；在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一动点，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，BD交过点A的直线于点F，∠CAB＝∠F．且当CD＝8时，AE＝2．
（1）求证：直线AF是⊙O的切线；
（2）点G为AC的中点，当点C从A出发在⊙O上运动一周又回到点A处时，求点G经过的路径长；
（3）当CD=485时，过点A、O，D三点的圆交AF于点H．求FHAC的值．
19．（10分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F．
（1）如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之间的数量关系是 ；
（2）如图②，若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明；
（3）若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当AB=4，BE=12BC时，请直接写出EF的长．
2026年 深圳中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是40mm±0.05mm，这表示乒乓球的标准直径是40mm，允许偏差是±0.05mm．下面乒乓球的直径合格的是（ ）
A．39.94mmB．39.89mmC．40.04mmD．40.06mm
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格乒乓球的直径的范围，据此即可求得答案．
【解答】解：乒乓球的标准直径是40mm，允许偏差是±0.05mm，
则合格乒乓球的直径的范围为39.95mm～40.05mm，
那么只有40.04mm符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）山西省怀仁市被誉为“中国北方日用瓷都”．如图所示的是当地生产的瓷器笔洗，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】A
【分析】根据三视图的定义解答即可．
【解答】解：主视图和左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
3．（3分）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球B．黄球C．白球D．蓝球
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】利用概率公式求解即可．
【解答】解：在一个不透明的布袋内，有红球5个，白球1个，它们除颜色外、质地都相同，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
摸到红球的概率是：512，
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．
4．（3分）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（ ）
A．50sin24°米B．50cs24°米
C．50sin24°米D．50cs24°米
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出BC的值．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∠A＝24°，
∴sinA=BCAB=BC50，
∴BC＝50sinA＝50sin24°（米），
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2＝x6B．（x2）3＝x6
C．x2•x3＝x6D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、x4与x2不能合并，故A不符合题意；
B、（x2）3＝x6，故B符合题意；
C、x2•x3＝x5，故C不符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（ ）
A．180°﹣xB．90°+xC．90°﹣xD．180°﹣2x
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】过点G作GH∥AB，先证AB∥GH∥CD，则∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，进而得∠EGF＝∠BEG+∠DFG，再根据∠EGF＝90°，∠BEG＝x得∠DFG＝90°﹣x，然后根据∠CFG+∠DFG＝180°即可得出∠CFG的度数．
【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，
∴∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG，
即∠EGF＝∠BEG+∠DFG，
∵∠EGF＝90°，∠BEG＝x，
∴90°＝x+∠DFG，
∴∠DFG＝90°﹣x，
∵∠CFG+∠DFG＝180°，
∴∠CFG＝180°﹣∠DFG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问7200文能买多少株橡？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．4(x−1)=7200xB．7200x−1=4
C．4x−1=7200xD．7200x=4
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，根据“这批椽的价钱为7200文”、“每株椽的运费为4文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解．
【解答】解：设这批椽的数量为x株，
∵这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴4(x−1)=7200x，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意是解题的关键．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△CDE沿CE折叠，使点D落在正方形ABCD的内部一点F处，则∠AFB的度数为（ ）
A．105°B．120°C．135°D．150°
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由正方形的性质得BC＝DC，∠D＝∠BCD＝90°，由折叠得EC＝DC，FE＝DE，∠CFE＝∠D＝90°，∠DEC＝∠FEC=12∠DEF，∠DCE＝∠FCE=12∠DCF，则AE＝FE，BC＝EC，∠DEF＝2∠DEC，所以∠EFA＝∠EAF，∠CFB＝90°−12∠BCF，推导出∠EFA＝∠DEC＝90°−12∠DCF，求得∠CFB+∠EFA＝135°，进而求得∠AFB＝135°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E为AD边的中点，
∴BC＝DC，AE＝DE，∠D＝∠BCD＝90°，
由折叠得EC＝DC，FE＝DE，∠CFE＝∠D＝90°，∠DEC＝∠FEC=12∠DEF，∠DCE＝∠FCE=12∠DCF，
∴AE＝FE，BC＝EC，∠DEF＝2∠DEC，
∴∠EFA＝∠EAF，∠CFB＝∠CBF=12（180°﹣∠BCF）＝90°−12∠BCF，
∴∠DEF＝∠EFA+∠EAF＝2∠EFA，
∴2∠EFA＝2∠DEC，
∴∠EFA＝∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°−12∠DCF，
∴∠CFB+∠EFA＝180°−12（∠BCF+∠DCF）＝180°−12∠BCD＝180°−12×90°＝135°，
∴∠AFB＝360°﹣（∠CFB+∠EFA）﹣∠CFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠CFB+∠EFA＝135°是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）已知x＝2是关于x的方程5x﹣m＝8的解，则m的值是 2 ．
【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】将x＝2代入方程5x﹣m＝8，求解参数，即可作答．
【解答】解：根据题意可知，5×2﹣m＝8，
10﹣m＝8，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
10．（3分）将点P（﹣2，3）向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得的点的坐标为 （1，﹣2） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1，﹣2）．
【分析】让P的横坐标加3，纵坐标减5即可得到所求点的坐标．
【解答】解：∵点P（﹣2，3）向右平移3个单位，再向下平移5个单位，
∴所求点的横坐标为：﹣2+3＝1，纵坐标为3﹣5＝﹣2，
∴所求点的坐标为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
11．（3分）计算3aa+1+3a+1的结果是 3 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】3
【分析】根据分式的加减法法则进行计算．
【解答】解：原式=3a+3a+1
=3(a+1)a+1
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法法则是关键．
12．（3分）如图，反比例函数y=−4x(x＞0)与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y=−4x(x＞0)的图象上，直线AB与y轴交于点C，连接OB，若AB＝3AC，则OB的长为 1302 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】1302．
【分析】如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，先求出点A的坐标，得到OD的长，然后由AD∥BE得到ABAC=DEOD，求出DE=32，然后代入y=−4x求出BE=22，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，
联立y=−4xy=−2x，
解得x=2y=−22或x=−2y=22（舍去），
∵反比例函数y=−4x(x＞0)与直线y＝﹣2x交于点A，
∴A(2，−22)，
∴OD=2，
∵BE⊥x轴，AD⊥x轴，
∴AD∥BE，
∴ABAC=DEOD，
∵AB＝3AC，
∴3=DE2，即DE=32，
∴OE=2+32=42，
∴将x=42代入y=−4x得y=−22，
∴B(42，−22)，
∴BE=22，
∴若AB＝3AC，则OB=OE2+BE2=1302．
故答案为：1302．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
13．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，点E在AD边上，连接OE，将线段OE绕着点O逆时针旋转90°得到线段OF（点F在矩形ABCD内部），连接AF，EF．若AB＝2，AD＝4，则△AEF面积的最大值是 98 ．
【考点】旋转的性质；二次函数的最值；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】98．
【分析】如图，连接BD，则O为BD的中点，取AD的中点M，连接OM，过F作FH⊥AD于H，作FN⊥OM于N．分两种情况讨论：当E在M右侧时，（或与M重合时），当E在M点左侧时，证得△MEO≌△NOF（AAS），然后利用S△AEF=12AE⋅HF列式解答即可．
【解答】解：如图1，连接BD，则O为BD的中点，取AD的中点M，连接OM，过F作FH⊥AD于H，作FN⊥OM于N．
①如图1，当E在M右侧时，（或与M重合时），
设ME＝x，
∵OM为△DAB的中位线，
∴OM∥AB，
∴OM⊥AD，OM=12AB=1，
在Rt△MEO中，∠MEO+∠MOE＝90°，
又∵∠NOF+∠MOE＝∠EOF＝90°，
∴∠MEO＝∠NOF，
又∵∠OME＝∠FNO＝90°，OE＝FO，
∴△MEO≌△NOF（AAS），
∴ME＝NO＝x，MO＝NF＝1，
∴MN＝MO﹣ON＝1﹣x，
又∵FN⊥NM，
∴FN∥HM，HF⊥HM，NM⊥HM，
∴FN⊥HF，
∴四边形HFNM为矩形．
∴HF＝MN＝1﹣x，
又∵AE＝AM+ME＝2+x，
∴S△AEF=12AE⋅HF
=12(2+x)(1−x)
=12(2−x−x2)
=−12(x2+x−2)
=−12(x2+x+14−14−2)
=−12(x+12)2+98，
抛物线对称轴为直线x=−12，开口向下，x≥0＞−12，
∵x≥0＞−12
∴S△AEF随x的增大而减小，
故当x＝0时，S△AEF有最大值，为−12×(12)2+98=1；
②当E在M点左侧时，如图2，
设EM＝y，由①同理可证△EMO≌△ONF，
∴EM＝ON＝y，AE＝AM﹣EM＝2﹣y，HF＝MN＝OM+ON＝1+y，
∴S△AEF=12AE⋅HF
=12(2−y)(1+y)
=12(2+y−y2)
=−12(y2−y−2)
=−12(y2−y+14−14−2)
=−12(y−12)2+98
故当y=12时，S△AEF有最大值为98，
综上，△AEF面积的最大值是98，
故答案为：98．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，二次函数的最值以及矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出恰当的辅助线，构建全等三角形．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：(−1)2024×(3−π)0−38+(12)−1．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：原式＝1×1﹣2+2＝1．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
15．（7分）解不等式组：2x+4＜0x+82−2＞0．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】﹣4＜x＜﹣2．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：2x+4＜0①x+82−2＞0②，
由①得，x＜﹣2，
由②得，x＞﹣4，
故不等式组的解集为：﹣4＜x＜﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
16．（8分）一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生 60 人，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 10 元，中位数是 15 元；
（3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？
【考点】条形统计图；中位数；众数；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）60；
将条形统计图补充完整如图：
；
（2）10，15；
（3）捐款20元及以上的学生估计有345人．
【分析】（1）用D：捐款20元的人数所占的比例即可求出抽查了多少学生，抽查人数减去其他几组人数即可得出C的人数，即可将条形统计图补充完整；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可；
（3）用总人数乘捐款20元及以上的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），
C的人数：60﹣9﹣20﹣12﹣3＝16（人），
将条形统计图补充完整如图：
；
故答案为：60；
（2）捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
把这60 个数据从小到大排列位于第30位，31位的均为15，
∴中位数为15元，
故答案为：10，15；
（3）捐款20元及以上的学生估计有1380×12+360=345（人），
答：捐款20元及以上的学生估计有345人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，众数和中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
17．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示：
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式；在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）每箱百香果的售价是50，每箱金桔的售价是65元；
（2）w关于m的函数表达式为w＝﹣5m+7500；在满足公司要求的情况下，m＝250时本次采购中张先生获利最大．
【分析】（1）分别设每箱百香果的售价、每箱金桔的售价为未知数，根据题意列二元一次方程并求解即可；
（2）设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（500﹣m）箱，获利W元．根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集；写出w关于m的函数关系式，并根据一次函数的增减性，确定当m取何值时w值最大．
【解答】解：（1）设每箱百香果的售价是x元，每箱金桔的售价是y元．
根据题意，得2x+4y=360x+3y=245，
解得x=50y=65，
答：每箱百香果的售价是50，每箱金桔的售价是65元；
（2）设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（500﹣m）箱，获利w元．
w＝（50﹣40）m+（65﹣50）（500﹣m）＝﹣5m+7500，
根据题意，得0≤m≤400m≥500−m，
解得250≤m≤400，
∵﹣5＜0，
∴w随m的减小而增大，
∴当m＝250时，w值最大，
∴在满足公司要求的情况下，m＝250时本次采购中张先生获利最大．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一动点，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，BD交过点A的直线于点F，∠CAB＝∠F．且当CD＝8时，AE＝2．
（1）求证：直线AF是⊙O的切线；
（2）点G为AC的中点，当点C从A出发在⊙O上运动一周又回到点A处时，求点G经过的路径长；
（3）当CD=485时，过点A、O，D三点的圆交AF于点H．求FHAC的值．
【考点】圆的综合题．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）5π；（3）FHAC的值56或58．
【分析】（1）利用圆周角定理，平行线的判定与性质得到OA⊥AF，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接OG，OC，利用垂径定理得到∠AGO＝90°，当点C从A出发在⊙O上运动一周又回到点A处时，点G经过的路径为以OA为直径的圆，设OA＝OC＝r，则OE＝r﹣2，利用垂径定理和勾股定理求得r值，再利用圆的周长的公式解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当CD在点O的左侧时，利用圆周角定理和垂径定理得到OH为AD的垂直平分线，则AH＝HF；利用相似三角形的判定与性质和垂径定理求得线段FA，AC的长度，代入运算即可得出结论；②当CD在点O的左侧时，利用①中的方法解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠F，∠CAB＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠F，
∴CD∥AF，
∵CD⊥AB，
∴OA⊥AF．
∵OA为⊙O的半径，
∴直线AF是⊙O的切线；
（2）解：连接OG，OC，如图，
∵点G为AC的中点，
∴OG⊥AC，
∴∠AGO＝90°，
∴当点C从A出发在⊙O上运动一周又回到点A处时，点G经过的路径为以OA为直径的圆．
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴DE＝EC=12CD＝4，
设OA＝OC＝r，则OE＝r﹣2，
∵OE2+EC2＝OC2，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴OA＝5，
∴当点C从A出发在⊙O上运动一周又回到点A处时，点G经过的路径为π•OA＝5π．
（3）解：连接OD，OH，AD，设AD，OH交于点M，如图，
①当CD在点O的左侧时，
∵∠HAO＝90°，
∴OH为过点A、O，D三点的圆的直径，
∵OA＝OD，
∴OA=OD，
∴OH为AD的垂直平分线，
∴OM⊥AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AD，
∴OH∥BF，
∵OA＝OB，
∴AH＝HF，
∵CD⊥AB，CD=485，
∴CE＝DE=12CD=245．
∴OE=OD2−DE2=75，
∴AE＝OA﹣OE=185，BE＝OE+OB=325．
∵CD∥AF，
∴△BDE∽△BFA，
∴DEFA=BEBA，
∴245FA=32510，
∴FA=152，
∴FH=12FA=154．
∵AC=AE2+CE2=6，
∴FHAC=1546=58；
②当CD在点O的左侧时，
∵∠HAO＝90°，
∴OH为过点A、O，D三点的圆的直径，
∵OA＝OD，
∴OA=OD，
∴OH为AD的垂直平分线，
∴OM⊥AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AD，
∴OH∥BF，
∵OA＝OB，
∴AH＝HF，
∵CD⊥AB，CD=485，
∴CE＝DE=12CD=245．
∴OE=OD2−DE2=75，
∴AE＝OA+OE=325，BE＝OB﹣OE=185．
∵CD∥AF，
∴△BDE∽△BFA，
∴DEFA=BEBA，
∴245FA=18510，
∴FA=403，
∴FH=12FA=203．
∵AC=AE2+CE2=8，
∴FHAC=2038=56．
综上，当CD=485时，过点A、O，D三点的圆交AF于点H，FHAC的值56或58．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，点的轨迹，圆的有关计算，利用分类讨论的思想方法是解题的关键．
19．（10分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 11.25 ，直接写出满足的函数关系式：y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25 ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
（2）d1＜d2；
（3）她当天的比赛不能成功完成此动作．
【分析】（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）分别求出两个解析式当y＝0时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出t＝1.6时的y值，进行判断即可．
【解答】解：（1）根据表格得：函数图象过点（4，10），（4.5，6.25），（3，10），
∴ℎ=3+42=3.5，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+k，
∴5a(3−3.5)2+k=10a(4.5−3.5)2+k=6.25，
解得：a=−5k=11.25，
∴的函数关系y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25；y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
（2）对于y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时，0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x1＝5，x2＝2（不合题意，舍去），
∴d1＝5米，
对于y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时，﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x1=4+2155，x2=4−2155（不合题意，舍去），
∴d2=4+2155，
∵4+2155＞5，
∴d1＜d2；
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴点B坐标为（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，则她当天的比赛不能成功完成此动作．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F．
（1）如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之间的数量关系是AE＝AF ；
（2）如图②，若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明；
（3）若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当AB=4，BE=12BC时，请直接写出EF的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AE＝AF；
（2）BE﹣DF＝EF，证明如下：
如图，在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠DAF＝∠DAE+∠BAF′＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°．
∵AE＝AE，
∴△AEF′≌△AEF（SAS），
∴EF′＝EF，
∴BE﹣DF＝BE﹣BF′＝EF′＝EF，
即BE﹣DF＝EF；
（3）103或10．
【分析】（1）根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，得出相等的角和边，证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
（2）在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′，根据条件证明△ABF′≌△ADF，得出AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF，再证明△AEF′≌△AEF，即可得出结论；
（3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理，列方程求解即可．
【解答】解：（1）AE＝AF，理由如下：
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC．
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°．
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
故答案为：AE＝AF．
（2）BE﹣DF＝EF，证明如下：
如图，在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠DAF＝∠DAE+∠BAF′＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°．
∵AE＝AE，
∴△AEF′≌△AEF（SAS），
∴EF′＝EF，
∴BE﹣DF＝BE﹣BF′＝EF′＝EF，
即BE﹣DF＝EF；
（3）①如图，当点E在线段BC上时，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABF′，
∴AF＝AF′，∠BAF′＝∠DAF，DF＝BF′，
∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠BAF′+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAF≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′＝BF′+BE＝BE+DF，
∵AB＝4，
∴BE＝EC＝2．
设EF＝x，则DF＝x﹣2，CF＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即22+（6﹣x）2＝x2，
解得x=103，
即EF=103；
②如图，当点E在CB延长线上时，取CD的中点G，连接AG，
∴DG=12CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠D，BC＝CD，∠BAD＝90°，
∵BE=12BC=2，
∴BE＝DG＝2，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∴∠BAE+∠BAG＝∠DAG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，
设EF＝x，则DF＝x+2，CF＝x+2﹣4＝x﹣2，CE＝BE+BC＝2+4＝6，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即62+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝10，
即EF＝10．
综上所述，EF的长为103或10．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．品名
百香果
金桔
成本/箱
40元
50元
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
A
B
B
A
C
品名
百香果
金桔
成本/箱
40元
50元
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25