2026年武汉市中考数学终极押题模拟卷三（含答案）

这是一份2026年武汉市中考数学终极押题模拟卷三（含答案），共7页。
A．B．
C．D．
2．（3分）下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．打开电视机，正播放新闻
B．通过长期努力学习，数学得满分
C．太阳从东边升起
D．明天会是晴天
3．（3分）如图，从左面看这个由5个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）从“播州视界”获悉，2024国庆中秋假期，播州区累计接待游客93.22万人次．其中93.22万用科学记数法表示为（ ）
A．0.9322×105B．9.322×105
C．9.322×106D．93.22×105
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝a3B．a4﹣a3＝aC．a4•a3＝a7D．（a4）3＝a7
6．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为100米；③火车整体都在隧道内的时间为30秒；④隧道长度为1200米．正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③C．①④D．③④
7．（3分）一副扑克牌共54张，除大小王外有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色．在一个不透明的盒子中，有4张扑克牌，分别是红桃A、黑桃A、方块A、梅花A，将牌洗乱，从中随机摸一张牌，记下花色后放回洗乱，然后再从中随机摸一张牌，则两次都摸到桃心A（黑桃A或红桃A）的概率是（ ）
A．12B．38C．14D．916
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC，则∠PFC＝（ ）
A．100°B．90°C．80°D．60°
9．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠C＝65°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D、E，则DE的长度为（ ）
A．π9B．5π9C．10π9D．25π9
10．（3分）如图①所示，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A．92B．143C．5D．42
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）把下列各数填在相应的集合里：﹣4，2.5，−13，﹣15，0，49，2.3，321，﹣212．
负数集合：{ …}．
12．（3分）函数y1=ax2+bx+c与y2=kx的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）方程23x−1=1x的解为 ．
14．（3分）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为33m，则荷塘的宽CD为 m（结果保留根号）．
15．（3分）如图，CD＝2，点B是线段CD上一动点，且∠DCA＝90°，CA＝CB，以AB为底边作等腰△ABP，则DP的最小值是 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y1）、B（s+1，y2）在抛物线上，当s＜﹣1时，y1＞y2；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 （填写序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组：2x+1＞0x+13＞x−1．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD∥AC，点E为AB上一点，且AE＝BD，连接AD，EC，求证：AD＝EC．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 ，并补全条形统计图．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB=22，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）画出△AB1C1，使△AB1C1与△ABC关于直线MN成轴对称；画出△AB2C2，使△AB2C2与△ABC关于点A成中心对称．
（2）在第（1）小题的基础上，联结B1B2，四边形AC1B1B2的面积为 ．（直接写出答案）
22．（10分）如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记OP长度为h，如图②，以OP所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，h＝1.5m，OB＝6m．
（1）求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式；
（2）身高1.5m的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
23．（10分）在矩形ABCD中，BE是∠DBC的角平分线，交CD于G，过D作DE⊥BE，垂足为E，令ABBC=k．
（1）特例思考：如图1，若k＝1，则tan∠BEC＝ ；
（2）变式分析：如图2，若k≠1，求tan∠BEC（用含k的代数式表示）；
（3）拓展探究：如图3，连接AE，分别交BD，CD于点H，F，若AE＝3CE，求k的值．
24．（12分）如图，已知抛物线y=−13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）若∠PBA＝∠ACO，直接写出点P的坐标．
2026年 武汉中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）第19届亚运于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．打开电视机，正播放新闻
B．通过长期努力学习，数学得满分
C．太阳从东边升起
D．明天会是晴天
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可．
【解答】解：打开电视机，正播放新闻是随机事件，则A不符合题意，
通过长期努力学习，数学得满分是随机事件，则B不符合题意，
太阳从东边升起是必然事件，则C符合题意，
明天会是晴天是随机事件，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）如图，从左面看这个由5个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从其左面看，是一列三个相邻的小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义．
4．（3分）从“播州视界”获悉，2024国庆中秋假期，播州区累计接待游客93.22万人次．其中93.22万用科学记数法表示为（ ）
A．0.9322×105B．9.322×105
C．9.322×106D．93.22×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：93.22万＝932200＝9.322×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝a3B．a4﹣a3＝aC．a4•a3＝a7D．（a4）3＝a7
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a4÷a3＝a，则A不符合题意，
a4与a3不是同类项，无法合并，则B不符合题意，
a4•a3＝a7，则C符合题意，
（a4）3＝a12，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为100米；③火车整体都在隧道内的时间为30秒；④隧道长度为1200米．正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③C．①④D．③④
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
【解答】解：由题意可知：
在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确；
火车的长度是150米，故②错误；
整个火车都在隧道内的时间是：45﹣5﹣5＝35（秒），故③错误；
隧道长是：40×30＝1200（米），故④正确．
故正确的是：①④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7．（3分）一副扑克牌共54张，除大小王外有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色．在一个不透明的盒子中，有4张扑克牌，分别是红桃A、黑桃A、方块A、梅花A，将牌洗乱，从中随机摸一张牌，记下花色后放回洗乱，然后再从中随机摸一张牌，则两次都摸到桃心A（黑桃A或红桃A）的概率是（ ）
A．12B．38C．14D．916
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先画出树状图，然后计算出两次都摸到桃心A（黑桃A或红桃A）的概率即可．
【解答】解：设红桃A、黑桃A、方块A、梅花A分别为a、b、c、d，
画树状图如下：
，
由上可得，一共有16种等可能性，其中两次都摸到桃心A（黑桃A或红桃A）的有4种，
∴两次都摸到桃心A（黑桃A或红桃A）的概率为416=14，
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC，则∠PFC＝（ ）
A．100°B．90°C．80°D．60°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】延长AP交BC于点G，连接BP，由AB＝AC，∠BAC＝50°，求得∠ACB＝∠ABC＝65°，则∠PAC＝∠PAB=12∠BAC＝25°，由AG垂直平分BC，得PB＝PC，由PD垂直平分AC，得PA＝PC，则∠PCA＝∠PAC＝25°，所以∠PBF＝∠PCB＝40°，由折叠得PF＝BF，则∠BPF＝∠PBF＝40°，所以∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AP交BC于点G，连接BP，
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝∠ABC=12×（180°﹣50°）＝65°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAC＝∠PAB=12∠BAC=12×50°＝25°，BG＝CG，
∴AG垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PD⊥AC于点D，点D是AC的中点，
∴PD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝25°，
∴∠PBF＝∠PCB＝∠ACB﹣∠PCA＝65°﹣25°＝40°，
由折叠得PF＝BF，
∴∠BPF＝∠PBF＝40°，
∴∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝40°+40°＝80°，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠C＝65°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D、E，则DE的长度为（ ）
A．π9B．5π9C．10π9D．25π9
【考点】弧长的计算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】设圆心为O，连接OE，OD，AE．求出圆心角∠DOE，利用弧长公式求解．
【解答】解：设圆心为O，连接OE，OD，AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣65°＝25°，
∵AB＝AC＝8，
∴OA＝OB＝OE＝OE＝4，
∴∠DOE＝2∠CAE＝50°，
∴DE的长度=50π×4180=10π9．
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图①所示，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A．92B．143C．5D．42
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】几何动点问题；函数及其图象；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，则圆得半径为3cm，当x＝0时，AB＝AP=32cm，由勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，进而得到当x＝2时，点P走过的角度为90°，算出P走过的弧长为3π2cm，点P的运动速度为3π4cm/s，当x＝m时，AP＝3cm，此时△AOP为等边三角形，点P走过的角度为210°，算出P走过的弧长为=7π2cm，最后利用时间的路程÷速度即可求出m．
【解答】解：由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，
则圆得半径为12AP＝3（cm），
当x＝0时，y＝AP=32cm，
此时AB＝AP=32cm，
∵OA＝OB＝3cm，AB=32cm
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
当x＝2时，点P运动到点C，如图，
则点P走过的角度为90°，
∴点P走过的弧长为90360×2π×3=3π2（cm），
∴点P的运动速度为3π2÷2=3π4（cm/s），
当x＝m时，y＝AP＝3cm，如图，
此时，△AOP为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴点P走过的角度为90°+（180°﹣60°）＝210°，
∴点P走过的弧长为210360×2π×3=7π2（cm），
∴m=7π2÷3π4=143．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定、勾股定理的应用、弧长的计算，理解函数图象中的点在不同时刻所代表的实际意义是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）把下列各数填在相应的集合里：﹣4，2.5，−13，﹣15，0，49，2.3，321，﹣212．
负数集合：{ ﹣4，−13，﹣15，﹣212 …}．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】﹣4，−13，﹣15，﹣212．
【分析】根据负数的定义即可求得答案．
【解答】解：负数集合：{﹣4，−13，﹣15，﹣212⋯}，
故答案为：﹣4，−13，﹣15，﹣212．
【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12．（3分）函数y1=ax2+bx+c与y2=kx的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【考点】反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】x＞1．
【分析】利用图象法即可求解．
【解答】解：观察图象可知，当y1，y2均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
13．（3分）方程23x−1=1x的解为 x＝1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝1
【分析】方程两边都乘（3x﹣1）x得出2x＝3x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：23x−1=1x，
方程两边都乘（3x﹣1）x，得2x＝3x﹣1，
2x﹣3x＝﹣1，
﹣x＝﹣1，
x＝1，
检验：当x＝1时，（3x﹣1）x≠0，
所以分式方程的解是x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
14．（3分）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为33m，则荷塘的宽CD为 （33﹣113） m（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（33﹣113）．
【分析】先证明△ABC是等腰直角三角形，得AB＝BC＝33m，再由锐角三角函数定义求出BD的长，即可解决问题．
【解答】解：∵从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，
∴∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝33m，
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，
∴tan∠ADB=ABBD=tan60°=3，
∴BD=AB3=333=113（m），
∴CD＝BC﹣BD＝（33﹣113）m，
即荷塘的宽CD为（33﹣113）m，
故答案为：.(33−113)．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
15．（3分）如图，CD＝2，点B是线段CD上一动点，且∠DCA＝90°，CA＝CB，以AB为底边作等腰△ABP，则DP的最小值是 2 ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】过点C作CQ⊥AB于Q，根据等腰直角三角形的性质可得AQ＝BQ，由△ABP是以AB为底边的等腰三角形，可得AP＝BP，则点P在AB的垂直平分线CQ上，当DP⊥CQ时，DP的值最小，证明此时△CPD是等腰直角三角形，即可求解．
【解答】解：过点C作CQ⊥AB于Q，
∵∠ACD＝90°，CB＝CA，
∴AQ＝BQ，∠CBA＝45°，
∴CQ是AB的垂直平分线，
∵△ABP是以AB为底边的等腰三角形，
∴AP＝BP，
∴点P在AB的垂直平分线CQ上，
当DP⊥CQ时，DP的值最小，此时，DP∥AB，
∴∠D＝∠CBA＝45°，
∵DP⊥CQ，
∴△CPD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，
∴DP=22CD=22×2=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及垂线段最短是解题的关键．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y1）、B（s+1，y2）在抛物线上，当s＜﹣1时，y1＞y2；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】利用二次函数的图象及性质，系数间的关系和一元二次方程的关系即可求解．
【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴图象必过（﹣3，0），
又∵过点（﹣2，t）（t＜0），
∴开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，故①对；
∵（0，c）与（﹣2，t）到对称轴等距，
∴c＝t，故②对；
∵s＜﹣1，无法判断点A（s，y1）、B（s+1，y2）与对称轴是同侧还是异侧，
也就无法判断点A、B与对称轴为直线x＝﹣1的距离的大小，故无法比较y1与y2的大小，故③错；

∵方程ax2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣3，
又x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，而抛物线的对称轴为x＝﹣1，由对称性得另一个根为﹣5，
观察图象，得关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）整数根为﹣4和2，故④对，
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组：2x+1＞0x+13＞x−1．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】−12＜x＜2．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集即可．
【解答】解：解不等式2x+1＞0得x＞−12，
解不等式 x+13＞x−1 得x＜2．
∴不等式组的解集是 −12＜x＜2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD∥AC，点E为AB上一点，且AE＝BD，连接AD，EC，求证：AD＝EC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由∠ABC＝∠ACB，得AB＝CA，由BD∥AC，得∠ABD＝∠CAE，而BD＝AE，即可根据“SAS”证明△ABD≌△CAE，则AD＝EC．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝CA，
∵BD∥AC，点E为AB上一点，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
AB=CA∠ABD=∠CAEBD=AE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝EC．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABD≌△CAE是解题的关键．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 100 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 72° ，并补全条形统计图．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
【考点】条形统计图；中位数；众数；统计量的选择；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）100；72°；补全条形统计图如下：
（2）520人；
（3）选众数：
∵1分有2人，2分有10人，3 分有36人，4分有32人，5分有20人，
∴众数为3分，实际意义为：参加竞赛的学生中，得3分的人数最多．
【分析】（1）用得3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值，计算出得5分的人数补全条形统计图，用360°乘以得“5分”的人数的占比即可求解；
（2）用1000乘以成绩超过3分的学生人数的占比即可求解；
（3）根据众数或中位数的意义进行作答即可．
【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100（人），则得5分的人数为100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20（人），
“5分”对应的扇形的圆心角为360°×20100=72°．
补全条形统计图如下：
故答案为：100；72°；
（2）用1000乘以成绩超过3分的学生人数的占比可得：
1000×32+20100=1000×52100=520（人）．
答：估计成绩超过3分的学生人数约为520人．
（3）选众数：
∵1分有2人，2分有10人，3 分有36人，4分有32人，5分有20人，
∴众数为3分，实际意义为：参加竞赛的学生中，得3分的人数最多．
【点评】本题考查了条形统计图、用样本估计整体，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB=22，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）2π﹣4．
【分析】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45°，得到CD＝OD=22OC＝22，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠CFB=22，
∴∠CFB＝45°，
∵∠OCF＝90°，
∴∠COF＝∠CFO＝45，
∴CF＝OC=12AB=4，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠COD＝45°，
∴CD＝OD=22OC＝22，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积=45⋅π×42360−12×22×22=2π﹣4．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）画出△AB1C1，使△AB1C1与△ABC关于直线MN成轴对称；画出△AB2C2，使△AB2C2与△ABC关于点A成中心对称．
（2）在第（1）小题的基础上，联结B1B2，四边形AC1B1B2的面积为 13 ．（直接写出答案）
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】13．
【分析】（1）根据轴对称的性质和中心对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1和△AB2C2即为所求．
（2）四边形AC1B1B2的面积为12×(3+5)×4−12×1×3−12×3×1=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
22．（10分）如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记OP长度为h，如图②，以OP所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，h＝1.5m，OB＝6m．
（1）求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式；
（2）身高1.5m的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）4m；y=−18x2+12x+32；
（2）该点与点O的水平距离要大于0小于4，理由见解析．
【分析】（1）设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，先求出过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线x＝2，再由平移的性质可得−b2a=2，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式，再化成顶点式求出对称轴即可得到答案；
（2）令y＝1.5，解出x，进而即可求解．
【解答】解：（1）设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵OA＝4m，
∴过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵过点P的抛物线形水线所在抛物线是有过点O的抛物线形水线所在抛物线平移得到的，
∴−b2a=2，即b＝﹣4a
∵h＝1.5m，OB＝6m，
∴P（0，1.5），B（6，0），
∴b=−4a1.5=c0=36a+6b+c
解得：a=−18b=12c=32，
∴过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为y=−18x2+12x+32，
∵y=−18x2+12x+32=−18(x−2)2+2，
∴抛物线y=−18x2+12x+32的对称轴为直线x＝2
∴过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离为6﹣2＝4m；
（2）该点与点O的水平距离要大于0小于4，理由如下：
令y＝1.5，
∴1.5=−18(x−2)2+2．
∴x＝0或x＝4，
∴为了不被水喷到，该点与点O的水平距离要大于0小于4．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23．（10分）在矩形ABCD中，BE是∠DBC的角平分线，交CD于G，过D作DE⊥BE，垂足为E，令ABBC=k．
（1）特例思考：如图1，若k＝1，则tan∠BEC＝ 1 ；
（2）变式分析：如图2，若k≠1，求tan∠BEC（用含k的代数式表示）；
（3）拓展探究：如图3，连接AE，分别交BD，CD于点H，F，若AE＝3CE，求k的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1；
（2）1k；
（3）34．
【分析】（1）可证得点B、C、E、D共圆，从而∠BEC＝∠BDC＝45°，进一步得出结果；
（2）可证得点B、C、E、D共圆，从而∠BEC＝∠BDC，进而得出结果；
（3）作EW⊥AB于W，交CD于V，设CE＝a，则AE＝3a，可证得AE＝BE，VG＝VF，△ADF≌△BCG（ASA），从而DF＝CG，可证得△CEG∽△BEC，从而得出EG=13CE=13a，BG＝3a−13a=83a，根据EW∥BC，VGCG=EGBG=18，从而VG=18CG，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵DE⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠BCD＝∠BED，
∴点B、C、E、D共圆，
∴∠BEC＝∠BDC＝45°，
∴tan∠BEC＝1，
故答案为：1；
（2）∵DE⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠BED，
∴点B、C、E、D共圆，
∴∠BEC＝∠BDC，
∴tan∠BEC＝tan∠BDC=BCCD=BCAB=1k；
（3）如图，
作EW⊥AB于W，交CD于V，
设CE＝a，则AE＝3a，
∵∠BAD+∠BED＝90°+90°＝180°，
∴点A、B、E、D共圆，
∴∠DAE＝∠DBE，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠DAE＝∠CBE，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB﹣∠DAE＝∠ABC﹣∠CBE，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AB∥CD，
∴∠EFG＝BAE，∠EGF＝∠ABE，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴VG＝VF，
∴EW平分∠AEB，
∵AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴△ADF≌△BCG（ASA），
∴DF＝CG，
由（2）知，
点B、C、E、D共圆，
∴∠DCE＝∠DBE，
∴∠DCE＝∠CBE，
∵∠BEC＝∠BEC，
∴△CEG∽△BEC，
∴CEBE=EGCE=CGBC，
∴EGCE=CGBC=CEAE=13，
∴EG=13CE=13a，
∴BG＝BE﹣EG＝3a−13a=83a，
∵EW∥BC，
∴VGCG=EGBG=18，
∴VG=18CG，
∴VF＝VG=18CG，
∴AB＝CD＝CG+VG+VF+DF＝2VG+14CG=94CG=94×13BC=34BC，
∴k=ABBC=34．
【点评】本题考查了矩形和正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
24．（12分）如图，已知抛物线y=−13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）若∠PBA＝∠ACO，直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=−13x2+13x+4
（2）点P的坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）点P的坐标为(−34，5716)或(−214，−11116)．
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=−13x2+bx+c，即可求解；
（2）先求出S△OAC＝6，则S△BOP＝12，设P(t，−13t2+13t+4)，可得12×4×|−13t2+13t+4|=12，即可求P点坐标；
（3）设PB交y轴于点Q，利用正切函数求得OQ＝3，利用待定系数法求得直线PB的解析式，联立求得即可；当直线PB经过点Q关于原点的对称点Q1时，也符合题意，同理求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=−13x2+bx+c，
∴−3−3b+c=0−163+4b+c=0，
解得b=13c=4，
∴y=−13x2+13x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴S△OAC=12×3×4=6，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴S△BOP＝12，
设P(t，−13t2+13t+4)，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴12×4×|−13t2+13t+4|=12，
解得t＝6或t＝﹣5，
∴点P的坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）设PB交y轴于点Q，
∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∴OA＝3，OC＝OB＝4，
∵∠PBA＝∠ACO，
∴tan∠PBA＝tan∠ACO，
∴OQOB=OAOC，即OQ4=34，
∴OQ＝3，
设直线PB的解析式为y＝kx+3，
∴0＝4k+3，
解得k=−34，
∴直线PB的解析式为y=−34x+3，
联立y=−34x+3y=−13x2+13x+4，
解得x=4y=0或x=−34y=5716，
∴点P的坐标为(−34，5716)；
当直线PB经过点Q关于原点的对称点Q1时，也符合题意，同理求得直线P1B的解析式为y=34x−3，联立y=34x−3y=−13x2+13x+4，
解得x=4y=0或x=−214y=−11116，
∴点P的坐标为(−214，−11116)；
综上，点P的坐标为(−34，5716)或(−214，−11116)．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正切函数的定义．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
B．
C
C
C
C
C
B