2026年上海市中考数学终极押题模拟卷一（含答案）

这是一份2026年上海市中考数学终极押题模拟卷一（含答案），共5页。
A．a3+a4＝a7B．a•a2＝a2C．a4﹣a2＝a2D．（3a）2＝9a2
2．（4分）若一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，那么表示这个三位数的代数式是（ ）
A．100c+10b+aB．a+b+c
C．100a+10b+cD．abc
3．（4分）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝3x+1B．y=x2C．y=3xD．y＝3x2
4．（4分）某校九年级（5）班开展“读二本好书，伴自己成长”活动，对本班学生一周的阅读时长进行了统计并绘制成如图所示的条形统计图，则该班学生一周阅读时长的中位数和众数分别是（ ）
A．10h，9hB．10h，10hC．9.5h，9hD．9.5h，10h
5．（4分）已知|a→|=5，|b→|=3，且b→与a→的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A．b→=35a→B．b→=−35a→C．b→=53a→D．b→=−53a
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F为△ABC的内心
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝ ．
8．（4分）已知不等式组2x+1≥x−1−x+2≥2(x−1)要使它的解集中的任意x的值都能使不等式3x≥m+3成立，则m的取值范围是 ．
9．（4分）方程x−12=2的解是 ．
10．（4分）关于x的方程x2+4x+2c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
11．（4分）将抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为 ．
12．（4分）若双曲线y=kx在第一、三象限，则k可以是 （写出一个k的值即可）．
13．（4分）一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是 ．
14．（4分）在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点O处，经折射后到盆底点B处，法线与盆底交于点A．光线的入射角为α，折射角为θ．若规定“sinαsinθ”为折射率n，则光在水中的折射率n约为43．当α＝30°时，测得AB＝30cm，则OB的长为 cm．
15．（4分）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若初中生有80人，则大学生有 人．
16．（4分）已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3．现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）．
17．（4分）如图所示，已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连结EF，AF，BE，若四边形ABEF是菱形，那么ABAD的值为 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12(x−1)2−52与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径作⊙M．给出下面四个结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝1；
②⊙M的面积为4π；
③抛物线上存在点E，使四边形ACEM为平行四边形；
④直线CD与⊙M相切．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：(27)13+|1−3|+13+2−(13)−1．
20．（10分）解方程：xx−1−3=31−x．
21．（10分）随着AI技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活．某公司使用甲，乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了8小时．甲，乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲机器人每小时分拣快递的件数．
（2）当甲，乙两机器人分拣快递件数相同时，求乙机器人工作的时间．
22．（10分）如图，由小正方形构成的6×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．D是AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在BC的下方画出格点E，使∠BEC＝∠BAC；在BC上画点F，使DF∥AC；
（2）在AC上画点G，使BG平分∠ABC；设∠ABC＝α，将点D绕点B顺时针旋转α，画出对应点H．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点H，延长CD到点E，连结AE交⊙O于点F，连结AC、BC、FC，且∠BCD＝∠BAC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）若AF＝4，EF＝6，则AC的长为 ．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（4，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2．
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，p），N（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点，p≠0且x12p−x2−4x1−4=0，求证：p＝q．
25．（14分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，AC垂直平分BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若四边形ABCD的面积为20，AB＝5，BO＞AO．
①求线段AC的长度；
②若点E为线段OD上一点，连接AE并延长，交CD于点F，交BC延长线于点G，OE=52，求线段EF的长度．
2026年 上海中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．a•a2＝a2C．a4﹣a2＝a2D．（3a）2＝9a2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据同类项、同底数幂乘法、积的乘方运算法则即可．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、a•a2＝a3，原计算错误，不符合题意；
C、不是同类项，不能合并，不符合题意；
D、（3a）2＝9a2，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的相关运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
2．（4分）若一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，那么表示这个三位数的代数式是（ ）
A．100c+10b+aB．a+b+c
C．100a+10b+cD．abc
【考点】列代数式．
【专题】整式；数感．
【答案】A
【分析】百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，个位上数字乘以1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是三位数．
【解答】解：因为个位，十位，百位上的数字分别是a，b，c，
所以这个三位数为：100c+10b+a．
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式，正确记忆数字问题，要表示这个三位数，百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，然后得到的数加起来，再加上个位上的数字是解题关键．
3．（4分）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝3x+1B．y=x2C．y=3xD．y＝3x2
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；模型思想．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义解答即可．
【解答】解：A、y＝3x+1，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意；
B、y=x2，是正比例函数，符合题意；
C、y=3x，是反比例函数，不符合题意；
D、y＝3x2，是二次函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，形如y＝kx（k为常数且k≠0）的函数是正比例函数，需满足：①自变量x的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．
4．（4分）某校九年级（5）班开展“读二本好书，伴自己成长”活动，对本班学生一周的阅读时长进行了统计并绘制成如图所示的条形统计图，则该班学生一周阅读时长的中位数和众数分别是（ ）
A．10h，9hB．10h，10hC．9.5h，9hD．9.5h，10h
【考点】条形统计图；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据众数是指一组数据中出现次数最多的数；阅读9小时的有11人，人数最多，所以众数是9小时；根据中位数是指把一组数据按从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（两个数的平均数），确定中位数，问题即可解答．
【解答】解：由图可知，阅读9小时的有11人，人数最多，所以众数是9小时，将40人阅读时间从小到大排列，中间两个数的平均数为10小时，即中位数为10小时，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数的知识，掌握定义是解题的关键．
5．（4分）已知|a→|=5，|b→|=3，且b→与a→的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A．b→=35a→B．b→=−35a→C．b→=53a→D．b→=−53a
【考点】*平面向量．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】先表示出两个向量的模的关系，再根据方向相反可得答案．
【解答】解：∵|a→|=5，|b→|=3，
∴|b→|=35|a→|，
∵b→与a→的方向相反，
∴b→=−35a→．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握相反向量的概念．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F为△ABC的内心
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，则可计算出∠BAD＝∠CAD＝18°，再利用∠ABF＞∠BAF得到AF＞BF，从而得到点F不是△ABC的外心，于是可对A选项进行判断；通过计算∠ABC＝∠ACB＝72°，则可判断BE平分∠ABC，所以根据三角形内心的定义可对B选项进行判断；连接FC，如图，利用AD垂直平分BC得到FB＝FD，再通过计算得到∠CEF＞∠ECF，所以FC＞FE，从而可对C选项进行判断；由于∠BCE＞∠EBC，则BE＞EC，加上AE＝BE，所以AE＞EC，从而可对D选项进行判断．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝18°，
∵AE＝BE，
∴∠ABF＝∠BAE＝36°，
∴∠ABF＞∠BAF，
∴AF＞BF，
∴点F不是△ABC的外心，所以A选项不符合题意；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣36°）＝72°，
∵∠ABD＝36°，
∴BE平分∠ABC，
∴点F为△ABC的内心，所以B选项符合题意；
连接FC，如图，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴FB＝FD，
∴∠FCB＝∠FBC＝36°，
∴∠ECF＝36°，
∵∠CEF＝∠BAE+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠CEF＞∠ECF，
∴FC＞FE，
∴点E、B、C不在以F为圆心的同一个圆上，所以C选项不符合题意；
∵∠EBC＝36°，∠BCE＝72°，
∴∠BCE＞∠EBC，
∴BE＞EC，
∵AE＝BE，
∴AE＞EC，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等腰三角形的性质和三角形的内切圆与内心．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝ （x﹣1）（a﹣3） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（x﹣1）（a﹣3）．
【分析】先确定公因式，再提取即可．
【解答】解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（a﹣3），
故答案为：（x﹣1）（a﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
8．（4分）已知不等式组2x+1≥x−1−x+2≥2(x−1)要使它的解集中的任意x的值都能使不等式3x≥m+3成立，则m的取值范围是 m≤﹣9 ．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m≤﹣9．
【分析】先解不等式组得到解集，结合3x≥m+3成立列式求解即可得到答案．
【解答】解：2x+1＞x−1①−x+2≥2(x−1)②，
由①得x≥﹣2，
由②得x≤43，
∴−2≤x≤43，
∴﹣6≤3x≤4，
∵3x≥m+3，
∴m+3≤﹣6，
解得：m≤﹣9，
故答案为：m≤﹣9．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及解一元一次不等式，解题的关键是正确的求出不等式组的解集．
9．（4分）方程x−12=2的解是x＝16 ．
【考点】无理方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝16．
【分析】将原方程两边同时平方后解得x的值，然后进行检验即可．
【解答】解：原方程两边同时平方得x﹣12＝4，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，
故原方程的解为x＝16，
故答案为：x＝16．
【点评】本题考查解无理方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
10．（4分）关于x的方程x2+4x+2c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c＜2 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；运算能力．
【答案】c＜2．
【分析】由原方程由两个不相等的实数根，可得出根的判别式Δ＞0，解之即可得出c的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+2c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×2c＞0，
解得：c＜2，
∴c的取值范围为c＜2．
故答案为：c＜2．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11．（4分）将抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为 y＝（x+4）2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y＝（x+4）2．
【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的表达式为y＝（x+2+2）2﹣5+5，即y＝（x+4）2．
故答案为：y＝（x+4）2．
【点评】本题考查了二函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
12．（4分）若双曲线y=kx在第一、三象限，则k可以是 1（答案不唯一，只要k＞0即可） （写出一个k的值即可）．
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】1（答案不唯一，只要k＞0即可）．
【分析】根据双曲线的图象的性质可知k＞0，由此解答即可．
【解答】解：∵双曲线y=kx的图象在第一、三象限，
∴k＞0，
则k的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一，只要k＞0即可）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，当k＞0时，图象的两个分支位于第一、三象限；当k＜0时，图象的两个分支位于第二、四象限．
13．（4分）一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是 38 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】38．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可得到一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有8种可能性，其中一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的可能性有3种，
∴一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是38，
故答案为：38．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
14．（4分）在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点O处，经折射后到盆底点B处，法线与盆底交于点A．光线的入射角为α，折射角为θ．若规定“sinαsinθ”为折射率n，则光在水中的折射率n约为43．当α＝30°时，测得AB＝30cm，则OB的长为 80 cm．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】80．
【分析】先根据折射率、特殊角的函数值求出sinθ的值，再利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：∵sinαsinθ=n=43，
∴sinθ=34•sina．
当α＝30°时，
sinθ=34•sin30°=34×12=38．
在Rt△OAB中，
∵sinθ=ABOB=38，AB＝30cm，
∴OB=83AB=83×30＝80（cm）．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的函数值，理解折射率是解决本题的关键．
15．（4分）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若初中生有80人，则大学生有 40 人．
【考点】扇形统计图．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】40
【分析】先由初中生的人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再用总人数乘以大学生对应的百分比即可．
【解答】解：由题意知，被调查的总人数为80÷40%＝200（人），
所以观看的大学生有200×20%＝40（人），
故答案为：40．
【点评】本题主要考查扇形统计图，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
16．（4分）已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3．现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是 2.37×10﹣5 千克（结果用科学记数法表示）．
【考点】科学记数法—表示较小的数；有理数的乘法．
【专题】实数；数感．
【答案】2.37×10﹣5．
【分析】先将体积单位从立方毫米转换为立方米，再求质量，最后用科学记数法表示结果，即可作答．
【解答】解：根据题意可知，3mm3＝3×10﹣9m3，
∴铁钉的质量用科学记数法表示为：7.9×103×3×10﹣9＝2.37×10﹣5．
故答案为：2.37×10﹣5．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键．
17．（4分）如图所示，已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连结EF，AF，BE，若四边形ABEF是菱形，那么ABAD的值为 233 ．
【考点】矩形的性质；轴对称的性质；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】233．
【分析】设DE＝a，根据矩形性质得∠ABC＝90°，再根据轴对称的性质得DF＝DE＝a，点F在CD的延长线上，进而得EF＝2a，∠ADF＝90°，然后根据菱形性质得AB＝BE＝EF＝AF＝2a，进而在在Rt△ADF中，由勾股定理得AD=3a，据此可得ABAD的值．
【解答】解：设DE＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点F是点E关于直线AD的对称点，
∴DF＝DE＝a，点F在CD的延长线上，
∴EF＝DF+DE＝2a，∠ADF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴△ADF是直角三角形，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝2a，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD=AF2−DF2=(2a)2−a2=3a，
∴ABAD=2a3a=233，
即（AB/AD）的值为233．
故答案为：233．
【点评】此题主要考查了矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理是解决问题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12(x−1)2−52与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径作⊙M．给出下面四个结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝1；
②⊙M的面积为4π；
③抛物线上存在点E，使四边形ACEM为平行四边形；
④直线CD与⊙M相切．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ①④ ．
【考点】直线与圆的位置关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；平行四边形的判定与性质．
【答案】①④．
【分析】①根据抛物线的表达式可得出对称轴为直线x＝1，由此可对结论①进行判断；
②先求出点A（1−5，0），点B（1+5，0），则AB=25，进而得MA＝MB=5，由此可求出⊙M的面积为5π，据此可对结论②进行判断；
③求出点C（0，﹣2），假设抛物线上存在点E，使四边形ACEM为平行四边形，连接CE，则CE∥AM，CE＝MA＝√5，则点E的纵坐标为﹣2，进而得点E（2，﹣2），此时CE＝2≠5，故假设是错误的，据此可对结论③进行判断；
④连接CD，MD，先求出点M（1，0），点C（0，﹣2），D(1，−52)，则MC=5，即MC为⊙M的半径，进而得CD=52，DM=52，则CD2+MC2＝DM2，由此得CD⊥MC，然后根据切线的判定定理进而对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵抛物线y=12(x−1)2−52的对称轴为直线x＝1，
∴结论①正确；
②对于y=12(x−1)2−52，当y＝0时，则12(x−1)2−52=0，
解得：x1=1−5，x2=1+5，
∴点A（1−5，0），点B（1+5，0），
∴AB=1+5−（1−5）=25，
∵AB是⊙M的直径，
∴MA＝MB=5，
∴⊙M的面积为：(5)2×π=5π，
∴结论②不正确；
③对于y=12(x−1)2−52，当x＝0时，y＝﹣2，
∴点C（0，﹣2），
假设抛物线上存在点E，使四边形ACEM为平行四边形，
连接CE，ME，则CE∥AM，CE＝MA=5，如图1所示：

∴点E的纵坐标为﹣2，
对于y=12(x−1)2−52，当y＝﹣2时，则12(x−1)2−52=−2，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴点E（2，﹣2），
∴CE＝2≠5，这与CE＝MA=5相矛盾，
∴假设是错误的，
故结论③不正确；
④连接CD，MD，如图2所示：
∵点A（1−5，0），点B（1+5，0），MA＝MB=5，
∴点M（1，0），即点M在抛物线的对称轴上，
又∵点C（0，﹣2），
∴MC=(1−0)2+(0+2)2=5，
∴点C在⊙M上，即MC为⊙M的半径，
∵抛物线y=12(x−1)2−52的顶点D(1，−52)，
∴CD=(1−0)2+(−52−2)2=52，DM=52，
∵CD2+MC2=(52)2+(5)2=254，DM2=254，
∴CD2+MC2＝DM2，
∴△MCD为直角三角形，即∠MCD＝90°，
∴CD⊥MC，
又∵MC为⊙M的半径，
∴直线CD与⊙M相切，
∴结论④正确，
综上所述：正确的结论是①④．
故答案为：①④．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与坐标轴的交点坐标，对称轴和顶点坐标，切线的判定，平行四边形的判定等，熟练掌握二次函数的图象与坐标轴的交点坐标，对称轴和顶点坐标，切线的判定，平行四边形的判定是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：(27)13+|1−3|+13+2−(13)−1．
【考点】分数指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质以及分母有理化的方法分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：原式＝3+3−1+2−3−3
＝4−3．
【点评】此题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、分数指数幂、绝对值的性质以及分母有理化的方法是解题的关键．
20．（10分）解方程：xx−1−3=31−x．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝3．
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后验根，即可求解．
【解答】解：xx−1−3=31−x．
方程两边同乘（x﹣1），得：x﹣3（x﹣1）＝﹣3，
解得：x＝3．
检验：当x＝3时，x﹣1≠0，
所以原方程的解为x＝3．
【点评】本题主要考查了解分式方程，正确进行计算是解题关键．
21．（10分）随着AI技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活．某公司使用甲，乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了8小时．甲，乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲机器人每小时分拣快递的件数．
（2）当甲，乙两机器人分拣快递件数相同时，求乙机器人工作的时间．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）甲机器人每小时分拣快递500件；
（2）乙机器人工作的时间为2.5小时或7.5小时．
【分析】（1）设甲、乙的分拣速度为未知数，根据“0﹣2小时甲乙共同分拣的总量”“2﹣3.5小时乙单独分拣后的总量”列二元一次方程组，求解得到甲的速度．
（2）分别写出甲、乙分拣总数关于乙工作时间x的函数关系式，分“甲工作、甲维修、甲重新工作”三个阶段，令两函数值相等，解方程得到对应时间．
【解答】解：（1）设甲机器人每小时分拣x件，乙机器人每小时分拣y件，
根据图象题意列方程组：2(x+y)=18001800+1.5y=2400，
解得x=500y=400，
答：甲机器人每小时分拣快递500件；
（2）根据（1）乙机器人每小时分拣快递400件，
∴乙单独分拣快递总数y乙＝400x．
当0＜x≤2时，甲机器人每小时分拣快递500件，它们同时开始工作，不存在分拣快递件数相同的情况；
当3.5＜x≤8时，y甲＝1000+500（x﹣3.5）＝500x﹣750．
当y甲＝y乙时，500x﹣750＝400x，
解得x＝7.5，
当2＜x≤3.5时，y甲＝500×2＝1000，
当y甲＝y乙时，400x＝1000，
解得x＝2.5；
答：当甲、乙分拣快递件数相同时，乙机器人工作的时间为2.5小时或7.5小时．
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用及一次函数的应用与求解，关键是通过不同工作阶段的总量关系列方程组求速度，再构建甲、乙分拣总数的函数关系式，分阶段求解函数值相等时的自变量．
22．（10分）如图，由小正方形构成的6×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．D是AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在BC的下方画出格点E，使∠BEC＝∠BAC；在BC上画点F，使DF∥AC；
（2）在AC上画点G，使BG平分∠ABC；设∠ABC＝α，将点D绕点B顺时针旋转α，画出对应点H．
【考点】作图﹣旋转变换；平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【分析】（1）构造全等三角形解决问题即可；
（2）取格点K，连接AK，取格点P，Q，连接PQ交AK与点O，连接BO，延长BO交AC与点G，点G即为所求，连接DK交BG与点J，连接AJ，延长AJ交BC与点H，点H即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点E，点F即为所求；
（2）如图2中，点G，点H即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点H，延长CD到点E，连结AE交⊙O于点F，连结AC、BC、FC，且∠BCD＝∠BAC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）若AF＝4，EF＝6，则AC的长为 210 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）210．
【分析】（1）由圆周角定理推出∠ACB＝90°，得到∠BAC+∠ABC＝90°，因此∠BCD+∠ABC＝90°，求出∠CHB＝90°，即可证明CD⊥AB；
（2）由垂径定理推出AC=AD，由圆周角定理推出∠AFC＝∠ACE，判定△ACF∽△AEC，推出AC：AE＝AF：AC，求出AE＝10，即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠CHB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：由（1）知：AB⊥CD，
∴AC=AD，
∴∠AFC＝∠ACE，
∵∠CAF＝∠CAE，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC：AE＝AF：AC，
∵AF＝4，EF＝6，
∴AE＝AF+EF＝10，
∴AC：10＝4：AC，
∴AC＝210．
故答案为：210．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，关键是由圆周角定理得到∠ACB＝90°，判定△ACF∽△AEC，推出AC：AE＝AF：AC．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（4，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2．
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，p），N（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点，p≠0且x12p−x2−4x1−4=0，求证：p＝q．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）x＝2；
（2）①y＝﹣x2+4x；
②把M（x1，p）代入y＝﹣x2+4x得到：p=−x12+4x1，
∴x12−x12+4x1−x2−4x1−4=0，
化简得x1+x2＝4x1+x22=2，
即点M，N关于对称轴对称，
∴p＝q．
【分析】（1）把A（4，0）代入得b＝﹣4a，进而根据对称轴公式，即可求解；
（2）①根据当x＝2时，最大值为6﹣2a2.得出a＝﹣1，结合b＝﹣4a即可求解；
②把M（x1，p）代入y＝﹣x2+4x得到：p=−x12+4x1代入代数式化简得出x1+x2＝4，即可得出点M，N关于对称轴对称，即可求解．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入y＝ax2+bx得：16a+4b＝0，
解得b＝﹣4a，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=−−4a2a=2，
即对称轴为直线x＝2．
（2）①∵二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2.对称轴为直线x＝2，
∴抛物线开口向下，
当x＝2时，函数取得最大值，
∴4a﹣8a＝6﹣2a2，
解得a＝3（舍去）或a＝﹣1，
∴b＝﹣4a＝4，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x；
②把M（x1，p）代入y＝﹣x2+4x得到：p=−x12+4x1，
∴x12−x12+4x1−x2−4x1−4=0，
化简得x1+x2＝4x1+x22=2，
即点M，N关于对称轴对称，
∴p＝q．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．（14分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，AC垂直平分BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若四边形ABCD的面积为20，AB＝5，BO＞AO．
①求线段AC的长度；
②若点E为线段OD上一点，连接AE并延长，交CD于点F，交BC延长线于点G，OE=52，求线段EF的长度．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴OB＝OD，∠AOD＝∠BOC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD与△COB中，
∠ADO=∠CBOOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）①25；②32．
【分析】（1）根据ASA证明△AOD≌△COB，进而利用菱形的判定解答即可；
（2）①利用菱形的性质得出AB＝BC，进而利用菱形的面积和勾股定理解答即可；
②利用勾股定理得出BO，进而利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴OB＝OD，∠AOD＝∠BOC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD与△COB中，
∠ADO=∠CBOOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：①由（1）可知四边形ABCD是菱形，
过A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，
∵四边形ABCD是面积为20，AB＝5，
∴AH＝4，
∴BH=AB2−AH2=3，
∴CH＝BC﹣BH＝5﹣3＝2，
∴AC=AH2+CH2=25；
②由①可知，AC=25，
∴AO=CO=12AC=5，
∴OB＝OD=AB2−AO2=25，
∵OE=52，
∴DE=OD−OE=25−52=352，即DE＝3OE，
∴AE=AO2+OE2=(5)2+(52)2=52，
∵AB∥DF，
∴△DEF∽△BEA，
∴AEEF=BEDE，即52EF=25+52352，
∴EF=32．
【点评】此题是四边形综合题，考查菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，关键是根据ASA证明△AOD≌△COB，进而利用菱形的判定解答．题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
A
B
A
B
B