2026年上海市中考数学终极押题模拟卷二（含答案）

这是一份2026年上海市中考数学终极押题模拟卷二（含答案），共5页。
A．a2•a3＝a6B．（﹣ab）2＝a2b2
C．（a2）3＝a5D．a2+2a2＝3a4
2．（4分）x表示一个两位数，y表示一个三位数，如果把x放在y的右边组成一个五位数，那么这个五位数就可以表示成（ ）
A．xyB．10x+yC．100y+xD．1000x+y
3．（4分）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝1﹣2xB．y＝x2C．y＝﹣xD．y=3x
4．（4分）如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．中位数是21B．中位数是75
C．众数是21D．众数是85
5．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．如果a→与b→都是单位向量，那么|a→|=|b→|
B．如果ka→=0→，那么k＝0或a→=0→
C．如果a→=−3b→（b→为非零向量），那么a→+3b→=0
D．如果a→+b→=2c→，a→−b→=3c→（c→为非零向量），那么a→与b→平行
6．（4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的（ ）
A．重心B．内心
C．外心D．以上选项都不正确
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）把多项式3a﹣3ab分解因式的结果是 ．
8．（4分）关于x的一元一次不等式组x−m＞03x−4＞2的解为x＞m，则m的取值范围为 ．
9．（4分）方程2x−1−1=0的根是 ．
10．（4分）若关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
11．（4分）抛物线y＝2x2向下平移2个单位所得的抛物线解析式为 ．
12．（4分）某反比例函数y=kx具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而增大．写出一个满足条件的k的值是 ．
13．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是 ．
14．（4分）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cs83°≈0.12，tan83°≈8.14）
15．（4分）如图是某小区部分居民最喜欢的支付方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他）的扇形统计图，则支付方式D占整体的百分比是 ．
16．（4分）已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除 次（用科学记数法表示）．
17．（4分）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB：AD的值为 ．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，⊙O是以BC为直径的圆，则直线AD与⊙O的位置关系是 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：45+1−2012+|2−5|+(12)−3．
20．（10分）解方程：2xx−2+12−x=1．
21．（10分）甲，乙两人沿同一条笔直的公路由A地匀速驶往B地，先到者原地休息．甲比乙早出发1.5h，两人之间的距离y（km）与甲所用的时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）甲的速度为 km/h；乙的速度为 km/h；A，B两地之间的距离为 km；
（2）当甲，乙两人之间的距离为20km时，求甲所用的时间．
22．（10分）按要求完成作图：
（1）如图1，点A、B、C、O都在格点上，△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，在图1中画出旋转后的△A′B′C′．
（2）如图2，在∠AOB内部求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求证明）
23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，连接AC、AD，过点A作⊙O的切线与∠ADC的平分线相交于点E，DE交AC于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接AM．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若tan∠AMD=22，CD＝4，求AF长．
24．（12分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），连接AC．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图，点P为抛物线第二象限上一个动点，过点P作y轴的平行线交AC于点D，求线段PD的最大值．
25．（14分）问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，在△CDE中，CD＝CE＝3，∠ECD＝120°．
观察感知：
（1）如图1，将△ABC与△CDE的顶点C重合，Rt△ABC的直角边BC与等腰△CDE的边CE重合，AC与DE交于点F，求线段DF的长；
探索发现：
（2）在图1的基础上，△ABC保持不动，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度．
①如图2，当点D落在边AB上时，连接BE，判断四边形CDBE的形状并说明理由；
②请问当旋转角α（0°＜α＜360°）为多少度时，∠ABE＝90°，在备用图中画出图形，直接写出AE的长度．
2026年 上海中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣ab）2＝a2b2
C．（a2）3＝a5D．a2+2a2＝3a4
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：A．a2•a3＝a5≠a6，A错误，不符合题意；
B．（﹣ab）2＝a2b2，B正确，符合题意；
C．（a2）3＝a6≠a5，C错误，不符合题意；
D．a2+2a2＝3a2≠3a4，D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂相乘，掌握积的乘方，幂的乘方是解题的关键．
2．（4分）x表示一个两位数，y表示一个三位数，如果把x放在y的右边组成一个五位数，那么这个五位数就可以表示成（ ）
A．xyB．10x+yC．100y+xD．1000x+y
【考点】列代数式．
【专题】整式；数感．
【答案】C
【分析】根据y表示三位数，x表示两位数，把x放在y的右边，相当于把y扩大100倍，从而列出代数式．
【解答】解：∵x表示一个两位数，y表示一个三位数，
∴把x放在y的右边组成一个五位数，那么这个五位数可表示为100y+x；
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，正确理解把x放在y的右边组成一个五位数，其中y的变化情况是关键．
3．（4分）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝1﹣2xB．y＝x2C．y＝﹣xD．y=3x
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；模型思想．
【答案】C
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、y＝1﹣2x是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意；
B、y＝x2是二次函数，故不符合题意；
C、y＝﹣x是正比例函数，故符合题意；
D、y=3x是反比例函数，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
4．（4分）如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．中位数是21B．中位数是75
C．众数是21D．众数是85
【考点】条形统计图；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】分别根据中位数和众数的定义解答即可．
【解答】解：由统计图可知，把该校体育组60人的某科成绩中出现最多的是85分，故众数是85．
故选：D．
【点评】本题考查条形统计图、众数、中位数，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键．
5．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．如果a→与b→都是单位向量，那么|a→|=|b→|
B．如果ka→=0→，那么k＝0或a→=0→
C．如果a→=−3b→（b→为非零向量），那么a→+3b→=0
D．如果a→+b→=2c→，a→−b→=3c→（c→为非零向量），那么a→与b→平行
【考点】*平面向量．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：如果a→与b→都是单位向量，那么|a→|=|b→|，
故A选项正确，不符合题意；
如果ka→=0→，那么k＝0或a→=0→，
故B选项正确，不符合题意；
如果a→=−3b→（b→为非零向量），那么a→+3b→=0→，
故C选项不正确，符合题意；
∵a→+b→=2c→，a→−b→=3c→（c→为非零向量），
∴3（a→+b→）＝2(a→−b→)，
即3a→+3b→=2a→−2b→，
∴a→=−5b→，
∴a→与b→平行．
故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解答本题的关键．
6．（4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的（ ）
A．重心B．内心
C．外心D．以上选项都不正确
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】C
【分析】由三角形外心的定义，即可得到答案．
【解答】解：∵⊙O是△DEF的外接圆，
∴点O是△DEF的外心．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）把多项式3a﹣3ab分解因式的结果是 3a（1﹣b） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】3a（1﹣b）．
【分析】先确定公因式3a，再提取即可．
【解答】解：3a﹣3ab＝3a（1﹣b），
故答案为：3a（1﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
8．（4分）关于x的一元一次不等式组x−m＞03x−4＞2的解为x＞m，则m的取值范围为m≥2 ．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m≥2．
【分析】先求出不等式3x﹣4＞2的解集，再与已知不等式组的解集相比较即可得出m的取值范围．
【解答】解：解不等式3x﹣4＞2，得x＞2，
∵不等式组的解集为x＞m，
∴m≥2．
故答案为：m≥2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
9．（4分）方程2x−1−1=0的根是 x＝1 ．
【考点】无理方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝1．
【分析】将方程2x−1−1=0，移项得2x−1=1，再将方程两边同时平方转化为整式方程2x﹣1＝1，解这个整式方程，然后再检验即可得出答案．
【解答】解：对于方程2x−1−1=0，移项得：2x−1=1，
方程两边同时平方，得：2x﹣1＝1，
解得：x＝1，
经检验得：x＝1是方程2x−1−1=0的根．
∴方程2x−1−1=0的根是x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键．
10．（4分）若关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，可列出关于a的方程，解之即可得出a的值．
【解答】解：∵关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×4×m＝0，
解得：m＝1，
∴m的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
11．（4分）抛物线y＝2x2向下平移2个单位所得的抛物线解析式为y＝2x2﹣2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y＝2x2﹣2．
【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将抛物线y＝2x2向下平移2个单位所得的抛物线解析式为y＝2x2﹣2．
故答案为：y＝2x2﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．
12．（4分）某反比例函数y=kx具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而增大．写出一个满足条件的k的值是 ﹣1（答案不唯一） ．
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】﹣1（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数的性质以及题意可知k＜0，再进行取值即可．
【解答】解：由题可知，
当反比例函数y=kx具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，
即k＜0时满足条件，
则k的值取﹣1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例的性质是解题的关键．
13．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是 16 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】16．
【分析】先画出树状图，则可得同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种，再利用概率公式计算即可得．
【解答】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，配成紫色的概率为P=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．
14．（4分）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 407 米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cs83°≈0.12，tan83°≈8.14）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】407．
【分析】直接利用直角三角形的边角间关系求解即可．
【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，
∵AC＝50米，∠A＝83°，tanA=BCAC，
∴BC＝tanA•AC
≈8.14×50
＝407（米）．
故答案为：407．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
15．（4分）如图是某小区部分居民最喜欢的支付方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他）的扇形统计图，则支付方式D占整体的百分比是 10% ．
【考点】扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】10%．
【分析】根据各组频率之和等于100%进行计算即可．
【解答】解：1﹣40%﹣35%﹣15%＝10%，
故答案为：10%．
【点评】本题考查扇形统计图，理解各组频率之和等于100%是正确解答的关键．
16．（4分）已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除 2.5×109 次（用科学记数法表示）．
【考点】科学记数法—表示较小的数；有理数的乘法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】2.5×109．
【分析】用1秒除以400皮秒，答案写成科学记数法即可．
【解答】解：这个工具1秒可以擦除1÷（400×1×10﹣12）＝2.5×109（次）．
故答案为：2.5×109．
【点评】本题考查了科学记数法—表示较小的数，熟练掌握运算法则是关键．
17．（4分）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB：AD的值为 233 ．
【考点】矩形的性质；轴对称的性质；勾股定理；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】233．
【分析】由轴对称的性质可得DF＝DE，设DF＝DE＝m，则EF＝DE+DF＝2m，由菱形的性质得到AB＝AF＝EF＝2m，证明∠ADF＝90°，利用勾股定理可得AD=3m，据此可得答案．
【解答】解；由轴对称可知，DF＝DE，
设DF＝DE＝m，则EF＝DE+DF＝2m，
∵四边形AFEB是菱形，
∴AB＝AF＝EF＝2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，
由勾股定理可得，AD=AF2−DF2=3m，
∴AB：AD=2m：3m=233，
故答案为：233．
【点评】此题考查矩形的性质，菱形的性质，关键是由轴对称的性质得出DF＝DE解答．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，⊙O是以BC为直径的圆，则直线AD与⊙O的位置关系是 相切 ．
【考点】直线与圆的位置关系；矩形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力；应用意识．
【答案】相切．
【分析】作OE⊥AD于E，则OE＝AB＝3，由题意得出半径＝3，由d＝r，即可得出结论．
【解答】解：如图所示：作OE⊥AD于E.
则OE＝AB＝3，
∵BC＝6，
∴OB=12BC＝3，
∴OE＝OB，即圆心到直线的距离＝半径，
∴直线AD与⊙O相切．
故答案为：相切．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：45+1−2012+|2−5|+(12)−3．
【考点】分数指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】利用分母有理化，二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂计算后再算加减即可．
【解答】解：原式=4(5−1)5−1−20+5−2+8
=5−1﹣25+5−2+8
＝5．
【点评】本题考查分数指数幂，实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（10分）解方程：2xx−2+12−x=1．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣1．
【分析】先将方程中的分母化为相同形式，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否为原方程的解即可．
【解答】解：2xx−2+12−x=1，
2xx−2−1x−2=1，
2x﹣1＝x﹣2，
解得：x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是分式方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
21．（10分）甲，乙两人沿同一条笔直的公路由A地匀速驶往B地，先到者原地休息．甲比乙早出发1.5h，两人之间的距离y（km）与甲所用的时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）甲的速度为 10 km/h；乙的速度为 40 km/h；A，B两地之间的距离为 60 km；
（2）当甲，乙两人之间的距离为20km时，求甲所用的时间．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）10，40，60；
（2）83h或4h．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”求出甲的速度；设乙的速度为vkm/h，根据“当x＝2时乙追上甲，此时两人行驶的路程相等”列方程并求解即可求出乙的速度；当x＝6时，甲到达B地，根据“路程＝速度×时间”即可求出A，B两地之间的距离；
（2）根据“时间＝路程÷速度”求出乙到达B地所用的时间，从而求出点N的横坐标；求出当x＝3时，甲离B地的距离，即点N的纵坐标；利用待定系数法分别求出当2≤x≤3和3＜x≤6时y与x的函数关系式，将y＝20分别代入函数关系式，分别求出对应x的值即可．
【解答】解：（1）甲的速度为15÷1.5＝10（km/h）；
设乙的速度为vkm/h，当x＝2时乙追上甲，此时两人行驶的路程相等，得10×2＝（2﹣1.5）v，解得v＝40；
当x＝6时，甲到达B地，则A，B两地之间的距离为10×6＝60（km）．
故答案为：10，40，60．
（2）乙到达B地所用的时间为60÷40＝1.5（h），1.5+1.5＝3（h），即当x＝3时乙到达B地，
∴点N的横坐标为3；
当x＝3时，甲离B地的距离为60﹣10×3＝30（km），
∴点N的坐标为（3，30）．
当2≤x≤3时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将坐标（2，0）和（3，30）分别代入y＝k1x+b1，
得2k1+b1=03k1+b1=30，
解得k1=30b1=−60，
∴y＝30x﹣60，
当y＝20时，得30x﹣60＝20，解得x=83；
当3＜x≤6时，设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将坐标（3，30）和（6，0）分别代入y＝k2x+b2，
得3k2+b2=306k2+b2=0，
解得k2=−10b2=60，
∴y＝﹣10x+60，
当y＝20时，得﹣10x+60＝20，x＝4．
综上，甲，乙两人之间的距离为20km时，甲所用的时间是83h或4h．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系并灵活运用是解题的关键．
22．（10分）按要求完成作图：
（1）如图1，点A、B、C、O都在格点上，△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，在图1中画出旋转后的△A′B′C′．
（2）如图2，在∠AOB内部求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求证明）
【考点】作图﹣旋转变换；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）结合角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，作线段CD的垂直平分线，再作∠AOB的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图1，△A′B′C′即为所求．
（2）如图2，作线段CD的垂直平分线，再作∠AOB的平分线，两线相交于点P，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握旋转的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，连接AC、AD，过点A作⊙O的切线与∠ADC的平分线相交于点E，DE交AC于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接AM．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若tan∠AMD=22，CD＝4，求AF长．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AF的长是185．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，根据垂径定理得CH＝DH，则AB垂直平分CD，所以AC＝AD；
（2）由CD＝4，得CH＝DH＝2，由∠AHC＝90°，∠ACD＝∠AMD，得AHCH=tan∠ACD＝tan∠AMD＝22，则AH＝22CH＝42，根据勾股定理得AC＝AD=AH2+CH2=6，由切线的性质得AE⊥AB，则AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，∠E＝∠CDE＝∠ADE，则AE＝AD＝6，所以AFCF=AECD=32，即可求得AF=35AC=185．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴CH＝DH，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD．
（2）解：∵CD＝4，
∴CH＝DH=12CD＝2，
∵∠AHC＝90°，∠ACD＝∠AMD，
∴AHCH=tan∠ACD＝tan∠AMD＝22，
∴AH＝22CH＝22×2＝42，
∴AC＝AD=AH2+CH2=(42)2+22=6，
∴AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥AB，
∴AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，∠E＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠E＝∠ADE，
∴AE＝AD＝6，
∴AFCF=AECD=64=32，
∴AF=32+3AC=35AC=35×6=185，
∴AF的长是185．
【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地求出AC的长，并且证明△AEF∽△CDF是解题的关键．
24．（12分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），连接AC．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图，点P为抛物线第二象限上一个动点，过点P作y轴的平行线交AC于点D，求线段PD的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）PD有最大值为94．
【分析】（1）设交点式，将点C坐标代入即可得解；
（2）求出直线AC解析式，进而设出点P、D坐标，得到PD表达式，进而利用二次函数最值求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），
将点C（0，3）代入二次函数解析式可得a（0+3）×（0﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝﹣1×（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（﹣3，0），C（0，3）代入解析式可得−3k+b=0b=3，
解得k=1b=3，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点D（m，m+3），
∴PD＝﹣m2﹣2m+3−(m+3)=−m2−3m=−(m+32)2+94，
∵﹣1＜0，
∴当m=−32时，PD有最大值为94．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式、二次函数点的坐标特征及最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．（14分）问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，在△CDE中，CD＝CE＝3，∠ECD＝120°．
观察感知：
（1）如图1，将△ABC与△CDE的顶点C重合，Rt△ABC的直角边BC与等腰△CDE的边CE重合，AC与DE交于点F，求线段DF的长；
探索发现：
（2）在图1的基础上，△ABC保持不动，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度．
①如图2，当点D落在边AB上时，连接BE，判断四边形CDBE的形状并说明理由；
②请问当旋转角α（0°＜α＜360°）为多少度时，∠ABE＝90°，在备用图中画出图形，直接写出AE的长度．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）①四边形CDBE是菱形，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD＝BC＝3，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝DB＝BC，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∵∠BCE＝∠ECD﹣∠BCD＝120°﹣60°＝60°，BC＝CE＝3，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝EB＝BC，
∴CD＝DB＝BE＝EC，
∴四边形CDBE是菱形；
②α＝120°，AE=37．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质先求得∠D＝∠CBD＝30°，从而得到∠D＝∠DCF＝30°，即DF＝CF，在Rt△BCF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得CF，即可解答；
（2）①由∠ABC＝60°，CD＝BC，得到△BCD是等边三角形，从而得到CD＝DB＝BC，∠BCD＝60°，结合BC＝CE，得到△BCE是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论；
②由∠ABC＝60°，∠CDE＝30°，CB＝CD，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时∠ABE＝90°，此时α＝∠ECD＝120°，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得AB，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰△CDE底边上的高，从而得到BE，最后利用勾股定理即可求得AE．
【解答】解：（1）∵CD＝CE，
∴△CDE是等腰三角形，
∵∠ECD＝120°，
∴∠D=∠CBD=12(180°−∠ECD)=12(180°−120°)=30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ACB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠D＝∠DCF，
∴DF＝CF，
由勾股定理可得CF2+BC2＝BF2，
∵∠CBF＝30°，BC＝3，
∴CF=12BF，即BF＝2CF，
∴CF2+9＝4CF2，
解得CF=3，
∴DF=CF=3；
（2）①四边形CDBE是菱形，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD＝BC＝3，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝DB＝BC，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∵∠BCE＝∠ECD﹣∠BCD＝120°﹣60°＝60°，BC＝CE＝3，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝EB＝BC，
∴CD＝DB＝BE＝EC，
∴四边形CDBE是菱形．
②∵∠ABC＝60°，∠CDE＝30°，CB＝CD＝3，
∴当点D旋转到与点B重叠时，此时∠ABE＝∠ABC+∠CDE＝60°+30°＝90°，
如图所示即为所求，过点C作CG⊥DE于点G，
此时α＝∠ECD＝120°，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝2×3＝6，
∵CD＝CE＝3，
∴EG=DG=12BE，
由（1）可知，∠CDE＝30°，
∴CG=12CD=32，
由勾股定理可得：DG=BC2−CG2=32−(32)2=332，
∴BE=2BG=33，
由勾股定理可得：AE=AB2+BE2=62+(33)2=37．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
C
C
D
C
C