2026年南京市中考数学终极押题模拟卷一（含答案）

这是一份2026年南京市中考数学终极押题模拟卷一（含答案），共5页。
A．m＞nB．m＜nC．m≥nD．m≤n
2．（2分）已知锐角△ABC中，O是AB的中点，甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）
A．只有甲正确B．只有乙正确
C．两人都正确D．两人都不正确
3．（2分）若分式x−1x+1有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x≠1D．x≠﹣1
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．64=8B．3−9=−3C．−4=2D．25=±5
5．（2分）如图，数轴上的A、B、C、D四个点中，表示2的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
6．（2分）将函数y＝2x的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．(−12，0)D．(0，−12)
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是5，则数据x1+2，x2+2，x3+2的平均数是 ．
8．（2分）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ．
9．（2分）对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b=a×bb−a（b＞a），则2※6＝ ．
10．（2分）若关于x的分式方程ax−2=1−x2−x−3无解，则a的取值是 ．
11．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0，配方后方程转化为（x+m）2＝n的形式为 ．
12．（2分）已知A、B为半径为1的⊙O上两点，P在线段AB上，PA＝3PB，若AB＝x，OP＝y，则y关于x的数量关系式为 ．
13．（2分）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE，则EFFC的值为 ．
14．（2分）已知反比例函数y=5x，当﹣5≤y＜﹣1时，自变量x的取值范围是 ．
15．（2分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点，连接AE，在平面内有一动点F，若△AEF与△ABE全等时，则BF＝ ．
16．（2分）如图，在半径为4的⊙O中，弦AC=42，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 ．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）解不等式组：2(x+3)≥8①x＜x+42②．
18．（7分）如图，点M是∠AOB的边OA上一点，请你过点M作一条直线MN，使得MN∥OB（保留作图痕迹，不写作法）．
19．（8分）甲乙两个同学收集同一类型的纪念卡共45张，甲同学拿出其纪念卡的40%给班级共享后，剩下卡片的数量比乙同学还多11张，求甲乙同学的纪念卡数量．
20．（7分）照相机成像应用了一个重要原理，即1f=1u+1v（v≠f），其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u，v来使成像清晰．问在f，v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？
21．（8分）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒游戏活动．每轮均有四个外观完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能随机抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的概率是 ；
（2）某轮游戏中只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，小贤先从四个盲盒中随机抽取一个，小艺再从剩下的三个盲盒中随机抽取一个，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率（不分先后顺序）．
22．（7分）某校为提高学生的文化自信，开展了“爱我中华”优秀传统文化大赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）进行统计、整理．
信息一：七年级抽取的学生的初赛成绩如下：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，
9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
信息二：八年级抽取的学生的初赛成绩制作成如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别计算七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩；
（2）若学校要给两个年级中的一个年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请从两个角度说明理由．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO＝2，OP＝5，求AC的长．
24．（8分）某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作．学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，已知两车行驶3h后在途中相遇．如图是两车距学校的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）求小轿车返回学校过程（AB段）的函数表达式；
（2）当x＞2时，问大巴车从学校出发后经过多长时间与小轿车相距20km．
25．（8分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．
（1）求从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？
（2）已知A岛和B岛间的距离为50海里，求B岛和C岛间的距离．
26．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（﹣7，0），矩形ABCD的边BC在线段OE上（点B在点C的左边），点A，D在抛物线上，且D（﹣1，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）保持矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点M、N，且直线MN平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
27．（11分）如图1，点O是线段BD的中点，点A、点C分别是在线段OB、OD上的点，且OA＝OC，使线段AC绕点O顺时针旋转，以O为圆心，分别以BO、AO为半径作大小两个半圆，连结CD，如图2．
（1）AB和CD有什么位置关系？请说明理由；
（2）设小半圆与BD相交于点E，AO=12BO=6．
①在AC旋转过程中，S△ABO最大值为 ，此时CD长为 ；
②当AB恰好与小半圆相切时，直接写出阴影部分的面积．
2026年 南京中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）若|m﹣n|＝n﹣m，那么m与n的关系是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m≥nD．m≤n
【考点】绝对值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】利用绝对值的定义解答．
【解答】解：∵|m﹣n|＝n﹣m，
∴m﹣n≤0，
∴m≤n，
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．
2．（2分）已知锐角△ABC中，O是AB的中点，甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）
A．只有甲正确B．只有乙正确
C．两人都正确D．两人都不正确
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OP，由甲的作法可知，BP⊥AC于点P，所以∠APB＝90°，则OP＝OA＝OB=12AB，所以△ABP的外心为点O，可判断甲正确；由乙的作法可知PA＝OA，假设△ABP的外心为点O，则OP＝OA＝PA，推导出∠A＝60°，与已知条件不符合，可判断乙不正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，连接OP，
由甲的作法可知，BP⊥AC于点P，
∴∠APB＝90°，
∵O是AB的中点，
∴OP＝OA＝OB=12AB，
∴△ABP的外心为点O，
故甲正确；
如图2，连接OP，
由乙的作法可知PA＝OA，
假设△ABP的外心为点O，则OP＝OA＝PA，
∴∠A＝60°，与已知条件不符合，
∴△ABP的外心不一定为点O，
故乙不正确，
故选：A．
【点评】此题重点考查三角形的外接圆与外心、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2分）若分式x−1x+1有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x≠1D．x≠﹣1
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】要确定分式有意义的条件，需根据分式的定义，保证分母不为零，从而列出不等式求解x的取值范围．
【解答】解：根据题意可知，x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是关键．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．64=8B．3−9=−3C．−4=2D．25=±5
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根的运算法则来解答．
【解答】解：64=8，本选项正确，故符合题意；
3−9≠−3，本选项不正确，故不符合题意；
−4=−2，本选项不正确，故不符合题意；
25=5，本选项不正确，故不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键是根据它的定义来解答．
5．（2分）如图，数轴上的A、B、C、D四个点中，表示2的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】利用实数的性质和数轴知识解答．
【解答】解：数轴上的A、B、C、D四个点中，表示2的点可能D点．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握掌握实数的性质和数轴知识．
6．（2分）将函数y＝2x的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．(−12，0)D．(0，−12)
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y＝0，解得即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得函数的解析式为y＝2x+1，
令y＝0，则2x+1＝0，
∴x=−12，
∴图象与x轴的交点坐标为（−12，0），
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是5，则数据x1+2，x2+2，x3+2的平均数是 7 ．
【考点】算术平均数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】由题意知x1+x2+x3＝15，再代入13×（x1+2+x2+2+x3+2）计算即可．
【解答】解：由题意知x1+x2+x3＝15，
∴13×（x1+2+x2+2+x3+2）
=13×（15+6）
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
8．（2分）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 7 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】7
【分析】分两种情况讨论，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是7，于是得到答案．
【解答】解：当等腰三角形的腰长是3时，
3+3＜7，不满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的第三边不能是3；
当等腰三角形的腰长是7时，
7+3＞7，满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的第三边为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论．
9．（2分）对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b=a×bb−a（b＞a），则2※6＝ 3 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；新定义；二次根式；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进一步化简即可．
【解答】解：∵a※b=a×bb−a（b＞a）
∴2※6
=2×66−2
=124
=232
=3．
故答案为：3．
【点评】本题题考查二次根式的混合运算，理解新定义运算，正确列出算式，并掌握二次根式乘除法计算法则a⋅b=ab（a≥0，b≥0）；ab=ab（a≥0，b＞0）是解题关键．
10．（2分）若关于x的分式方程ax−2=1−x2−x−3无解，则a的取值是 1 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】先把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再根据分式方程无解，可得到关于a的方程，即可求解．
【解答】解：去分母，得a＝x﹣1﹣3（x﹣2），
解得x=5−a2，
∵分式方程无解，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴5−a2=2，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了分式方程的无解问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
11．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0，配方后方程转化为（x+m）2＝n的形式为 （x﹣2）2＝6 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（x﹣2）2＝6．
【分析】通过配方法，将常数项移项后，添加一次项系数一半的平方完成配方，转化为完全平方式即可得出答案．
【解答】解：原方程移项得x2﹣4x＝2，
配方得 x2﹣4x+4＝6，
∴（x﹣2）2＝6，
故答案为：（x﹣2）2＝6．
【点评】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键．
12．（2分）已知A、B为半径为1的⊙O上两点，P在线段AB上，PA＝3PB，若AB＝x，OP＝y，则y关于x的数量关系式为 y=1416−3x2 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】y=1416−3x2．
【分析】过O点作OH⊥AB于H点，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH=12x，则PH=14x，利用勾股定理得到OH2＝1−14x2，OH2＝y2−116x2，所以1−14x2＝y2−116x2，然后用x表示y即可．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，连接OA，如图，
∵PA＝3PB，
∴AP=34x，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH=12AB=12x，
∴PH＝AP﹣PH=34x−12x=14x，
在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝12﹣（12x）2＝1−14x2，
在Rt△OPH中，OH2＝OP2﹣PH2＝y2﹣（14x）2＝y2−116x2，
∴1−14x2＝y2−116x2，
∴y2＝1−316x2，
∴y=1−316x2=1416−3x2．
故答案为：y=1416−3x2．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
13．（2分）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE，则EFFC的值为 3−12 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】3−12．
【分析】过F点作FH⊥BC于H点，如图，设FH＝x，利用平行线的性质得到∠FCH＝∠E＝30°，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到CH=3x，再利用∠B＝45°得到BH＝x，BF=2x，所以BC＝（3+1）x，接着利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=6+22x，所以AF＝AB﹣BF=6−22x，然后证明△AEF∽△BCF，于是利用相似比得到EFFC=AFBF=3−12．
【解答】解：过F点作FH⊥BC于H点，如图，设FH＝x，
∵BC∥DE，
∴∠FCH＝∠E＝30°，
∴CH=3x，
∵∠B＝45°，
∴BH＝FH＝x，
∴BF=2BH=2x，
∴BC=3x+x＝（3+1）x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=22BC=2(3+1)2x=6+22x，
∴AF＝AB﹣BF=6+22x−2x=6−22x，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴EFFC=AFBF=6−22x2x=3−12．
故答案为：3−12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
14．（2分）已知反比例函数y=5x，当﹣5≤y＜﹣1时，自变量x的取值范围是 ﹣5＜x≤﹣1 ．
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】﹣5＜x≤﹣1．
【分析】由k的值，可以得到该函数图象在第几象限，再根据反比例函数的性质，从而可以得到x的取值范围．
【解答】解：∵y=5x，
∴该函数图象在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
∴当y＝﹣5时，则5x=−5，则x＝﹣1，
当y＝﹣1时，则5x=−1，则x＝﹣5，
∴当﹣5≤y＜﹣1时，﹣5＜x≤﹣1，
故答案为：﹣5＜x≤﹣1．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，
15．（2分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点，连接AE，在平面内有一动点F，若△AEF与△ABE全等时，则BF＝ 5cm，245cm，75cm ．
【考点】矩形的性质；圆周角定理；轴对称的性质；全等三角形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】5cm，245cm，75cm．
【分析】以AE的中点为圆心52为半径作圆，得出F点的位置，进而分别求得BF即可求解．
【解答】解：∵AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点，
∴BE=12BC=3cm，
∴AE=42+32=5（cm），
如图所示，以AE的中点为圆心，52为半径作圆，
当F在AD上时，△AEF与△ABE全等，
则∠AF1E＝∠ABE＝90°，∠BAF1＝90°，
∴四边形ABEF1是矩形，则EF1＝AB＝4，AF1＝BE＝3cm，
∴BF1=32+42=5（cm），
当B，F2关于AE对称时，设BF2，AE交于点G，则BF2⊥AE，
∴BG=AB×BEAE=125（cm），
∴BF2=2BG=245cm，
当F1，F3关于AE对称时，连接F2F3，则四边形AF2EF3是矩形，
∴F2F3＝AE＝5cm，
又∵BF1＝F2F3，
∴四边形F1F2BF3是矩形，
∴BF3=52−(245)2=75（cm），
综上所述，BF＝5cm，245cm，75cm，
故答案为：5cm，245cm，75cm．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是关键．
16．（2分）如图，在半径为4的⊙O中，弦AC=42，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 13+1 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】13+1．
【分析】连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，证DE为△AOB的中位线得DE＝2，由此得随着点B在⊙O上运动，点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动，再证GM为△CED的中位线得GM＝1，由此随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得AM≤AG+GM，进而得当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大，最大值为AG+GM，取OE的中点F，连接GF，OC，先证△AOC为直角三角形，再证GF为△EOC的中位线，则GF＝2，OF＝1，GF∥OC，进而得∠AFG＝∠AOC＝90°，AF＝OA﹣OF＝3，然后在Rt△AGF中，由勾股定理求出AG，进而可求出AG+GM，据此可得AM的最大值．
【解答】解：连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，如图1所示：
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OB＝4，
∵点D为CD的中点，点E为OA的中点，
∴DE为△AOB的中位线，
∴DE=12OB＝2，
∴随着点B在⊙O上运动，
点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动，
∵点M为CD的中点，点G为CE的中点，
∴GM为△CED的中位线，
∴GM=12ED＝1，
∴随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径
的圆上运动，
根据“两点之间线段最短”得：AM≤AG+GM，
∴当AM＝AG+GM时，AM为最大，
即当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大，
最大值为AG+GM，
如图2所示，取OE的中点F，连接GF，OC，
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OC＝4，
∴OA2+OC2＝42+42＝32，
又∵AC=42，
∴AC2=(42)2=32，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC为直角三角形，即∠AOC＝90°，
∵点F是OE的中点，点G是CE的中点，
∴GF为△EOC的中位线，
∴GF=12OC＝2，OF=12OE＝1，GF∥OC，
∴∠AFG＝∠AOC＝90°，
∴AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△AGF中，AF＝3，GF＝2，
由勾股定理得：AG=AF2+GF2=13，
∴AG+GM=13+1．
∴AM的最大值为13+1．
故答案为：13+1．
【点评】此题主要考查了圆的有关概念，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握圆的有关概念，三角形的中位线定理，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）解不等式组：2(x+3)≥8①x＜x+42②．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1≤x＜4．
【分析】先分别解两个不等式得到 x≥1和x＜4，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x≥1；
解不等式②，得x＜4．
∴原不等式组的解集为1≤x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能找到不等式组的解集是解题的关键．
18．（7分）如图，点M是∠AOB的边OA上一点，请你过点M作一条直线MN，使得MN∥OB（保留作图痕迹，不写作法）．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】作∠AMN＝∠AOB即可．
【解答】解：如图，直线MN即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19．（8分）甲乙两个同学收集同一类型的纪念卡共45张，甲同学拿出其纪念卡的40%给班级共享后，剩下卡片的数量比乙同学还多11张，求甲乙同学的纪念卡数量．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】甲同学收集了35张纪念卡，乙同学收集了10张纪念卡．
【分析】设甲同学收集了x张纪念卡，乙同学收集了y张纪念卡，根据“甲乙两个同学收集同一类型的纪念卡共45张，甲同学拿出其纪念卡的40%给班级共享后，剩下卡片的数量比乙同学还多11张”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲同学收集了x张纪念卡，乙同学收集了y张纪念卡，
根据题意得：x+y=45(1−40%)x−y=11，
解得：x=35y=10．
答：甲同学收集了35张纪念卡，乙同学收集了10张纪念卡．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（7分）照相机成像应用了一个重要原理，即1f=1u+1v（v≠f），其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u，v来使成像清晰．问在f，v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】u=fvv−f．
【分析】利用分式的加减运算法则计算．
【解答】解：∵1f=1u+1v（v≠f），f，v已知，
∴1u=1f−1v=v−ffv，
∴u=fvv−f．
【点评】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
21．（8分）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒游戏活动．每轮均有四个外观完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能随机抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的概率是 14 ；
（2）某轮游戏中只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，小贤先从四个盲盒中随机抽取一个，小艺再从剩下的三个盲盒中随机抽取一个，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率（不分先后顺序）．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）14．
（2）16．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好装有“数独”卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好装有“数独”卡片的结果有1种，
∴恰好装有“数独”卡片的概率为14．
故答案为：14．
（2）将写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”的卡片盲盒分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有：（C，D），（D，C），共2种，
∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（7分）某校为提高学生的文化自信，开展了“爱我中华”优秀传统文化大赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）进行统计、整理．
信息一：七年级抽取的学生的初赛成绩如下：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，
9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
信息二：八年级抽取的学生的初赛成绩制作成如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别计算七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩；
（2）若学校要给两个年级中的一个年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请从两个角度说明理由．
【考点】条形统计图；算术平均数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩都是8.3；
（2）见解析．
【分析】（1）利用平均数公式计算可得；
（3）答案不唯一，可从平均数、中位数、众数、优秀率的角度来分析．根据两个年级众数和方差解答即可；
【解答】解：（1）七年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为6×2+7×3+8×5+9×7+10×320=8.3（分），
八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为6+7×6+8×4+9×4+10×520=8.3（分）；
（2）从众数角度看，七年级的众数为9大于八年级的众数为7；从中位数来看，七年级的中位数8.5高于八年级的中位数8，
综上所述，应该给七年级颁奖．（答案不唯一，也可从众数、优秀率的角度来分析）．
【点评】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO＝2，OP＝5，求AC的长．
【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；直线与圆的位置关系．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】（1）如图1，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，
∴∠COP＝∠BOP，
在△COP和△BOP中，
OP=OP∠COP=∠BOPOC=OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC与⊙O相切；
（2）85．
【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠COP＝∠BOP，进而证明△COP≌△BOP（SAS），推出∠OCP＝∠OBP＝90°，即可证明PC与⊙O相切；
（2）由△COP≌△BOP可推出OP垂直平分BC，利用等面积法求出BD=2215，进而求出BC=4215，由圆周角定理得∠ACB＝90°，最后用勾股定理解Rt△ACB即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，
∴∠COP＝∠BOP，
在△COP和△BOP中，
OP=OP∠COP=∠BOPOC=OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接BC交OP于点D，
∵△COP≌△BOP，
∴PC＝PB，OB＝OC，
∴OP垂直平分BC，
∵AO＝BO＝2，OP＝5，∠OBP＝90°，
∴BP=OP2−OB2=52−22=21，
∵S△OBP=12OB⋅BP=12OP⋅BD，
∴BD=OB⋅BPOP=2×215=2215，
∴BC=2BD=4215，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2•OA＝4，∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=42−(4215)2=85．
【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
24．（8分）某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作．学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，已知两车行驶3h后在途中相遇．如图是两车距学校的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）求小轿车返回学校过程（AB段）的函数表达式；
（2）当x＞2时，问大巴车从学校出发后经过多长时间与小轿车相距20km．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣40x+200；
（2）当x＞2时，大巴车从学校出发后经过2710或3310时与小轿车相距20km．
【分析】（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A（2，120），B（5，0）代入解析式，得出解析式；
（2）设直线OC的函数解析式为：y＝k1x（k1≠0），求出直线OC的解析式为y=803x，结合x＞2，再根据题意分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b（k≠0），由条件可得：
2k+b=1205k+b=0，
解得：k=−40b=200，
则直线AB的解析式是：y＝﹣40x+200，
（2）当x＝3时，y＝﹣40x+200＝﹣40×3+200＝80，
设直线OC的函数解析式为：y＝k1x（k1≠0），
将（3，80）代入函数解析式，可得：80＝3k1，
解得：k1=803，
即直线OC的函数解析式为：y=803x，
当803x−(−40x+200)=20，
解得x=3310；
当(−40x+200)−803x=20，
解得x=2710；
当x＞2时，大巴车从学校出发后经过2710或3310时与小轿车相距20km．
【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
25．（8分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．
（1）求从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？
（2）已知A岛和B岛间的距离为50海里，求B岛和C岛间的距离．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）60°；
（2）B岛和C岛间的距离为25海里．
【分析】（1）根据方向角和平行线的性质，求出∠EBA＝100°进而求出∠ABC即可；
（2）根据平行线的性质可得∠ACB＝∠DAC+∠EBC＝50°+40°＝90°，在Rt△ABC中根据AB＝50海里求出BC即可．
【解答】解：（1）由题意可知，∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC＝40°，
∵DA∥BE，
∴∠DAB+∠EBA＝180°，
∴∠EBA＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝100°﹣40°＝60°；
（2）过点C作CF∥DA，则CF∥EB，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠DAC+∠EBC＝50°+40°＝90°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝50海里，
∴BC＝cs∠ABC•AB＝cs60°×50=12×50＝25（海里），
答：B岛和C岛间的距离为25海里．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，理解方向角的意义以及平行线的性质是正确解答的前提．
26．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（﹣7，0），矩形ABCD的边BC在线段OE上（点B在点C的左边），点A，D在抛物线上，且D（﹣1，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）保持矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点M、N，且直线MN平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；一次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=−12x2−72x；
（2）抛物线平移的距离是3个单位．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据矩形是中心对称图形，利用平移的性质得到四边形PQEN是平行四边形，根据中点得到平移距离PQ长即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（﹣7，0），D（﹣1，3）．
∴49a−7b=0a−b=3，解得a=−12b=−72
∴该抛物线的函数表达式为y=−12x2−72x；
（2）如图，连接AC、BD相交于点P，连接OC，取AE的中点Q，连接PQ，
∵抛物线y=−12x2−72x，
∴对称轴为直线x=−−722×(−12)=−72，
∵D（﹣1，3），
∴A（﹣6，3），
∵E（﹣7，0），
∴Q（−132，32），
∵直线MN过对角线的交点，
∴MN平分矩形ABCD的面积，
由平移的性质可知，四边形PQEN是平行四边形，
∴PQ＝EN，
∵P是AC中点，
∵D（﹣1，3），
∴C（﹣1，0），
∴P（−72，32），
∴EN＝PQ=−72+132=3，
∴抛物线平移的距离是3个单位．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
27．（11分）如图1，点O是线段BD的中点，点A、点C分别是在线段OB、OD上的点，且OA＝OC，使线段AC绕点O顺时针旋转，以O为圆心，分别以BO、AO为半径作大小两个半圆，连结CD，如图2．
（1）AB和CD有什么位置关系？请说明理由；
（2）设小半圆与BD相交于点E，AO=12BO=6．
①在AC旋转过程中，S△ABO最大值为 36 ，此时CD长为 65 ；
②当AB恰好与小半圆相切时，直接写出阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（2）①36；65；②183−6π．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质得到∠ABO＝∠CDO，再利用平行线的判定定理解答即可；
（2）①由旋转的性质得到在AC旋转过程中，当OA⊥AB时，△BOA的面积最大，利用三角形的面积公式和勾股定理解答即可；
②利用圆的切线的性质定理，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质求得∠COD＝60°，CD的长度，再利用阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形OCE解答即可．
【解答】解：（1）AB和CD位置关系为：AB∥CD，理由：
由题意得：OA＝OC，
∵点O是线段BD的中点，
∴OB＝OD．
在△AOB和△COD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴∠ABO＝∠CDO，
∴AB∥CD；
（2）①∵AO=12BO=6，
∴AO＝6，BO＝12．
∴在AC旋转过程中，当OA⊥AB时，△BOA的面积最大，
∴△BOA的面积最大值为12BO⋅OA=12×6×12=36．
∵OA⊥AB，AO＝6，BO＝12，
∴AB=OA2+OB2=122+62=65．
由（1）知：△AOB≌△COD，
∴CD＝AB＝65．
故答案为：36；65；
②阴影部分的面积为：183−6π．
∵AB恰好与小半圆相切，
∴OA⊥AB．
∵AO=12BO=6，
∴∠B＝30°，
∵OA＝OC，
∴OC＝6．
由（1）知：AB∥CD，
∴OC⊥CD，∠D＝∠B＝30°，
∴∠COD＝60°．
∴CD=3OC＝63．
∴S△OCD=12OC⋅CD=12×6×63=183．
∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形OCE
＝183−60π×62360
＝183−6π．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，扇形，三角形的面积公式，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．甲的作法
…（如图）
乙的作法
以A为圆心，AO长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
A
D
A
D
C
甲的作法
…（如图）
乙的作法
以A为圆心，AO长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求．
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）