河北衡水市第二中学2026届高三上学期2月期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份河北衡水市第二中学2026届高三上学期2月期末考试数学试题（含答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，则（ ）
2. 若复数满足，则（ ）
3. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ）
4. 若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（ ）
5. 已知函数是奇函数，则（ ）
6. 高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（ ）
7. 在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（）
8. 已知函数，若当时，，则的最大值为（ ）
二、多选题
9. （多选）记，已知直线与两坐标轴围成三角形的面积为，则（ ）
10. 在平面直角坐标系中，设，且.则（）
11. 某实验室设计了一种数据纠错系统，该系统由若干个串联的纠错单元组成.记第个纠错单元的输入数据为1的概率为，其中.第个纠错单元会独立重复地采集次输入信号，每次为的概率均为，若这次采集中，至少有次检测为，则该单元输出，否则该单元输出.第个单元的输出作为第个单元的输入.已知且，则（）
三、填空题
12. 已知双曲线的左焦点为的一条渐近线方程为，则的标准方程为__________.
13. 将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为__________.
14. 已知为实数，为正整数，且定义在区间上的函数当且仅当在处取得最值，则__________.
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱中，.点满足.
(1)过点作垂直于点，证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16. 在中，.
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若是锐角三角形，证明：.
17. 已知数列对任意正整数满足.
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和.
（i）的所有项构成了集合的所有项构成了集合，证明：；
（ii）当时，证明：.
18. “两个维护”即坚决维护习近平总书记党中央的核心､全党的核心地位，坚决维护以习近平同志为核心的党中央权威和集中统一领导.某市剧团计划举办“坚决做到‘两个维护’”，主题演出，其中，某节目共有四名演员，开场前需全部更衣完毕.根据角色特点，每名角色所需得更衣时间都互不相同，从小到大分别记为（单位：分钟）；已知该剧团更衣间共两间，每间最多同时给一人更衣，现假设四人随机排成一列站在更衣间前，只要某个更衣间无人，当前排在最前面的人就进入更衣，更衣结束后离开，下一名演员进入.忽略演员进出更衣间的时间，设从第一名演员进入更衣间，到最后一名演员离开更衣间所需的总时间为（单位：分钟）.
(1)若，记的最小值为，求概率；
(2)若成公差为1的等差数列，.
（i）写出的分布列及四个人的排列情况；
（ii）若随机变量的数学期望，求.
19. 已知函数，其中．
(1)证明：在区间上存在唯一的极小值点；
(2)若不存在零点，求a的取值范围；
(3)当有两个不同的零点，时，证明：．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
A．
B．
C．
D．
A．4
B．3
C．1
D．2
A．4
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．1
A．2
B．1
C．0
D．
A．
B．
C．
D．
A．当时，是两条直线
B．当时，是圆
C．当时，是抛物线
D．当时，不存在
A．1
B．2
C．3
D．4
A．是递增数列
B．是等差数列
C．对任意正整数，存在正整数，使得当时，
D．对任意正整数，存在正整数，使得当时，
A．存在最小值0
B．的周长存在最小值
C．的面积存在最大值
D．在上的投影向量的模长存在最小值
A．
B．
C．若，则
D．若，则