河北省秦皇岛市山海关区第一中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份河北省秦皇岛市山海关区第一中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 设复数 ，则 的虚部为（ ）
2. 已知集合x是20以内的质数，，则的子集个数为（ ）
3. 设点 为双曲线 的右焦点，点 为坐标原点，过点 作双曲线其中一条渐近线 的垂线，交渐近线 于点 ，再过点 作 轴的垂线，交渐近线 于点 ，若则双曲线的离心率为（ ）
4. 2025 年 8 月 4 日，在 2025 全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以 17.68 米的成绩夺得冠军，打破尘封近 16 年之久的亚洲纪录（原纪录为 17.5 米）.假如决赛时，另一名运动员甲每次试跳成绩在 17 米以上的概率均为 ，有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过 17 米的概率为（ ）
5. 已知函数 在 上有意义，满足 ，且 是 的一条对称轴，当 时，，其中 ，则 （ ）
6. 已知圆 与 轴和 轴都相切，且半径为 1；圆 也与 轴和 轴都相切，并且与圆 外切.若圆 的半径小于 1，则圆 的半径为（ ）
7. 函数 的递增区间可能是（ ）
8. 若 满足，则 的大小关系不可能为（ ）
二、多选题
9. 如图，在棱长相等的正六棱柱 中，棱长为 ，下列说法正确的是（ ）

10. 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 两点，过 分别作准线 的垂线交于 两点， 为线段 的中点，则（ ）
11. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，若
则下列说法正确的是（ ）
三、填空题
12. 若直线 与 在处的切线垂直，则 ______.
13. 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，若 ，，则 ______.
14. 光滑平整的桌面上放有三个大小相同的小球，将底面半径为6，高为 的圆锥形的生日帽（帽子的曲面厚度忽略不计）扣在桌面上，使它恰好能完全遮盖住三个小球，三个小球均与桌面接触，则小球的半径为______.
四、解答题
15. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，，， 平面 .

(1)求直线 与平面 所成的角的正切值；
(2)求点 到平面 的距离.
16. 为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下：
注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”.
(1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）；
(2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 .
17. 设数列 满足 ，且 .
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求的值.
18. 已知椭圆 的上顶点与右顶点分别为点 和点 ，点 为坐标原点， 的面积 ，且点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)设点 是直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 、.
(ⅰ) 求证：直线 恒过定点.
(ⅱ) 求 的正切值的最大值.
19. 已知双曲正弦函数的定义为.
(1)证明：当时，；
(2)若，讨论方程的实数解的个数；
(3)已知，是方程在上的一个零点，证明：.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．3
D．
A．2
B．4
C．512
D．1024
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．3
B．
C．8
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A． 是直角三角形
B． 展开式的第三项为
C．
D．点 在侧棱 上运动（包含端点），则 取得最小值为
A．
B．
C．
D．
A．
B．设 边上的高为 ，则
C． 的最大值为
D． 的最小值为
增幅分组
企业数量
5
20
30
25
20