2026年上海市中考数学终极押题模拟卷三（含答案）

这是一份2026年上海市中考数学终极押题模拟卷三（含答案），共5页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．（﹣a）4＝a4B．a2•a＝a4C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a5
2．（4分）一个三位数，它的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，那么这个三位数是（ ）
A．a+b+cB．abc
C．100a+10b+cD．110（a+b+c）
3．（4分）下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝4xC．y＝2x2D．y=1x
4．（4分）某校九年级（5）班开展“读二本好书，伴自己成长”活动，对本班学生一周的阅读时长进行了统计并绘制成如图所示的条形统计图，则该班学生一周阅读时长的中位数和众数分别是（ ）
A．10h，9hB．10h，10hC．9.5h，9hD．9.5h，10h
5．（4分）已知|a→|=5，|b→|=3，且b→与a→的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A．b→=35a→B．b→=−35a→C．b→=53a→D．b→=−53a
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F为△ABC的内心
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）分解因式：xy2﹣y3＝ ．
8．（4分）已知不等式组2x+1≥x−1−x+2≥2(x−1)要使它的解集中的任意x的值都能使不等式3x≥m+3成立，则m的取值范围是 ．
9．（4分）方程2x−1=5的解是 ．
10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
11．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移三个单位，得到的抛物线的解析式是 ．
12．（4分）已知反比例函数y=kx(k＜0)，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9，则k的值为 ．
13．（4分）一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是 ．
14．（4分）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为 ．（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）
15．（4分）在一个扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为108°，那么这部分占总体的百分比为 ．
16．（4分）已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3．现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）．
17．（4分）如图所示，已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连结EF，AF，BE，若四边形ABEF是菱形，那么ABAD的值为 ．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝5，AB＝2，⊙O是以BC为直径的圆，则直线AD与⊙O的位置关系是 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：(27)13+|1−3|+13+2−(13)−1．
20．（10分）解方程：4x+3+xx−2=1．
21．（10分）如图是小明“探究拉力F与斜面高度h关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（cm）的一次函数．
（1）求出F与h之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
（2）若弹簧测力计的最大量程是6N，求装置高度h的取值范围．
22．（10分）作图：
（1）如图1，已知四边形ABCD，作出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点B成中心对称．
（2）如图2，求作一点P，使PM＝PN，并且点P到∠BAC的两边距离相等．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接BC，BD，过点B作⊙O的切线，与∠BDC的平分线交于点E，DE与BC交于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接BM．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若tan∠BMD＝22，CD＝4，求线段BF的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与直线y＝﹣x﹣1交于A，B两点（点A在x轴上），与y轴交于点C，且∠ABC＝90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点D作DF∥AC交AB于点E，交y轴于点F．
①求线段DE的最大值；
②是否存在点D，使得四边形ACDF为等腰梯形？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，若BE＝4，AD＝2，则DE＝ ．
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E为BC上一点，BE＝3，动点F沿折线D→A→B运动（不与点D、B重合），连接EF，将△AEF沿着EF翻折得到△A'EF．当A′E⊥AE时，求△AEF的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形）
2026年 上海中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．（﹣a）4＝a4B．a2•a＝a4C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方、合并同类项、幂的乘方的法计算，即可解决此题．
【解答】解：A．根据积的乘方，（﹣a）4＝（﹣1）4a4＝a4，正确，符合题意；
B．根据同底数幂的乘法，a2•a＝a2+1＝a3，错误，不符合题意；
C．a2与a3不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
D．根据幂的乘方，（a2）3＝a2×3＝a6，错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和积的乘方、合并同类项法则、幂的乘方是解决本题的关键．
2．（4分）一个三位数，它的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，那么这个三位数是（ ）
A．a+b+cB．abc
C．100a+10b+cD．110（a+b+c）
【考点】列代数式．
【专题】整式；数感．
【答案】C
【分析】根据一个三位数，它的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，可以用含a、b、c的代数式表示出这个三位数．
【解答】解：∵一个三位数，它的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
∴这个三位数为100a+10b+c，
故选：C．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的代数式．
3．（4分）下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝4xC．y＝2x2D．y=1x
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；模型思想．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义可得结论．
【解答】解：A．y＝3x﹣1，是一次函数，不符合题意；
B．y＝4x，正比例函数，符合题意；
C．y＝2x2，是二次函数，不符合题意；
D．y=1x，是反比例函数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．
4．（4分）某校九年级（5）班开展“读二本好书，伴自己成长”活动，对本班学生一周的阅读时长进行了统计并绘制成如图所示的条形统计图，则该班学生一周阅读时长的中位数和众数分别是（ ）
A．10h，9hB．10h，10hC．9.5h，9hD．9.5h，10h
【考点】条形统计图；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据众数是指一组数据中出现次数最多的数；阅读9小时的有11人，人数最多，所以众数是9小时；根据中位数是指把一组数据按从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（两个数的平均数），确定中位数，问题即可解答．
【解答】解：由图可知，阅读9小时的有11人，人数最多，所以众数是9小时，将40人阅读时间从小到大排列，中间两个数的平均数为10小时，即中位数为10小时，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数的知识，掌握定义是解题的关键．
5．（4分）已知|a→|=5，|b→|=3，且b→与a→的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A．b→=35a→B．b→=−35a→C．b→=53a→D．b→=−53a
【考点】*平面向量．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】先表示出两个向量的模的关系，再根据方向相反可得答案．
【解答】解：∵|a→|=5，|b→|=3，
∴|b→|=35|a→|，
∵b→与a→的方向相反，
∴b→=−35a→．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握相反向量的概念．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F为△ABC的内心
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，则可计算出∠BAD＝∠CAD＝18°，再利用∠ABF＞∠BAF得到AF＞BF，从而得到点F不是△ABC的外心，于是可对A选项进行判断；通过计算∠ABC＝∠ACB＝72°，则可判断BE平分∠ABC，所以根据三角形内心的定义可对B选项进行判断；连接FC，如图，利用AD垂直平分BC得到FB＝FD，再通过计算得到∠CEF＞∠ECF，所以FC＞FE，从而可对C选项进行判断；由于∠BCE＞∠EBC，则BE＞EC，加上AE＝BE，所以AE＞EC，从而可对D选项进行判断．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝18°，
∵AE＝BE，
∴∠ABF＝∠BAE＝36°，
∴∠ABF＞∠BAF，
∴AF＞BF，
∴点F不是△ABC的外心，所以A选项不符合题意；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣36°）＝72°，
∵∠ABD＝36°，
∴BE平分∠ABC，
∴点F为△ABC的内心，所以B选项符合题意；
连接FC，如图，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴FB＝FD，
∴∠FCB＝∠FBC＝36°，
∴∠ECF＝36°，
∵∠CEF＝∠BAE+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠CEF＞∠ECF，
∴FC＞FE，
∴点E、B、C不在以F为圆心的同一个圆上，所以C选项不符合题意；
∵∠EBC＝36°，∠BCE＝72°，
∴∠BCE＞∠EBC，
∴BE＞EC，
∵AE＝BE，
∴AE＞EC，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等腰三角形的性质和三角形的内切圆与内心．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）分解因式：xy2﹣y3＝y2（x﹣y） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】y2（x﹣y）．
【分析】先找到公因式y2，然后提取即可．
【解答】解：xy2﹣y3＝y2（x﹣y），故答案为：y2（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
8．（4分）已知不等式组2x+1≥x−1−x+2≥2(x−1)要使它的解集中的任意x的值都能使不等式3x≥m+3成立，则m的取值范围是 m≤﹣9 ．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m≤﹣9．
【分析】先解不等式组得到解集，结合3x≥m+3成立列式求解即可得到答案．
【解答】解：2x+1＞x−1①−x+2≥2(x−1)②，
由①得x≥﹣2，
由②得x≤43，
∴−2≤x≤43，
∴﹣6≤3x≤4，
∵3x≥m+3，
∴m+3≤﹣6，
解得：m≤﹣9，
故答案为：m≤﹣9．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及解一元一次不等式，解题的关键是正确的求出不等式组的解集．
9．（4分）方程2x−1=5的解是 x＝13 ．
【考点】无理方程．
【专题】二次根式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝13．
【分析】方程两边平方得出2x﹣1＝25，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：2x−1=5，
方程两边平方，得2x﹣1＝25，
2x＝25+1，
2x＝26，
x＝13，
经检验x＝13是原方程的解．
故答案为：x＝13．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜5 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】m＜5．
【分析】根据“当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1•（m﹣1）＞0，
整理得，20﹣4m＞0，
解得：m＜5．
故答案为：m＜5．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
11．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移三个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将抛物线y＝x2﹣4向右平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4，
再向上平移三个单位长度后，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣1．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．
12．（4分）已知反比例函数y=kx(k＜0)，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9，则k的值为 ﹣9 ．
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】﹣9
【分析】根据k＜0可以确定反比例函数图象的位置，再根据函数的性质，确定出当x＝1时，y＝﹣9，然后确定出k的值．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数y=kx图象在第二、四象限内，
∴在第四象限内y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9，
∴当x＝1时，y的最小值为﹣9，
∴k＝1×（﹣9）＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
13．（4分）一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是 38 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】38．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可得到一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有8种可能性，其中一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的可能性有3种，
∴一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是38，
故答案为：38．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
14．（4分）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为 1.2 ．（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】1.2m．
【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E．
由题意易知四边形CDBE是矩形，
∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE．
∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m．
在Rt△ACE中，
∵tanA=CEAE，
∴CE＝tanA•AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）．
∴BD＝1.2m．
故答案为：1.2m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定是解决本题的关键．
15．（4分）在一个扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角为108°，那么这部分占总体的百分比为 30% ．
【考点】扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】30%．
【分析】用扇形的圆心角÷360°即可求出这部分占总体的百分比．
【解答】解：108°÷360°＝30%．
故答案为：30%．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
16．（4分）已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3．现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是 2.37×10﹣5 千克（结果用科学记数法表示）．
【考点】科学记数法—表示较小的数；有理数的乘法．
【专题】实数；数感．
【答案】2.37×10﹣5．
【分析】先将体积单位从立方毫米转换为立方米，再求质量，最后用科学记数法表示结果，即可作答．
【解答】解：根据题意可知，3mm3＝3×10﹣9m3，
∴铁钉的质量用科学记数法表示为：7.9×103×3×10﹣9＝2.37×10﹣5．
故答案为：2.37×10﹣5．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键．
17．（4分）如图所示，已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连结EF，AF，BE，若四边形ABEF是菱形，那么ABAD的值为 233 ．
【考点】矩形的性质；轴对称的性质；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】233．
【分析】设DE＝a，根据矩形性质得∠ABC＝90°，再根据轴对称的性质得DF＝DE＝a，点F在CD的延长线上，进而得EF＝2a，∠ADF＝90°，然后根据菱形性质得AB＝BE＝EF＝AF＝2a，进而在在Rt△ADF中，由勾股定理得AD=3a，据此可得ABAD的值．
【解答】解：设DE＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点F是点E关于直线AD的对称点，
∴DF＝DE＝a，点F在CD的延长线上，
∴EF＝DF+DE＝2a，∠ADF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴△ADF是直角三角形，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝2a，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD=AF2−DF2=(2a)2−a2=3a，
∴ABAD=2a3a=233，
即（AB/AD）的值为233．
故答案为：233．
【点评】此题主要考查了矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理是解决问题的关键．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝5，AB＝2，⊙O是以BC为直径的圆，则直线AD与⊙O的位置关系是 相交 ．
【考点】直线与圆的位置关系；矩形的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【答案】相交．
【分析】作OE⊥AD于E，则OE＝AB＝2，由题意得出半径=52，由d＜r，即可得出结论．
【解答】解：如图所示：作OE⊥AD于E.
则OE＝AB＝2，
∵BC＝5，
∴OB=52，
∵2＜52，即圆心到直线的距离＜半径，
∴直线AD与⊙O相交；
故答案为：相交．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：(27)13+|1−3|+13+2−(13)−1．
【考点】分数指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质以及分母有理化的方法分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：原式＝3+3−1+2−3−3
＝4−3．
【点评】此题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、分数指数幂、绝对值的性质以及分母有理化的方法是解题的关键．
20．（10分）解方程：4x+3+xx−2=1．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x=13．
【分析】方程两边都乘（x+3）（x﹣2）得出4（x﹣2）+x（x+3）＝（x+3）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：4x+3+xx−2=1，
方程两边都乘（x+3）（x﹣2），得4（x﹣2）+x（x+3）＝（x+3）（x﹣2），
4x﹣8+x2+3x＝x2﹣2x+3x﹣6，
4x+x2+3x﹣x2+2x﹣3x＝﹣6+8，
6x＝2，
x=13，
检验：当x=13时，（x+3）（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x=13．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
21．（10分）如图是小明“探究拉力F与斜面高度h关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（cm）的一次函数．
（1）求出F与h之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
（2）若弹簧测力计的最大量程是6N，求装置高度h的取值范围．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）F=110h+1；
（2）0＜h≤50．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将（1）中得到的函数表达式代入F≤6，求出h的取值范围即可．
【解答】解：（1）设F与h之间的函数表达式为F＝kh+b（k、b为常数，且k≠0）．
将h＝11，F＝2.1和h＝21，F＝3.1代入F＝kh+b，
得11k+b=2.121k+b=3.1，
解得k=110b=1，
∴F与h之间的函数表达式为F=110h+1．
（2）当F≤6时，即110h+1≤6，
解得h≤50，
∴装置高度h的取值范围是0＜h≤50．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键．
22．（10分）作图：
（1）如图1，已知四边形ABCD，作出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点B成中心对称．
（2）如图2，求作一点P，使PM＝PN，并且点P到∠BAC的两边距离相等．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图﹣旋转变换；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】平移、旋转与对称；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）结合角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，先作线段MN的垂直平分线，再作∠BAC的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图1，四边形A′B′C′D′即为所求．
（2）如图2，先作线段MN的垂直平分线，再作∠BAC的平分线，两线相交于点P，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握中心对称的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接BC，BD，过点B作⊙O的切线，与∠BDC的平分线交于点E，DE与BC交于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接BM．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若tan∠BMD＝22，CD＝4，求线段BF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）BF的长是185．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，根据垂径定理得AB垂直平分CD，则BC＝BD；
（2）由切线的性质得BE⊥AB，则CD⊥AB，所以BE∥CD，则∠E＝∠CDE，而∠BDE＝∠CDE，所以∠E＝∠BDE，则BE＝BD，再求出CN＝DN=12CD＝2，由∠BNC＝90°，∠C＝∠BMD，得BNCN=tanC＝tan∠BMD＝22，则BN＝22CN＝42，所以BE＝BC=BN2+CN2=6，由△BEF∽△CDF得BFCF=BECD=32，则BF=35BC=185．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，
∴BE⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
∴∠E＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∵CD＝4，
∴CN＝DN=12CD＝2，
∵∠BNC＝90°，∠C＝∠BMD，
∴BNCN=tanC＝tan∠BMD＝22，
∴BN＝22CN＝22×2＝42，
∴BC=BN2+CN2=(42)2+22=6，
∴BE＝BC＝6，
∵△BEF∽△CDF，
∴BFCF=BECD=64=32，
∴BF=33+2BC=35BC=35×6=185，
∴BF的长是185．
【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，证明BE∥CD是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与直线y＝﹣x﹣1交于A，B两点（点A在x轴上），与y轴交于点C，且∠ABC＝90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点D作DF∥AC交AB于点E，交y轴于点F．
①求线段DE的最大值；
②是否存在点D，使得四边形ACDF为等腰梯形？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝2x2﹣4x﹣6；
（2）①494037；
②存在，3724．
【分析】（1）过点B作BG∥y轴，交x轴于点G，过点C作CM∥x轴交BE于点M，得出△ABG，△CBM是等腰直角三角形，则B(52，−72)，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①如图所示，过点E，D分别作x，y的垂线，交于点H，得出tan∠ACO=16得出直线CA的解析式为y＝﹣6x﹣6，设直线DF的解析式为y＝﹣6x+b2，设E（n，﹣n﹣1），D（m，2m2﹣4m﹣6）则EH＝﹣n﹣1﹣（2m2﹣4m﹣6），HD＝m﹣n，得出n=2m25+2m5−1，进而根据二次函数的性质求得HD的最大值，即可求解；
②根据题意得出AD＝CF，进而建立方程，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，过点B作BG∥y轴，交x轴于点G，过点C作CM∥x轴交BE于点M，
∵当y＝0时，y＝﹣x﹣1＝0，则x＝﹣1，A（﹣1，0），
设B（s，﹣s﹣1），则BG＝﹣s，AG＝﹣s﹣1+1＝﹣s，则△ABG是等腰直角三角形，
∴AB=2s，
∵当x＝0时，y＝ax2+bx﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBM＝90°﹣45°＝45°，则△CBM是等腰直角三角形，
∴BM＝CM＝s，
即﹣s﹣1﹣（﹣6）＝s，
解得：s=52，
∴B(52，−72)，
将点A（﹣1，0），B(52，−72)代入y＝ax2+bx﹣6＝﹣6，
∴a−b−6=0254a+52b−6=0，
解得：a=2b=−4，
∴y＝2x2﹣4x﹣6；
（2）①如图所示，过点E，D分别作x，y的垂线，交于点H，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣6），
∴AC=12+62=37，
∴sin∠ACO=137=3737，tan∠ACO=16，
设∠ACO＝α，
∵DF∥AC交AB于点E，交y轴于点F．
∴∠DFC＝α，
又∵EH∥y轴，
∴∠DEH＝α，
设直线CA的解析式为y＝kx+b1，代入A（﹣1，0），C（0，﹣6），
∴−k+b1=0b1=−6，
解得：k=−6b=6，
解得：y＝﹣6x﹣6，
设直线DF的解析式为y＝﹣6x+b2，
设E（n，﹣n﹣1），D（m，2m2﹣4m﹣6），
将D代入y＝﹣6x+b2，则2m2﹣4m﹣6＝﹣6m+b2，
∴b2=2m2+2m−6，
∴H（n，2m2﹣4m﹣6），
∴EH＝﹣n﹣1﹣（2m2﹣4m﹣6），HD＝m﹣n，
∵tanα=16，
∴m−n−n−1−2m2+4m+6=16，
解得：n=2m25+2m5−1，
∴HD=m−n=m−(25m2+25m−1)=−25m2+35m+1，
=−25(m−34)2+4940，
∴m=34时，HD的最大值为4940，
则ED的最大值为HDsinα=494037；
②∵DF∥AC，四边形ACDF为等腰梯形，
∴AD＝CF，
由①可得b2=2m2+2m−6，
∴CF＝2m2+2m＝2m（m+1），
∵A（﹣1，0），D（m，2m2﹣4m﹣6），
∴AD2＝（m+1）2+（2m﹣4m﹣6）2，
＝（m+1）2+4（m+1）2（m﹣3）2，
∵AD＝CF，
∴（m+1）2+4（m+1）2（m﹣3）2＝4m2（m+1）2，
∵m＝﹣1，
∴1+4（m﹣3）2＝4m2，
解得：m=3724，
∴存在点D，使得四边形ACDF为等腰梯形，点D的横坐标为3724．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰梯形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．（14分）（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，若BE＝4，AD＝2，则DE＝ 6 ．
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E为BC上一点，BE＝3，动点F沿折线D→A→B运动（不与点D、B重合），连接EF，将△AEF沿着EF翻折得到△A'EF．当A′E⊥AE时，求△AEF的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形）
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）6；
（2）507或7514．
【分析】（1）证明△BCE≌△CAD（AAS），可得CD＝BE＝4，CE＝AD＝2，即可求解；
（2）分两种情况：当F在AD上时，当F在AB上时，结合全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵CB＝CA，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CD＝BE＝4，CE＝AD＝2，
∴DE＝CE+CD＝6；
故答案为：6；
（2）①当F在AD上时，过点A′作MN⊥BC，交BC的延长线于点N，交AD的延长线于点M．
∵∠BAM＝∠B＝∠N＝90°，
∴四边形ABNM是长方形，
∴∠M＝90°，MN＝AB＝4，AM＝BN，
∵A′E⊥AE，
∴∠B＝∠AEA′＝∠N＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠A′EN＝90°，
∴∠BAE＝∠A′EN，
由折叠得：AE＝A′E，
∴△ABE≌△ENA′（AAS），
∴EN＝AB＝4，A′N＝BE＝3，
∴BN＝AM＝7，A′M＝MN﹣A′N＝1，
设AF＝x，则A′F＝AF＝x，FM＝7﹣x，
在Rt△FA′M中，由勾股定理，得FM2+MA′2＝FA′2，
即（7﹣x）2+12＝x2，
解得x=257，
∴AF=257，
∴S△AEF=12AF⋅AB=507；
②当F在AB上时，作△AEF关于EF对称的△A′EF，
过A′作A′N⊥EB，交EB延长线于点N．过F作FM⊥A′N，交A′N的延长线于点M，则四边形MNBF是长方形．
∴MF＝BN，MN＝BF，
同理可证△ABE≌△ENA′（AAS），
∴A′N＝BE＝3，EN＝AB＝4，
∴BN＝MF＝1，
设AF＝x，则A′F＝AF＝x，MN＝BF＝4﹣x，
∴A′M＝MN+A′N＝4﹣x+3＝7﹣x，
在Rt△FA′M中，由勾股定理，得MF2+A′M2＝A′F2，
即12+（7﹣x）2＝x2，
解得x=257，
∴AF=257，
∴S△AEF=12AF⋅BE=7514；
综上所述，△AEF的面积为507或7514．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
C
B
A
B
B