2025-2026学年河北省秦皇岛市山海关第一中学高二下学期期中考试数学试卷 [含答案]

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1.已知复数z=3−4ii−2，则z=( )
A. 1+2iB. 1−2iC. −2+iD. −2−i
2.已知全集U=R，集合A=x|2x−2≥12,B=x|3x≤1，则A∩∁UB=( )
A. 1,3B. 1,3C. 1,3D. 1,3
3.“x>lg48”是“x> 72”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的一条渐近线的倾斜角为2π3，且C的焦距为4 2，则C的方程为( )
A. y26−x22=1B. y22−x26=1C. y224−x28=1D. y28−x224=1
5.已知a,b是两个单位向量，且向量2a+b在向量b上的投影向量为13b，则向量a与向量b的夹角的余弦值为( )
A. 2 23B. −2 23C. 13D. −13
6.已知角α∈0,π2，β∈π2,π，sinα=13，sinα+β=1213，则sinβ=( )
A. 12+10 239B. 24 2+539C. 24 2−539D. 12−10 239
7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为a斤，则a=( )
A. 32B. 43C. 65D. 76
8.若点P是曲线x2−y−lnx=0上任意一点，则点P到直线x+y−1=0的最小距离是( )
A. 12ln2−14B. 22ln2−14C. 2214+ln2D. 1214+ln2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数fx=2sin2x−π3的图象向左平移π12个单位长度后得到函数gx的图象，则下列说法正确的是( )
A. g9π2= 3
B. 7π12,0是函数gx图象的一个对称中心
C. 函数gx在2π,7π3上单调递增
D. 函数gx在−π4,π6上的值域是− 3,1
10.与圆C1:x−12+y2=8和圆C2:x−52+y−42=8都相切的直线方程可能为( )
A. x+2y−5=0B. x+y−5=0C. x−y−5=0D. x−y+3=0
11.在直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=8x的焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，过A,B分别作C的准线的垂线，垂足分别为P,Q，则下列说法正确的是( )
A. 若AF=2BF，则直线l的斜率为2 2
B. PQ2=4AFBF
C. 以线段AF为直径的圆与y轴相切
D. ▵OAB的面积的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据5，5，7，a，10的平均数为7，则其方差为 ．
13.某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种.
14.鳖臑(biē nà)出自《九章算术·商功》，指的是四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示的鳖臑S−ABC中，SC⊥BC，SC⊥AC，AB⊥BC，且AB⋅BC=10，SC= 5，则其外接球体积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，b=2 10,c=4,csB=−14．
(1)求sinC的值；
(2)求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中AA1=3，AB=AC=2，BC=2 2，平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC⊥平面ABB1A1，点D，E分别在棱AA1，BB1上，且A1D=BE=1．
(1)求证：AA1⊥BC；
(2)求二面角C−DE−C1的正弦值．
17.(本小题15分)
溺水是指人淹没于水或其他液体中，水与污泥、杂草等物堵塞呼吸道和肺泡，或因咽喉、气管发生反射性痉挛，引起窒息和缺氧，肺泡失去通气、换气功能，使机体处于危急状态，由此导致呼吸、心搏停止而致死亡.某校为了普及防溺水安全教育知识，在全校组织了一次防溺水安全教育知识竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛.规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为34,34,12，乙队中每人答对的概率均为23，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
(1)记随机变量X为甲队的总得分，求X的分布列和数学期望；
(2)在甲、乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分不低于乙队得分的概率．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，点M是圆O:x2+y2=16上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为Q，点P满足QM=2QP，记点P的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)记过点G2,1的两条不同的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，直线l1与E交于A,B两点，直线l2与E交于C,D两点，且GA⋅GB=GC⋅GD，求k1+k2的值．
19.(本小题17分)
已知函数fx=eaxxa∈R．
(1)若a=2，求函数fx的图象在x=1处的切线方程；
(2)讨论fx在区间0,+∞上的单调性；
(3)设m,n是两个不相等的正数，且m+lnn=n+lnm，证明：mn>e2−m−n．
答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.D
6.B
7.C
8.B
9.BC
10.BCD
11.BCD
12.185
13.114
14.1256π
15.【详解】(1)在▵ABC中，csB=−14，
∴sinB= 1−cs2B= 1−−142= 154，
由正弦定理得bsinB=csinC，则2 10 154=4sinC，∴sinC= 64．
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
则40=a2+16−2×4a×−14，
∴a2+2a−24=0，解得a=4或a=−6(舍)
∴S▵ABC=12acsinB=12×4×4× 154=2 15．

16.【详解】(1)∵AB=AC=2，BC=2 2，∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC．
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，AB⊥AC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥平面ACC1A1．
又AA1⊂平面ACC1A1，AB⊥AA1．
∵平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AB⊥AC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面ABB1A1．
又AA1⊂平面ABB1A1，AC⊥AA1．
∵AB⊥AA1，AC⊥AA1，AB∩AC=A，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥平面ABC．
又BC⊂平面ABC，AA1⊥BC．
(2)由(1)可知AB⊥AC，AB⊥AA1，AC⊥AA1，故以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z建立空间直角坐标系如图所示．
则由题可知A0,0,0，C10,2,3，C0,2,0，D0,0,2，E2,0,1，
∴DC1=0,2,1，DC=0,2,−2，DE=2,0,−1．
平面CDE的一个法向量为n=x1,y1,z1，
则n⋅DC=2y1−2z1=0n⋅DE=2x1−z1=0，即y1=z1x1=12z1,
令z1=2，则x1=1，y1=2，
∴平面CDE的一个法向量为n=1,2,2．
平面C1DE的一个法向量为m=x2,y2,z2，
则m⋅DC1=2y2+z2=0m⋅DE=2x2−z2=0，即y2=−12z2x2=12z2,
令z2=2，则x2=1，y2=−1，
∴平面C1DE的一个法向量为m=1,−1,2．
∴csn,m=n⋅mn⋅m=1×1+2×−1+2×2 12+22+22× 12+−12+22=33 6= 66，
∴sinn,m= 1− 662= 306，
∴二面角C−DE−C1的正弦值为 306．

17.【详解】(1)X的所有可能取值为0，10，20，30，
PX=0=1−342⋅1−12=116⋅12=132，
PX=10=2⋅1−34⋅34⋅1−12+1−342⋅12=38⋅12+116⋅12=732，
PX=20=342⋅1−12+2⋅12⋅34⋅1−34=916⋅12+34⋅14=1532，
PX=30=342⋅12=916⋅12=932，
所以X的分布列为：
X的数学期望为EX=0⋅132+10⋅732+20⋅1532+30⋅932=70+300+27032=20；
(2)设甲、乙两队总得分之和等于30分为事件A，甲队得分不低于乙队得分为事件B，
设随机变量X为甲队的总得分，随机变量Y为乙队的总得分，随机变量Z为甲、乙两队总得分之和，
则Z=X+Y，
而X的所有可能取值为0，10，20，30，Y的所有可能取值为0，10，20，30，
由题意Z=X+Y=30，X=30−Y≥Y，
所以Y≤15，由(1)知，PX=20=1532，PX=30=932，
则PAB=PY=0,X=30+PY=10,X=20
=C301−233−0230⋅932+C311−233−1231⋅1532
=127⋅932+627⋅1532=196+1096=1196，
PA=PY=0,X=30+PY=10,X=20+PY=20,X=10+PY=30,X=0
=1196+C321−233−2232⋅732+C331−233−3233⋅132
=1196+1227⋅732+827⋅132=99+84+8864=191864，
故所求为PB|A=PABPA=1196191864=99191．

18.【详解】(1)设M的坐标为(x′,y′)，P的坐标为x,y，则x′=xy′=2y,
又点Mx′,y′在圆O上，即x′2+y′2=16，
亦即x2+(2y)2=16，化简得：x216+y24=1．
(2)
设Ax1,y1,Bx2,y2，AB所在的直线方程为：y−1=k1(x−2)，联立得：y−1=k1(x−2)x216+y24=1，消去y得：1+4k12x2+8k11−2k1x+41−2k12−16=0
则x1+x2=−8k11−2k11+4k12=−8k1−16k121+4k12,x1x2=41−2k12−161+4k12=16k12−16k1−121+4k12
GA⋅GB= x1−22+y1−12⋅ x2−22+y2−12
= x1−22+k1x1−22⋅ x2−22+k1x2−22=1+k12x1−2||x2−2
=1+k12x1−2x2−2=1+k12x1x2−2x1+x2+4
=1+k1241−2k12−161+4k12+28k11−2k11+4k12+4=81+k121+4k12
同理：GC⋅GD=81+k221+4k22
由GA⋅GB=GC⋅GD可得：81+k121+4k12=81+k221+4k22，
化简：k12=k22，又k1≠k2，故：k1=−k2，即：k1+k2=0．

19.【详解】(1)当a=2时，fx=e2xx，则f1=e2，
而f′x=2xe2x−e2xx2=2x−1e2xx2，则f′1=e2，
所以函数fx的图象在x=1处的切线方程为y−e2=e2x−1，即y=e2x．
(2)由fx=eaxx，x∈0,+∞，
则f′x=axeax−eaxx2=ax−1eaxx2，
当a≤0时，f′x=ax−1eaxx20时，令f′x>0，得x>1a；令f′x0,m≠n，
要证mn>e2−m−n，即证lnmn>2−m−n，
即证(m+lnn)+(n+lnm)>2，
由m+lnn=n+lnm，只需证：n+lnm>1．
不妨设0h(1−lnm)，
只需证：emm>e1−lnm1−lnm=em1−lnm，即证em(1−lnm)>e，
设φ(x)=ex(1−lnx)(0