河北省秦皇岛市山海关第一中学2025届高三上学期一模数学试题

这是一份河北省秦皇岛市山海关第一中学2025届高三上学期一模数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
2．若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
3．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，且，，则
D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分
5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A．24B．32C．96D．128
6．已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．直线与曲线 的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．的一个周期为
10．已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，函数值域为D．函数有三个零点
11．已知函数是的导函数，则（ ）
A．“”是“为奇函数”的充要条件
B．“”是“为增函数”的充要条件
C．若不等式的解集为且，则的极小值为
D．若是方程的两个不同的根，且，则或
三、填空题
12．二项式的展开式中的系数为 .
13．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数.当时，，则 .
14．二阶魔方是一个的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共有 种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了）
四、解答题
15．已知分别为三个内角的对边，且
(1)求；
(2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
16．4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．
(1)甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；
(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．
17．已知函数
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值；
(2)讨论的单调性.
18．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
(1)求20以内的质数“理想数”；
(2)已知.求m的值；
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.
参考答案：
1．C
【分析】作出几何图形，确定的元素个数即可得解.
【详解】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，
集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图，

观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，
所以有3个元素，共有个真子集.
故选：C
2．A
【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确，
对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，
对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确，
对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确，
故选：A.
3．A
【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.
【详解】抛物线方程可化为，则，故抛物线的准线方程为.
故选：A
4．D
【分析】对于A，与相交、平行或异面；对于B，或；对于C，由于直线未必相交，故无法判定与平行；对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分．
【详解】直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，
对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，且，，由于直线未必相交，所以与不一定平行，故C错误；
对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确
故选：D．
5．C
【分析】根据正四棱锥及球的特征求出锥体的底边边长和侧棱长，然后结合勾股定理利用侧面积公式计算即可.
【详解】
如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上，
由题意球O的半径，
所以，，则，
故中，边AB的高为，
所以该正四棱锥的侧面积为.
故选：C
6．B
【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合点在上即可求解.
【详解】设点，则，即，
又两条渐近线方程为，即，
故有，
所以．
故选：B．
7．A
【分析】由题意知要求交点即求函数的零点，等价于求的零点，等价于求和两函数交点，作出相关图形，利用数型结合从而可求解.
【详解】由题意可得，所以其与直线的交点，
等价于求的零点，等价于的零点，
等价于求函数与函数的交点，
易得函数为周期为2的函数，且x=1时，，
所以是函数的一个对称中心，
对于，，
所以关于点对称，且为增函数，为增函数，
所以在，上单调递增，
所以可以作出fx和图象如下图，
由图可得其有2个交点，故A正确.
故选：A.
8．C
【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
不等式化为：．
令，，，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，gx>0，当时，gx=0，
当时，gx<0，
当时，，当，且时，，
画出及hx的大致图象如下，
因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
故正整数解为．
故，
即．
故.
故选：C.
9．AD
【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确；
又，即，则函数关于直线对称，B选项错误；
由可知，
即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确；
故选：AD.
10．AD
【分析】A选项，把代入解析式，得到；B选项，根据为函数的最低点及，由勾股定理得到方程，求出，从而得到，把代入解析式，得到；C选项，整体法求出函数值域；D选项，画出与的函数图象，根据交点个数得到零点个数.
【详解】A选项，把代入得，，
因为，所以，A正确；
B选项，为函数的最低点，
，故，解得，负值舍去，
则，其中，故，
故，，
由于，所以，
故，解得，B错误；
C选项，，时，，
故，，C错误；
D选项，画出与的函数图象，如下：
两函数有3个交点，
故有三个零点，D正确.
故选：AD
11．ACD
【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确．
【详解】对于A中，当时，函数，则满足，
所以为奇函数，所以充分性成立；
若为奇函数，则，
则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；
对于B中，当时， ，可得，所以为增函数；
由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，由，若不等式的解集为且，
则在上先增后减再增，则，解得，
故，可得，
令，解得或，
当内，，单调递增；
当内，，单调递减；
当内，，单调递增，
所以的极小值为，所以C正确．
对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，
所以，即，且，
由，可得，所以，即，
联立方程组，可得，解得或，所以D正确．
故选：ACD．
12．15
【分析】先写出二项式的展开式的通项，再依题意求解.
【详解】由二项式的展开式的通项为，
令，得其展开式中的系数为.
故答案为：15
13．
【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，再利用对数运算计算即可.
【详解】由题意可知，
所以，
所以的一个正周期为8，即.
故答案为：
14．
【分析】运用分步乘法原理，结合排列数公式可解．
【详解】任选其中1个角作为参考，考虑其余7块排列情况.在这7块中，任意确定6块，
最后一块也确定了，所以任意二阶魔方有种状态.
再考虑每个角块有三种朝向，扣除状态相同的情况，则有种状态.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得.
【详解】（1）由正弦定理有，
因为，
所以，
化简得，
由有，可得，
因为，
所以，则．
（2）由有
又可得，
联立解得，所以为正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得．
故的长为.
16．(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）（ⅰ）依题意可得，利用等比数列求和公式计算可得；
（ⅱ）首先求出，，当时，利用构造法求出通项公式.
【详解】（1）依题意可得的可能取值为、、、，
则，，
，，
所以的分布列为
所以.
（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了，
所以，
设数列的前项和为，则.
（ⅱ）依题意可得，，，
当时，
所以，
所以为常数数列，又，
所以，
则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
经检验当、上式也成立，所以.
17．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解；
（2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解．
【详解】（1），则．
曲线在点处的切线方程为，
则，解得，
由，解得，
（2），函数定义域为，
则，
令，解得或，
若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，
若，则在上恒成立，单调递增，
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
18．(1)
(2)（i）分布列见解析，；（ii）
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.
（2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可.
【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大.
19．(1)2和5为两个质数“理想数”
(2)的值为12或18
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；
（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；
（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）以内的质数为，
，故，所以为“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
和5为两个质数“理想数”；
（2）由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为12或18．
（3）显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，
若奇数，不妨设，
若为"理想数"，则，且，即，且，
①当，且时，；
②当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有的奇数"理想数"的倒数为，
，即．
【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
D
C
B
A
C
AD
AD
题号
11









答案
ACD









0
1
2
3