2026年南京市中考数学终极押题模拟卷二（含答案）

这是一份2026年南京市中考数学终极押题模拟卷二（含答案），共5页。
A．3或﹣3B．3C．13或−13D．﹣3
2．（2分）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点O为△ABC的外心，连接OA交BC于点M．若OA＝AC＝1，则BC的长为（ ）
A．3B．23C．3D．2
3．（2分）若分式x−1x+3有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3B．x＞﹣3C．x≠3D．x＞3
4．（2分）计算92−62所得结果是（ ）
A．3B．6C．35D．±35
5．（2分）如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A．1−10B．−5C．−5+1D．−10−1
6．（2分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）在一次“爱心一日捐”捐款活动中，某小组8名同学捐款的金额如表所示，则这8名同学捐款的平均金额是 ．
8．（2分）已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ．
9．（2分）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a⊗b=a−ab，如3⊗4=3−3×4=−3，请你计算7⊗9＝ ．
10．（2分）如果关于x的方程x−1x−2=3+ax−2无解，那么a的值是 ．
11．（2分）将一元二次方程x2﹣8x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k＝ ．
12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，DE＝6，则⊙O的半径为 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，△ADE的面积为1，则△BCD的面积为 ．
14．（2分）已知反比例函数y=6x，则当1≤x≤3时，yx的最小值是 ．
15．（2分）如图，点E，F在矩形ABCD内，Rt△ABE≌Rt△CDF．若AB＝25，AD＝30，AE＝15，则EF的长为 ．
16．（2分）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将弧AB沿AB将翻折后，恰好经过圆心O，点P是翻折的弧AB上的一动点；连接BP并延长交⊙O于C，点Q为PC的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 ．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）解不等式组：2x+1＞0x+13＞x−1．
18．（7分）如图，点E为∠BAC边AC上一点，利用尺规过点E作直线MN，使MN∥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
19．（8分）如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花已知大长方形的长和宽分别为60m，45m，求小长方形的长和宽．
20．（7分）分析下面的计算过程是否正确，若不正确，请指出错误之处，并改正．
x+y2x−3y−3y−x2x−3y+y−2x2x−3y
=x+y−3y−x+y−2x2x−3y
=−y−2x2x−3y
=−2x+y2x−3y．
21．（8分）东校区为课程建设打造了基于“AI学习空间+校内实践基地+校外实践基地”的项目式学习新平台，其中校内实践基地包括：“紫•耘农场”“紫•膳厨房”“紫•憩水吧”“紫•护养殖基地”（分别记作A，B，C，D），某班同学采取小组合作的方式参与实践基地学习．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“紫•憩水吧”的概率为 ；
（2）各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的实践基地．将这四张卡片背面朝上洗匀后，小深代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小高代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组实践基地不同的概率．
22．（7分）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，5.75m以下为“一般成绩”，5.75m及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
（1）补全条形统计图．
（2）你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC．连接BO并延长交⊙O于点D．过点A作AE⊥BD，垂足为点E．点F在BD的延长线上，连接AF．使∠FAE＝2∠ABD．
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若DE＝1，BC＝6，求⊙O的半径．
24．（8分）请根据以下素材，完成探究任务．
25．（8分）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线BN（北偏东60°方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东60°方向移动3小时后，方向转为北偏东30°方向继续行进．
请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间；如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：3≈1.73）
26．（9分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），点B（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
27．（11分）实践课上，同学们利用量角器、三角尺ABC进行实践操作，其中∠ACB＝90°，∠A＝30°，小明和小华的操作如下．
请你根据上述内容，回答小明和小华的问题．
2026年 南京中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）若|﹣m|＝|﹣3|，则m的值为（ ）
A．3或﹣3B．3C．13或−13D．﹣3
【考点】绝对值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】利用绝对值的定义解答．
【解答】解：∵|﹣m|＝|﹣3|，
∴m＝±3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．
2．（2分）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点O为△ABC的外心，连接OA交BC于点M．若OA＝AC＝1，则BC的长为（ ）
A．3B．23C．3D．2
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OC，证明△OAC为等边三角形，求出∠OAC＝60°，求出MC后再求BC即可．
【解答】解：连接OC，
∵O为△ABC的外心，
∴OA＝OC，
∵OA＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
在Rt△ACM中，
MC＝AC•sin60°=32，
∴BC＝2MC=3．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外心性质、垂径定理性质的应用，等边三角形及三角函数的应用是解题关键．
3．（2分）若分式x−1x+3有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3B．x＞﹣3C．x≠3D．x＞3
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，因此只需令分母 x+3≠0 即可求解．
【解答】解：由题意可得：分母x+3≠0，
∴x≠﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2分）计算92−62所得结果是（ ）
A．3B．6C．35D．±35
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】先计算，再化简二次根式．
【解答】解：92−62
=81−36
=45
=35，
故答案为：C．
【点评】本题考查了二次根式的计算，掌握计算法则是解题的关键．
5．（2分）如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A．1−10B．−5C．−5+1D．−10−1
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】勾股定理得出AB，由AB＝AC，即可得数轴上点C所表示的数．
【解答】解：A、B、﹣2处的点构成了直角三角形，
∴AB=32+12=10，
∵AB＝AC，
∴AC=10，
∴C点所表示的数为−10+1，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，注意观察A点的位置，得出数轴上点C所表示的数．
6．（2分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．
【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），
绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），
则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，
再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．
故选：A．
【点评】此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练平移的规则是解本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）在一次“爱心一日捐”捐款活动中，某小组8名同学捐款的金额如表所示，则这8名同学捐款的平均金额是 6.5 ．
【考点】算术平均数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】6.5．
【分析】根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以8即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
（5×2+6×3+7×2+10×1）÷8＝6.5（元），
故答案为：6.5．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
8．（2分）已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 10或11 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】10或11．
【分析】由于未说明两边哪个是腰，故分情况讨论．
【解答】解：等腰三角形的腰长为3，底为4时，能构成三角形，这个等腰三角形的周长为：3+3+4＝10，
等腰三角形的腰长为4时，底为3时，能构成三角形，这个等腰三角形的周长为：3+4+4＝11，
故答案为：10或11．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2分）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a⊗b=a−ab，如3⊗4=3−3×4=−3，请你计算7⊗9＝ ﹣27 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】新定义；二次根式；运算能力．
【答案】﹣27．
【分析】根据题目中的新运算，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：∵a⊗b=a−ab，
∴7⊗9=7−7×9
=7−37
＝﹣27，
故答案为：﹣27．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、新运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
10．（2分）如果关于x的方程x−1x−2=3+ax−2无解，那么a的值是 1 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】将原方程去分母后化为整式方程，然后根据题意列得关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：原方程去分母得：x﹣1＝3x﹣6+a，
整理得：2x＝5﹣a，
∵原方程无解，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
则4＝5﹣a，
解得：a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
11．（2分）将一元二次方程x2﹣8x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k＝ 15 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】15
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可．
【解答】解：由题知，
x2﹣8x+1＝0，
x2﹣8x+16＝﹣1+16，
（x﹣4）2＝15，
因为一元二次方程x2﹣8x+1＝0可化成（x+h）2＝k的形式，
所以k＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，DE＝6，则⊙O的半径为 254 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】254．
【分析】连接OD，设OD＝r，则OE＝8﹣r，在Rt△ODE中利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接OD，
设OD＝r，则OE＝8﹣r，
在Rt△ODE中，
OE2+DE2＝OD2，即（8﹣r）2+62＝r2，
解得r=254．
故答案为：254．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，△ADE的面积为1，则△BCD的面积为 6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】由AD：DB＝1：2，推导出AD=13AB，由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，得AEAC=ADAB=13，则S△ADES△ADC=13，S△ADES△ABC=(ADAB)2=19，求得S△ADC＝3，S△ABC＝9，所以S△BCD＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AD：DB＝1：2，
∴AD=11+2AB=13AB，
∵DE∥BC，△ADE的面积为1，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=13，
∴S△ADES△ADC=13，S△ADES△ABC=(ADAB)2=(13)2=19，
∴S△ADC＝3S△ADE＝3×1＝3，S△ABC＝9S△ADE＝9×1＝9，
∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ADC＝9﹣3＝6，
故答案为：6．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、“高相等的三角形的面积的比等于底边长的比”等知识，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
14．（2分）已知反比例函数y=6x，则当1≤x≤3时，yx的最小值是 23 ．
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】23．
【分析】根据函数的增减性求解即可．
【解答】解：将反比例函数y=6x代入yx中，
可得：y=6x2，
∵1≤x≤3，
当x增大时，x2也随之增大，6x2则随之减小，
因此，6x2在x＝3时取得最小值，代入计算，
得632=23，
故答案为：23．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．
15．（2分）如图，点E，F在矩形ABCD内，Rt△ABE≌Rt△CDF．若AB＝25，AD＝30，AE＝15，则EF的长为 85 ．
【考点】矩形的性质；全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】85．
【分析】延长AE交DF于点H，利用勾股定理和全等三角形的性质得到AE＝CF＝15，BE＝DF＝20，∠BAE＝∠DCF，利用相似三角形的判定与性质求得AH＝24，DH＝18，再利用勾股定理解答即可．
【解答】解：延长AE交DF于点H，如图，
在Rt△ABE中，BE=AB2−AE2=252−152=20，
∵Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴AE＝CF＝15，BE＝DF＝20，∠BAE＝∠DCF，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠DCF+∠FDC＝90°，
∴∠DAE＝∠FDC，
∵∠FDC+∠ADF＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∴∠AHD＝90°，
∴∠AHD＝∠DFC＝90°，
∵∠DAE＝∠FDC，
∴△AHD∽△DFC，
∴ADDC=AHDF=DHCF，
∴3025=AH20=DH15，
∴AH＝24，DH＝18，
∴EH＝AH﹣AE＝9，FH＝DF﹣DH＝2，
∴EF=EH2+FH2=92+22=85．
故答案为：85．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
16．（2分）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将弧AB沿AB将翻折后，恰好经过圆心O，点P是翻折的弧AB上的一动点；连接BP并延长交⊙O于C，点Q为PC的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 3−1 ．
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；垂线段最短；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】3−1．
【分析】连接OA、OB，AP，作OM⊥AB，如图1所示，由翻折可知OM=12AO＝1，从而∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AOB＝120°，∠APB＝∠AOB＝120°，∠APC＝60°，由圆周角定理可知∠C＝60°，可判定△ACP为等边三角形，连接AQ，又Q为CP中点，由三线合一性质可得AQ⊥CP，由垂径定理可得M为AB中点，在Rt△AQB中，QM为斜边AB上的中线，故有QM=12AB=AM=3，又OQ≥QM﹣OM，当Q、O、M三点共线时取等号，即OQ≥3−1．
【解答】解：连接OA、OB，AP，作OM⊥AB，如图1所示，
由翻折可知OM=12AO＝1，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AOB＝120°，
∴∠APB＝∠AOB＝120°，∠APC＝60°，
由圆周角定理可知∠C＝60°，
∴△ACP为等边三角形，连接AQ，
又∵Q为CP中点，由三线合一性质可得AQ⊥CP，
∵OM⊥AB，由垂径定理可得M为AB中点，
在Rt△AQB中，QM为斜边AB上的中线，
故有QM=12AB=AM=3，
∵OQ≥QM﹣OM，当Q、O、M三点共线时取等号，
即OQ≥3−1，
故答案为：3−1．
【点评】本题以圆为背景考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等边三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质，轴对称（翻折）问题，直角三角形的斜边中线定理，三边关系，熟练掌握以上内容并作出正确的辅助线是解题关键．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）解不等式组：2x+1＞0x+13＞x−1．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】−12＜x＜2．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集即可．
【解答】解：解不等式2x+1＞0得x＞−12，
解不等式 x+13＞x−1 得x＜2．
∴不等式组的解集是 −12＜x＜2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（7分）如图，点E为∠BAC边AC上一点，利用尺规过点E作直线MN，使MN∥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】利用同位角相等两直线平行，作出∠NEC＝∠BAC即可得出答案．
【解答】解：如图所示：以E点为顶点，EC为一边在AC的上方作∠NEC＝∠BAC，反向延长射线EN，可得直线MN，则直线MN∥AB．
【点评】此题主要考查了基本作图，利用了同位角相等两直线平行的知识，作一个角等于已知角的方法是解题的关键．
19．（8分）如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花已知大长方形的长和宽分别为60m，45m，求小长方形的长和宽．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】小长方形的长为25m，宽为10m．
【分析】设小长方形的长为xm，宽为ym，根据大长方形草坪的长、宽，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，
根据题意得：2x+y=60x+2y=45，
解得：x=25y=10．
答：小长方形的长为25m，宽为10m．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（7分）分析下面的计算过程是否正确，若不正确，请指出错误之处，并改正．
x+y2x−3y−3y−x2x−3y+y−2x2x−3y
=x+y−3y−x+y−2x2x−3y
=−y−2x2x−3y
=−2x+y2x−3y．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】不正确，第一步，分子应该是x+y﹣3y+x+y﹣2x，
原式=x+y−3y+x+y−2x2x−3y=−y2x−3y=y3y−2x．
【分析】利用分式的加减运算法则计算．
【解答】解：不正确，第一步，分子应该是x+y﹣3y+x+y﹣2x，
原式=x+y−3y+x+y−2x2x−3y=−y2x−3y=y3y−2x．
【点评】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
21．（8分）东校区为课程建设打造了基于“AI学习空间+校内实践基地+校外实践基地”的项目式学习新平台，其中校内实践基地包括：“紫•耘农场”“紫•膳厨房”“紫•憩水吧”“紫•护养殖基地”（分别记作A，B，C，D），某班同学采取小组合作的方式参与实践基地学习．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“紫•憩水吧”的概率为 14 ；
（2）各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的实践基地．将这四张卡片背面朝上洗匀后，小深代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小高代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组实践基地不同的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）14；
（2）34．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出这两个小组实践基地不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）抽到的卡片内容是“紫•憩水吧”的概率=14；
故答案为：14；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中这两个小组实践基地不同的结果数为12，
所以这两个小组实践基地不同的概率=1216=34．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
22．（7分）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，5.75m以下为“一般成绩”，5.75m及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
（1）补全条形统计图．
（2）你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
【考点】条形统计图；算术平均数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）
（2）乙参加跳远比赛较为合适，
理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，所以乙参加跳远比赛较为合适．
【分析】（1）根据甲一般成绩有3次，即可补全条形统计图；
（2）根据条形统计图判断即可．
【解答】解：（1）补全条形统计图如下：
（2）乙参加跳远比赛较为合适，
理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，所以乙参加跳远比赛较为合适．
【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC．连接BO并延长交⊙O于点D．过点A作AE⊥BD，垂足为点E．点F在BD的延长线上，连接AF．使∠FAE＝2∠ABD．
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若DE＝1，BC＝6，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】（1）如图1，连接OA，
∵AD=AD，
∴∠AOD＝2∠ABD，
∵∠FAE＝2∠ABD，
∴∠FAE＝∠AOF，
∵AE⊥OD，
∴∠AEF＝90°，
∴∠F+∠FAE＝90°，
∴∠F+∠AOF＝90°，即∠FAO＝90°，
∴AF⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF与⊙O相切；
（2）⊙O的半径为5．
【分析】（1）连接OA，由圆周角定理得∠AOD＝2∠ABD，进而可得∠FAE＝∠AOF，结合AE⊥BD，证明∠FAO＝90°即可；
（2）连接OC，延长AO交BC于点M，由等腰三角形三线合一，可得AM⊥BC，BM＝CM，再证△AOE≌△BOM（AAS），推出AE=BM=12BC=3，再用勾股定理解Rt△OAE即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接OA，
∵AD=AD，
∴∠AOD＝2∠ABD，
∵∠FAE＝2∠ABD，
∴∠FAE＝∠AOF，
∵AE⊥OD，
∴∠AEF＝90°，
∴∠F+∠FAE＝90°，
∴∠F+∠AOF＝90°，即∠FAO＝90°，
∴AF⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OC，延长AO交BC于点M，
∵OC＝OB，AC＝AB，
∴AM⊥BC，BM＝CM，
∴∠OMB＝90°，
∵AE⊥OD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠OMB＝∠AEO，
在△AOE和△BOM中，
∠AOE=∠BOM∠AEO=∠BMOOA=OB，
∴△AOE≌△BOM（AAS），
∴BM＝AE，
∵BC＝6，
∴AE=BM=12BC=3，
∵DE＝1，OA＝OD，
∴OE＝OD﹣DE＝OA﹣1，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
∴OA2＝（OA﹣1）2+32，
解得：OA＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查切线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键．
24．（8分）请根据以下素材，完成探究任务．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】任务1：y=−14x+352；
任务2：w＝11x+3780．
【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工B服装，y名工人加工A服装，得出加工C服装的有（70﹣x﹣y）人，然后利用C服装总件数和A服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：求出A，B，C款服装各自利润，然后求和即可得到答案．
【解答】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，∵安排x名工人加工B服装，y名工人加工A服装，∴加工C服装的有（70﹣x﹣y）人，∵C服装总件数和A服装相等，∴（70﹣x﹣y）×1＝3y，
∴y=−14x+352．
任务2：根据题意得，
A服装利润为：24（3y），
B服装利润为：65x，
C服装利润为：48×1×（70﹣x﹣y），
∴w＝24（3y）+65x+48×1×（70﹣x﹣y）＝11x+3780，
∴w关于x的函数表达式为：w＝11x+3780．
【点评】题目主要考查一次函数及应用，理解题意，根据函数的性质求解是解题关键．
25．（8分）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线BN（北偏东60°方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东60°方向移动3小时后，方向转为北偏东30°方向继续行进．
请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间；如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：3≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】城市A不受台风的影响，理由详见解答．
【分析】过点A作AF⊥CM于点F，过点A作AG⊥BN于点G，风从点B位置沿北偏东60°方向移动3小时到达点C，求出BC，在Rt△BDC中，BD＝BC•cs30°，CD＝BC•sin30°，AD＝AB﹣BD，在Rt△BDC中，AC2＝CD2+AD2，求AC，在射线CM上AF时最短的距离，AH=12AB，EH＝AH•tan30°，BE＝AE=AHcs30°，在Rt△BAG中，AG＝300×sin30°，在Rt△AEG中，EG=AE2−AG2，在Rt△BHE中，BE=503sin30°，求出CE，在Rt△FCE中，EF=12CE，求出AF，比较即可．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥CM于点F，过点A作AG⊥BN于点G，
风从点B位置沿北偏东60°方向移动3小时到达点C，
则BC＝26×3＝78（千米），
∵∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BDC中，
BD＝BC•cs30°＝393，CD＝BC•sin30°＝39，
AD＝AB﹣BD＝300﹣393（千米），
在Rt△BDC中，
AC2＝CD2+AD2，
∴AC≈55591.2＞200，
∴台风中心在BN射线上运动时，不是台风影响区域，
在射线CM上AF时最短的距离，
∠MCN＝30°，
∴∠CEF＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BAE＝30°，
∴AH=12AB＝150千米，EH＝AH•tan30°＝503（千米），
∴BE＝AE=AHcs30°=1003，
在Rt△BAG中，
AG＝300×sin30°＝150（千米），
在Rt△AEG中，
EG=AE2−AG2=503，
在Rt△BHE中，
BE=503sin30°=1003（千米），
CE＝1003−78≈95（千米），
在Rt△FCE中，∠FCE＝30°，
∴EF=12CE≈47.5（千米），
∴AF＝1003+47.5≈220.5＞200，
∴城市A不受台风的影响．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是画图，作辅助线．
26．（9分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），点B（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2+4x+3；（2）y＝（x+5）2﹣2．
【分析】（1）把两点坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；
（2）根据“上加下减”平移规律解答．
【解答】解：（1）把A（0，3）与B（﹣1，0）代入得：c=31−b+c=0，
∴b＝4，c＝3．
则二次函数解析式为y＝x2+4x+3；
（2）由题意，∵二次函数y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴其的顶点坐标是（﹣2，﹣1）．
∴将该顶点向左平移3个单位，再向下平移1个单位后，则顶点坐标为（﹣5，﹣2）．
∴平移后抛物线的解析式为：y＝（x+5）2﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换，待定系数法确定函数关系式．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
27．（11分）实践课上，同学们利用量角器、三角尺ABC进行实践操作，其中∠ACB＝90°，∠A＝30°，小明和小华的操作如下．
请你根据上述内容，回答小明和小华的问题．
【考点】圆的综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】问题1：82°；问题2：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，不能使得AB与量角器外弧所在圆相切．理由见解析；问题3：2π．
【分析】问题1：连接OD，利用直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质求得∠BOD＝60°，再利用等式的性质解答即可；
问题2：过点O作OE⊥BD于点E，求得圆心到直线的距离小于半径，则圆与直线相交，结论可得；
问题3：连接OA，OB，设AB与OE交于点F，利用平行线的性质和等腰三角形的性质得到∠AOB＝120°，利用等边三角形的判定与性质求得∠AOE∠OEA＝60°，得到OE⊥AB，利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，再利用弧长公式解答即可．
【解答】解：问题1：连接OD，如图，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵点B的对应刻度为142°．
∴求点D对应的刻度＝142°﹣60°＝82°．
问题2：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，不能使得AB与量角器外弧所在圆相切．理由：
过点O作OE⊥BD于点E，如图，
∵OE⊥BD，∠B＝60°，
∴OE＝OB•sin60°=32OB＜OB，
∴圆心O到AB的距离小于圆的半径OB，
∴AB与半圆O相交，
∴将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，不能使得AB与量角器外弧所在圆相切．
问题3：连接OA，OB，设AB与OE交于点F，如图，
∵点A的对应刻度为30°，
∴∠AOM＝30°，
∵AB∥MN，
∴∠OAB＝30°，
∵OA＝OB，
∵∠OBA＝∠OAB＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∵∠OAE＝∠OAB+∠CAB＝60°OA＝OE，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE∠OEA＝60°，
∴∠BOE＝60°，∠AFE＝90°，
∴OE⊥AB，
∴AF＝FB=12AB=33，
∴OA=AFsin60°=3332=6，
∴OB＝OE＝6．
∴BE的长=60π×6180=2π．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直线与圆的位置关系，弧长公式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接圆的半径构造等腰三角形是解题常添加的辅助线．金额/元
5
6
7
10
人数
2
3
2
1
第1次测试
第2次测试
第3次测试
甲
×
4.82
5.36
5.56
6.15
×
5.81
×
5.78
乙
4.65
5.76
5.53
5.67
×
5.90
5.30
6.05
5.86
制定加工方案
生产背景
背景1
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批秋季服装，有A，B，C三种款式．
◆A，B，C三种款式服装，每种款式至少加工1件．
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工A服装3件，或B服装1件，或C服装1件．
◆C服装总件数和A服装总件数相等．
背景2
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①A种服装：24元/件；
②B种服装：65元/件；
③C种服装：48元/件．
信息整理
现安排x名工人加工B服装，y名工人加工A服装，列表如下：
服装款式
加工人数（人）
每人每天加工量（件）
平均每件获利（元）
A
y
3
24
B
x
1
65
C
1
48
探究任务
任务1
探寻变量关系
求y与x之间的数量关系；
任务2
建立数学模型
设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
小明：
做法：如图，小明将三角尺ABC放置在量角器上，点C与圆心O重合，已知这把三角尺的直角边BO和量角器外弧所在圆的半径相等，点D是斜边AB与量角器外弧所在圆的交点，点B的对应刻度为142°．
问题1：求点D对应的刻度．
问题2：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，能否使得AB与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由．
小华：
做法：如图，小华把斜边AB＝63的三角尺ABC叠放在量角器上，且AB∥MN，点A，B恰好落在量角器的外弧所在圆上，点A的对应刻度为30°，AC与外弧交于点E．
问题3：求BE的长．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
A
A
C
A
A
金额/元
5
6
7
10
人数
2
3
2
1
第1次测试
第2次测试
第3次测试
甲
×
4.82
5.36
5.56
6.15
×
5.81
×
5.78
乙
4.65
5.76
5.53
5.67
×
5.90
5.30
6.05
5.86
制定加工方案
生产背景
背景1
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批秋季服装，有A，B，C三种款式．
◆A，B，C三种款式服装，每种款式至少加工1件．
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工A服装3件，或B服装1件，或C服装1件．
◆C服装总件数和A服装总件数相等．
背景2
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①A种服装：24元/件；
②B种服装：65元/件；
③C种服装：48元/件．
信息整理
现安排x名工人加工B服装，y名工人加工A服装，列表如下：
服装款式
加工人数（人）
每人每天加工量（件）
平均每件获利（元）
A
y
3
24
B
x
1
65
C
1
48
探究任务
任务1
探寻变量关系
求y与x之间的数量关系；
任务2
建立数学模型
设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
小明：
做法：如图，小明将三角尺ABC放置在量角器上，点C与圆心O重合，已知这把三角尺的直角边BO和量角器外弧所在圆的半径相等，点D是斜边AB与量角器外弧所在圆的交点，点B的对应刻度为142°．
问题1：求点D对应的刻度．
问题2：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，能否使得AB与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由．
小华：
做法：如图，小华把斜边AB＝63的三角尺ABC叠放在量角器上，且AB∥MN，点A，B恰好落在量角器的外弧所在圆上，点A的对应刻度为30°，AC与外弧交于点E．
问题3：求BE的长．