2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题04抛物线及其应用(题型清单)(学生版+解析)

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题型1 对抛物线定义的理解及应用
1．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为 .
2．(25-26高三上·河南师范大学附属中学·月考)已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的纵坐标为 ．
3．(25-26高三上·广西名校高考模拟·模拟)已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．6D．4
4．(25-26高三上·四川成都石室中学·月考)如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ）
A．4B．3C．D．
题型2 抛物线中距离和差的最值问题
5．(25-26高三上·福建名校联考·开学考试)设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
6．(25-26高三上·陕西西安铁一中学·月考)已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 .
7．(25-26高三上·上海宝山中学·月考)已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为
8．(25-26高三上·浙江永嘉·模拟)已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 .
题型3 与抛物线有关的轨迹问题
9．(24-25高三下·河南新乡·月考)已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
10．(24-25高三下·福建泉州·适应性训练)已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
11．(23-24高三下·宁夏石嘴山平罗县平罗中学·模拟)在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 .
12．(23-24高三下·江苏南通·调研测试)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
题型4 由抛物线方程研究几何性质
13．(25-26高三上·北京第一六六中学、第五十中学·期中)已知抛物线：，则抛物线的准线方程为 ．
14．(25-26高三上·北京·开学考)已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ．
15．(25-26高三上·青海多校·月考)设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若，则（ ）
A．14B．C．D．28
16．(25-26高三上·江苏南京·期中)已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（ ）
A．26B．24C．22D．20
题型5 求抛物线的标准方程
17．(25-26高三上·上海大同中学·月考)若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ．
18．(24-25高三下·山西部分重点中学·模拟)若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
19．(24-25高三下·陕西咸阳·月考)已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
20．(24-25高三上·广东汕头·期末)已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型6 直线与抛物线的位置关系
21．(25-26高三上·云南·联考)已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（ ）
A．4B．C．2D．
22．(23-24高三下·福建漳州·月考)写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 .
23．(25-26高三上·广东深圳多校联考·)已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 .
24．(24-25高三下·福建福州第一中学·模拟)写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程
题型7 直线与抛物线相交弦长问题
25．(24-25高三下·北京通州·模拟考)已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A．16B．6C．D．4
26．(24-25高三下·山西临汾·考前模拟)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（ ）
A．B．3C．4D．
27．(25-26高三上·湖南部分学校·月考)在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
28．(25-26高三上·重庆·开学考)已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 .
(1)求的方程；
(2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求.
题型8 抛物线的中点弦问题
29．(24-25高三下·广东湛江·模拟)已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
30．(24-25高三下·云南·月考)已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
31．(24-25高三上·贵州黔东南州·期末)已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
32．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 .
题型9 抛物线中的定点问题
33．(25-26高三上·云南昭通·月考)过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
34．(25-26高三上·云南·月考)已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记
(1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点.
35．(24-25高三下·海南·模拟)已知抛物线的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点．
36．(24-25高三下·江西六校·模拟)已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．
题型10 抛物线中的定值问题
37．(24-25高三·海南部分学校·模拟)直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，．
(1)求；
(2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值；
(3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积．
38．(24-25高三下·辽宁沈阳·三模)已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)当轴时，求直线的斜率；
(3)求证：为定值，并求出该定值．
39．(24-25高三上·安徽马鞍山·月考)已知抛物线：（），任作一条直线：与抛物线相交于，两点，为弦的中点，过作垂直于轴的直线交抛物线于点．
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求的面积（用，，表示）；
(3)记弦与抛物线围成的封闭的图形的面积为，已知为定值，求．
40．(24-25高三下·浙江杭州·模拟)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
(1)求的方程；
(2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
(3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
题型11 抛物线中的最值或范围问题
41．(25-26高三上·贵州毕节·开学考)已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值．
42．(25-26高三上·江苏连云港·月考)过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点．
(1)若线段中点的横坐标为1，求的值；
(2)求的取值范围．
43．(25-26高三上·湖北黄冈·月考)已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值.
44．(24-25高三下·云南·模拟)已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值.
题型12 抛物线中的证明问题
45．(25-26高三上·广东揭阳·期中)已知抛物线的焦点到直线的距离为.
(1)求的准线方程；
(2)若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：.
46．(24-25高三上·江苏南通·期中)设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.
(1)能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；
(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：.
47．(25-26高三上·湖北·期中)已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴.
48．(24-25高三下·河北·考前模拟)抛物线的焦点为，其上有两点、，，与轴正半轴交于点.
(1)求以为直径的的方程；
(2)证明：取抛物线上的一点（的横坐标不为1），总有该抛物线上的另外两点、，使为的内切圆.
题型13 抛物线中的探究性问题
49．(24-25高三下·广东深圳·模拟)已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
50．(24-25高三上·安徽·摸底)设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
51．(24-25高三下·山西朔州·模拟)已知抛物线的准线为l，以为圆心，面积为的圆与y轴的负半轴交于点Q，动点P到直线l的距离为．
(1)求动点P的轨迹的方程；
(2)若直线l与y轴的交点为M，是否存在过点M且斜率存在的直线n交于A，B两点，使？若存在，求出直线n的方程；若不存在，请说明理由．
52．(24-25高三上·河南周口·期中)已知点在抛物线上，直线交于另一点．
(1)求的准线方程．
(2)若以为直径的圆恰好经过坐标原点，求圆的方程．
(3)若为上的动点，于点，过点作与轴垂直的直线与直线交于点，问：是否存在直线和常数，使恒成立？若存在，求出直线的方程和的值；若不存在，请说明理由．
紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆
1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件；
2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即；
3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化．
解决这类问题的关键是：距离转化
1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即；
2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
解决这类问题的关键是：距离转化
1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即；
2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意；
（2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，
系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
求抛物线标准方程的方法
（1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数；
（2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或；
注意： = 1 \* GB3 ①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；
= 2 \* GB3 ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
解题的通用流程
1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式．
2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）．
3、判断方程类型：
（1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）；
（2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断．
按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解．
1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景．
2、分类讨论斜率存在性：
（1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况；
（2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线．
3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解．
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．