2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练04抛物线方程及其性质21大考点(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练04抛物线方程及其性质21大考点(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了已知抛物线等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17519" 考点01 抛物线的定义及其应用 PAGEREF _Tc17519 \h 1
\l "_Tc11354" 考点02 抛物线上的点到定点的距离及最值 PAGEREF _Tc11354 \h 2
\l "_Tc4228" 考点03 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 PAGEREF _Tc4228 \h 3
\l "_Tc27770" 考点04 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc27770 \h 4
\l "_Tc27307" 考点05 抛物线的焦点坐标及准线方程 PAGEREF _Tc27307 \h 5
\l "_Tc30605" 考点06 抛物线的轨迹方程 PAGEREF _Tc30605 \h 6
\l "_Tc16760" 考点07 焦半径问题 PAGEREF _Tc16760 \h 6
\l "_Tc15667" 考点08 焦点弦问题 PAGEREF _Tc15667 \h 8
\l "_Tc31738" 考点09 抛物线中三角形，四边形的面积问题 PAGEREF _Tc31738 \h 10
\l "_Tc11881" 考点10 抛物线的实际应用 PAGEREF _Tc11881 \h 12
\l "_Tc31938" 考点11 直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc31938 \h 14
\l "_Tc2809" 考点12 抛物线的弦长问题 PAGEREF _Tc2809 \h 15
\l "_Tc13823" 考点13 抛物线的中点弦问题 PAGEREF _Tc13823 \h 16
\l "_Tc12189" 考点14 抛物线的最值问题 PAGEREF _Tc12189 \h 17
\l "_Tc8103" 考点15 抛物线的向量问题 PAGEREF _Tc8103 \h 19
\l "_Tc4618" 考点16 抛物线的证明问题 PAGEREF _Tc4618 \h 20
\l "_Tc10187" 考点17 抛物线的探索性问题 PAGEREF _Tc10187 \h 21
\l "_Tc17020" 考点18 抛物线的定点问题 PAGEREF _Tc17020 \h 22
\l "_Tc13947" 考点19 抛物线的定值问题 PAGEREF _Tc13947 \h 24
\l "_Tc18044" 考点20 抛物线的定直线问题 PAGEREF _Tc18044 \h 26
\l "_Tc27116" 考点21 抛物线的综合问题 PAGEREF _Tc27116 \h 27
考点01 抛物线的定义及其应用
1．（浙江省宁波市2025-2026学年高三学期高考模拟考试数学试题）已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为 .
2．（25-26高二·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ）
A．B．2C．3D．
3．（25-26高三·湖南·阶段练习）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．6D．4
考点02 抛物线上的点到定点的距离及最值
5．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知点满足，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025高二·上海·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ．
7．（2025高二·上海静安·期末）设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为 ．
8．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线：，为上一点，，，当最小时， .
9．（2025高二·上海·阶段练习）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ．
考点03 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
10．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．（25-26高二·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
12．（25-26高三·上海宝山·阶段练习）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为
13．【多选】（25-26高二·全国·单元测试）设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程是
B．的最小值为4
C．的最大值为5
D．以线段为直径的圆与轴相切
14．【多选】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，为抛物线上两点，的焦点为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线为B．当时，的值为5
C．的最小值为3D．的最大值为
15．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点04 抛物线的标准方程
16．（25-26高三·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
17．（25-26高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）．
A．B．C．D．
18．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
19．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于两点（点在点上方），直线交抛物线于两点（点在点上方），直线与直线交于点，交点的纵坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
20．（25-26高二·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点05 抛物线的焦点坐标及准线方程
21．（25-26高二·云南昭通·阶段练习）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A．B．C．D．
22．（25-26高二·河南驻马店·阶段练习）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
23．（2025高二·全国·专题练习）若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
24．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
25．（25-26高三·陕西咸阳·阶段练习）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
考点06 抛物线的轨迹方程
26．（2025·湖南·模拟预测）已知点满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
27．（2025高二·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
28．（2025高二·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
29．（2025高二·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
30．（2025高二·江西景德镇·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
考点07 焦半径问题
31．（2025高三·广东·专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ）
A．B．2C．3D．
32．（25-26高二·重庆·阶段练习）O 为坐标原点， F 为抛物线的焦点，点 在 C 上，且 ，则 p = （ ）
A．8B．4C．2D．1
33．（25-26高三·云南昆明·阶段练习）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
34．（25-26高三·陕西汉中·开学考试）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．3B．C．4D．5
35．（25-26高三·安徽·开学考试）已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
36．（25-26高三·福建漳州·开学考试）已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（ ）
A．2B．3C．D．4
37．（25-26高三·北京·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（ ）
A．1B．2
C．3D．4
38．（25-26高二·全国·单元测试）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
考点08 焦点弦问题
39．【多选】（25-26高三·云南·期中）已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．的最小值为
C．若，，三点共线，则的最小值为2
D．若（为坐标原点）为正三角形，则
40．【多选】（25-26高二·江苏南京·期中）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为
B．
C．
D．
41．【多选】（25-26高二·江西赣州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ）
A．直线的方程为B．以线段为直径的圆与轴相切
C．D．
42．【多选】（25-26高三·云南昭通·阶段练习）抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与轴相切B．
C．D．当时，
43．【多选】（25-26高三·江苏南京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（ ）
A．为等边三角形
B．
C．
D．
44．【多选】（25-26高三·青海西宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则（ ）
A．的坐标为B．
C．若，则D．为钝角
45．【多选】（2025高二·江苏南京·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为
C．D．
46．【多选】（25-26高三·重庆·开学考试）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．的面积为
47．【多选】（25-26高三·内蒙古·开学考试）已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（ ）
A．当为的重心时，轴B．当时，的最大值为5
C．当时，的最小值为5D．当时，直线AB的倾斜角为或
48．【多选】（25-26高三·广东湛江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（ ）
A．点的横坐标为
B．直线与轴交点的纵坐标的绝对值为
C．直线的斜率为
D．若的周长为12，则
49．【多选】（2025·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点.点为坐标原点，且，则（ ）
A．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条
B．满足为直角三角形的点有且仅有2个
C．若直线的倾斜角为，则
D．若，则的面积为4
考点09 抛物线中三角形，四边形的面积问题
50．（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（ ）
A．B．C．D．
51．（25-26高三·河北邢台·开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
52．（25-26高三·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
53．（25-26高三·河北·阶段练习）已知动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）. 过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)求面积的最小值.
54．（25-26高三·上海·开学考试）已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点．
(1)若，求的坐标；
(2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)；
(3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值．
55．（25-26高三·江西南昌·开学考试）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积．
56．（25-26高三·湖北武汉·阶段练习）设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线l过点T，求的面积；
(3)若直线平分，求直线l的斜率．
57．（25-26高三·河北·开学考试）已知坐标平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)设直线与曲线交于两点，，直线与直线的倾斜角互补．
①求的值；
②若，求面积的最大值．
考点10 抛物线的实际应用
58．（2025高二·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ）
A．B．C．D．
59．（2025高二·福建三明·期末）三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（ ）．
A．B．C．D．
60．（2025高二·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）
A．B．C．D．
61．（2025高二·重庆渝中·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（ ）
A．4B．2C．8D．16
62．（2025高二·河南南阳·期中）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ）

A．6.4mB．6mC．3.2mD．3m
63．（2025高二·北京东城·期末）2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
考点11 直线与抛物线的位置关系
64．（2025·天津·模拟预测）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
65．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
66．（2025高三·安徽·阶段练习）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
67．（2025高三·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点12 抛物线的弦长问题
68．（2025高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
69．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（ ）.
A．B．C．D．
70．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
71．（2025·全国）已知抛物线的焦点为F，过F作C的对称轴的垂线，与C交于A、B，则（ ）
A．8B．4C．2D．1
72．（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（ ）
A．B．C．D．2
73．（2025高三·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
74．（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则（ ）
A．4B．C．6D．5
考点13 抛物线的中点弦问题
75．（2025高二·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
76．（2025·广东湛江·模拟预测）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
77．（2025高三·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
78．（2025高二·湖北襄阳·阶段练习）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（ ）
A．B．C．D．
79．（2025高二·北京·期末）已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
80．（2025高二·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
81．（2025高二·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
82．（2025高二·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点14 抛物线的最值问题
83．（25-26高二·河南·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
84．（2025高二·吉林长春·期中）已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．9B．C．8D．
85．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系Oxy中，点，，向量，且，若Q为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
86．（2025高二·贵州黔西·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
87．（2025高二·重庆沙坪坝·期末）已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
88．（2025高二·贵州黔西·期末）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（ ）
A．1B．C．D．2
89．（2025高二·云南昭通·期末）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
90．（2025高二·安徽阜阳·期末）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
考点15 抛物线的向量问题
91．（2025·广东广州·模拟预测）已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
92．（25-26高二·全国·课后作业）过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．1
93．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线m与C交于A，B两点，，若线段AB上存在一点P满足，过点P作准线l的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
94．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，斜率为且不过原点O的直线l与C交于A，B两点，若，则（ ）
A．16B．C．8D．
95．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
96．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，过点的直线与抛物线交于不同的两点，若，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
97．（25-26高三·湖南湘西·阶段练习）在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）．
(1)证明：为定值；
(2)证明：；
(3)设为直线的交点，，求的最小值．
考点16 抛物线的证明问题
98．（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，．
(1)求的方程；
(2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0．
（ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率；
（ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点．
99．（25-26高二·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P.
(1)求C的方程以及点P的坐标.
(2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M.
（i）当轴时，求L的方程；
（ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值.
100．（2025·四川成都·模拟预测）过点作直线与抛物线交于，两点.
(1)设为坐标原点，求的值；
(2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程；
(3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等.
考点17 抛物线的探索性问题
101．（2025高三·全国·专题练习）设抛物线，直线与抛物线相交于不同的两个点.抛物线上是否存在异于的点，使得经过点的圆和抛物线在处有相同的切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
102．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线，设动直线与抛物线相交于两点，且这两点位于直线的两侧．问：在直线上是否存在与的取值无关的定点，使得被直线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
103．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C.
(1)当点为坐标原点，时，求的面积；
(2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率；
(3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
104．（2025高二·江西九江·期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足．
(1)求p的值；
(2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G．
（ⅰ）求证：点P为定点；
（ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由．
考点18 抛物线的定点问题
105．（25-26高三·上海·开学考试）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．

(1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标；
(2)若，证明：；
(3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由．
106．（25-26高二·河南驻马店·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称.
(1)若，点的坐标为，求的值；
(2)若，求的值；
(3)证明：直线恒过定点.
107．（2025高二·吉林·阶段练习）已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
109．（2025高二·云南·阶段练习）记抛物线的焦点为，过作直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若上仅存在一点使得，求的方程；
(3)若以为直径的圆与另交于，两点，证明：直线过定点.
110．（25-26高三·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点.
(1)求的方程；
(2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点.
111．（25-26高三·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l.
(1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
112．（2025·河北唐山·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点．
(1)证明：
①直线轴；
②四边形的面积为定值；
(2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．
113．（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线：的两条切线，切点分别为．
(1)若，求；
(2)求证：直线过定点（与的取值无关）；
(3)记的焦点为，求证：．
考点19 抛物线的定值问题
114．（25-26高三·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值；
(3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
115．（25-26高二·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线.
(1)求的方程；
(2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值.
116．（25-26高三·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积；
(3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
117．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于．
(1)求抛物线的方程；
(2)①求直线的斜率的取值范围；
②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由．
118．（2025高三·全国·专题练习）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点，问：是否为定值？
119．（2025高三·全国·专题练习）已知是抛物线上一定点，直线与轴正半轴的夹角互补并分别交抛物线于两点，求证：直线的倾斜角为定值．
120．（2025高二·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为．
(1)求C的方程；
(2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
考点20 抛物线的定直线问题
121．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且.
(1)求抛物线的方程.
(2)证明：直线过定点.
(3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
122．（2025高三·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求四边形面积的最小值；
(3)证明：直线与直线的交点在定直线上.
123．（2025高三·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点.
(1)求抛物线的方程；
(2)证明：点在定直线上
124．（2025高二·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
(1)直线AB是否过定点？请说明理由；
(2)证明：点H在直线上．
125．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上．
126．（2025高二·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为．
①证明：点在定直线上；
②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围．
考点21 抛物线的综合问题
127．【多选】（25-26高三·重庆·阶段练习）已知抛物线，点、、为抛物线上三点，且的重心为抛物线的焦点，记直线的斜率分别为.若，则（ ）
A．
B．的三个顶点到轴的距离之和为3
C．若点坐标为，则
D．当点的横坐标为4时，
128．【多选】（25-26高三·云南玉溪·阶段练习）在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于
129．【多选】（2025·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（ ）
A．准线的方程为
B．点到的距离为2
C．是等边三角形
D．直线的斜率为1
130．【多选】（25-26高三·广东湛江·阶段练习）设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（ ）
A．l始终与圆P相离B．无最值
C．存在点P，使得D．时，P到l的距离为3
131．【多选】（25-26高三·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则（ ）
A．
B．一定为钝角
C．直线的斜率最大值为
D．若，则
132．（25-26高二·江苏南京·期中）如图，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点.
(1)求曲线和所在的椭圆和抛物线的方程；
(2)过点作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线和依次交于四点.
①求面积的取值范围.
②若是的中点，为的中点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
抛物线定义的应用规律
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
（1）抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，（2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，
（3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
(3)注意隐含条件的应用，如y2＝2px(p>0)中的x≥0.
求轨迹问题的两种方法
（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程；
（2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．
抛物线的实际应用总结：抛物线在工程设计、物理运动轨迹分析、光学设计、建筑设计及桥梁工程等领域有广泛应用。例如，卫星天线、探照灯、拱桥及投篮路径等均可视为抛物线应用实例，体现了其重要的实用价值。
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.
将向量条件转化为坐标关系，设抛物线上点坐标（参数式或直角坐标），代入向量垂直、平行、数量积等条件，建立方程。结合抛物线方程消元，求解参数或证明结论，注意向量运算与代数运算的转化。
圆锥曲线中的证明问题，是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等)．
抛物线中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法.
求解直线或曲线过定点问题的常用方法
（1）“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明.
（2）“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
（3）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0) ，则直线必过定点(x0,y0) ；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
定值问题的两种求解方法
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
设直线方程（分斜率存在、不存在两类），与抛物线方程联立，利用韦达定理表示根与系数关系。结合题干定点、定值条件化简，消去参数得到直线方程，确保直线对任意参数均成立。
解抛物线综合题，核心是抓定义、方程、性质三大关键点。先根据条件确定抛物线方程形式，活用定义转化距离问题；联立直线与抛物线方程，用韦达定理处理交点关系；关注参数范围、最值、定点定值等核心考点，结合数形结合简化运算，优先规避复杂计算，聚焦逻辑转化与公式应用。
考点培优练04 抛物线方程及其性质21大考点
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17519" 考点01 抛物线的定义及其应用 PAGEREF _Tc17519 \h 1
\l "_Tc11354" 考点02 抛物线上的点到定点的距离及最值 PAGEREF _Tc11354 \h 3
\l "_Tc4228" 考点03 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 PAGEREF _Tc4228 \h 6
\l "_Tc27770" 考点04 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc27770 \h 12
\l "_Tc27307" 考点05 抛物线的焦点坐标及准线方程 PAGEREF _Tc27307 \h 15
\l "_Tc30605" 考点06 抛物线的轨迹方程 PAGEREF _Tc30605 \h 17
\l "_Tc16760" 考点07 焦半径问题 PAGEREF _Tc16760 \h 19
\l "_Tc15667" 考点08 焦点弦问题 PAGEREF _Tc15667 \h 22
\l "_Tc31738" 考点09 抛物线中三角形，四边形的面积问题 PAGEREF _Tc31738 \h 37
\l "_Tc11881" 考点10 抛物线的实际应用 PAGEREF _Tc11881 \h 48
\l "_Tc31938" 考点11 直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc31938 \h 53
\l "_Tc2809" 考点12 抛物线的弦长问题 PAGEREF _Tc2809 \h 55
\l "_Tc13823" 考点13 抛物线的中点弦问题 PAGEREF _Tc13823 \h 61
\l "_Tc12189" 考点14 抛物线的最值问题 PAGEREF _Tc12189 \h 65
\l "_Tc8103" 考点15 抛物线的向量问题 PAGEREF _Tc8103 \h 72
\l "_Tc4618" 考点16 抛物线的证明问题 PAGEREF _Tc4618 \h 78
\l "_Tc10187" 考点17 抛物线的探索性问题 PAGEREF _Tc10187 \h 83
\l "_Tc17020" 考点18 抛物线的定点问题 PAGEREF _Tc17020 \h 89
\l "_Tc13947" 考点19 抛物线的定值问题 PAGEREF _Tc13947 \h 103
\l "_Tc18044" 考点20 抛物线的定直线问题 PAGEREF _Tc18044 \h 116
\l "_Tc27116" 考点21 抛物线的综合问题 PAGEREF _Tc27116 \h 126
考点01 抛物线的定义及其应用
1．（浙江省宁波市2025-2026学年高三学期高考模拟考试数学试题）已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为 .
【答案】2
【分析】先根据题意求出抛物线的方程，再结合抛物线的性质即可求出.
【详解】由题意知，将点代入抛物线，可得，
抛物线，可知抛物线的准线方程：，
结合抛物线的性质：抛物线上点到准线的距离等于到焦点的距离，即.
故答案为：.
2．（25-26高二·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【分析】设点，表示出点的坐标，再利用抛物线的定义列式求解.
【详解】设点，由轴，得，且，
又，则，又，所以.
故选：A
3．（25-26高三·湖南·阶段练习）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义列方程，求得，结合点坐标求得.
【详解】依题意，焦点，
由，根据抛物线的定义，得，所以，
则，代入，得，又，解得.
故选：C
4．（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．6D．4
【答案】D
【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为直线AF的倾斜角为，轴，
，
所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.

故选：D.
考点02 抛物线上的点到定点的距离及最值
5．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知点满足，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解．
【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离，
又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，则，
当且仅当时，等号成立．
故选：B．
6．（2025高二·上海·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ．
【答案】/
【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解.
【详解】由圆，知圆心为，半径为，
设为抛物线上动点，则两点间的距离为，
所以当时，，
所以．
故答案为：
7．（2025高二·上海静安·期末）设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先确定椭圆左顶点坐标，然后设建立距离平方函数化简，分析的值，即可求得.
【详解】易知椭圆左顶点，因为点在抛物线上，设，
此时，
易知当，即时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
8．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线：，为上一点，，，当最小时， .
【答案】
【分析】设，利用两点距离公式得到关于m的表达式，结合基本不等式确定P点的坐标，从而得解.
【详解】依题意，设，则，
所以，
当时，；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，
综上，取最小值时，，则，
所以.
故答案为：.
9．（2025高二·上海·阶段练习）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据圆的性质，化简得到，设坐标，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设圆心为，则，
因为点在上，则坐标，点坐标，
则，
因为圆的半径为，所以最小值为．
故答案为：．
考点03 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
10．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值.
【详解】把代入，得，
所以点在抛物线里面，
圆的圆心记为，
因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点，
过点作抛物线准线的垂线垂足为，
则根据抛物线的定义得，
所以的最小值等于求的最小值，
当三点共线时最小，最小值为，
故的最小值为，
故选：B
11．（25-26高二·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】C
【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解.
【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为.
如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为.
由抛物线的定义得，
所以，当三点共线时取等号，
故的最小值为.
|
故选：C
12．（25-26高三·上海宝山·阶段练习）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为
【答案】5
【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径.
【详解】曲线，即，
设其圆心为，则.
抛物线的准线，
过点作，垂足为，则，
所以.
当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离.
设到直线的距离为，则，
则的最小值为.
所以的最小值为.
故答案为：.
13．【多选】（25-26高二·全国·单元测试）设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程是
B．的最小值为4
C．的最大值为5
D．以线段为直径的圆与轴相切
【答案】ABD
【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出的中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D.
【详解】A（√）由抛物线，知其焦点为，准线方程为．
B（√）如图所示，过作准线于点，则，
故，
当且仅当，，共线时（即图中），最小，
最小值为到准线的距离4.

C（×）由，当且仅当共线时取等号，故的最大值为．
D（√）由，知的中点坐标为，而，故，所以以线段为直径的圆与轴相切．
故选：ABD
14．【多选】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，为抛物线上两点，的焦点为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线为B．当时，的值为5
C．的最小值为3D．的最大值为
【答案】CD
【分析】对于AB，根据抛物线的方程和定义即可判断；C选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到可判断.
【详解】因为，，，准线方程为，
所以由抛物线的定义可得，
的准线为，故选项A错误；
当时，，的值为，故选项B错误；
如图，过点P作准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为，C正确；
由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确.
故选：CD.
15．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程是．
如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接．
因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
当时，取最小值，即，所以的最小值为1．
故选：A．
考点04 抛物线的标准方程
16．（25-26高三·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由准线方程可设抛物线方程为：，据此可得答案.
【详解】因抛物线的准线方程为，则设抛物线方程为：，
则，则抛物线标准方程为：.
故选：C
17．（25-26高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程.
【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以.
所以双曲线的右焦点坐标为：.
对于抛物线，因为焦点为，即.
所以其准线方程为：.
故选：B
18．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程.
【详解】

方法一：轨迹方程法
设点，则点．连接PF，由题意知，
即，整理得，则曲线的方程为．
方法二：几何定义法
由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离，
则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线的方程为．
故选：B．
19．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于两点（点在点上方），直线交抛物线于两点（点在点上方），直线与直线交于点，交点的纵坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立方程可得，，中点为的中点为，则，再利用直线平行，可得三点共线，可得即可求解.
【详解】根据题意联立，
可得，同理可得，
记中点为的中点为，则，

又为中线，为中线，，
所以三点共线，可得，
所以，即．
所以抛物线的方程为，
故选：D．
20．（25-26高二·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程．
【详解】直线与y轴的交点为，
所以抛物线C的焦点为，故，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
故选：D．
考点05 抛物线的焦点坐标及准线方程
21．（25-26高二·云南昭通·阶段练习）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.
【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为.
故选：D．
22．（25-26高二·河南驻马店·阶段练习）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，进而求得抛物线的焦点坐标.
【详解】根据抛物线的方程可知，，则，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：D
23．（2025高二·全国·专题练习）若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，以及抛物线准线的概念，求出点的坐标即可.
【详解】由题意可得，点到准线的距离为3，
可知抛物线的准线方程为，
所以点的纵坐标为2，
代入得，解得，
所以点的坐标为或
故选：C.
24．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的圆心在抛物线上，可求解抛物线方程，即可得焦点坐标.
【详解】由已知，圆的圆心为，
因为点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，焦点在轴正半轴上，且，
所以焦点坐标为.
故选：B
25．（25-26高三·陕西咸阳·阶段练习）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的右焦点，利用抛物线焦点与的关系求解即可.
【详解】对于双曲线：因为，所以，所以．
所以双曲线的右焦点的坐标为．
对于抛物线，因为焦点为，即，可得．
所以其准线方程为．
故选：D．
考点06 抛物线的轨迹方程
26．（2025·湖南·模拟预测）已知点满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解.
【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离，
又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，则，
当且仅当时，等号成立，
故选：C.
27．（2025高二·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案.
【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，
则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等，
故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为，
设，则，
则，则,
由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，，
故，
故直线的方程为，即，
故选：D
28．（2025高二·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为，
故选：D
29．（2025高二·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，点的轨迹方程为.
故选：B.
30．（2025高二·江西景德镇·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得.
【详解】因为，
得，
即动点到定点的距离与到定直线的距离相等，
且点不在直线上，
则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线.
故选：D.
考点07 焦半径问题
31．（2025高三·广东·专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【分析】先设点，再根据抛物线定义结合轴，得出，计算求解.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，设点，
因为轴，所以，且，又，所以，
又，所以.
故选：A.
32．（25-26高二·重庆·阶段练习）O 为坐标原点， F 为抛物线的焦点，点 在 C 上，且 ，则 p = （ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】由抛物线定义得到，利用解得，进而求得抛物线方程.
【详解】由抛物线的定义，可知，又，，
所以，得.
由点在上，得，结合，解得.
故选：C
33．（25-26高三·云南昆明·阶段练习）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先将点代入抛物线得出，再应用抛物线定义得出即可求解.
【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得，
因为，可得，
故选：C．
34．（25-26高三·陕西汉中·开学考试）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．3B．C．4D．5
【答案】A
【分析】由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得可得答案.
【详解】因为为抛物线的焦点，所以，
设，因为，则，故到轴的距离为3.
故选：A．
35．（25-26高三·安徽·开学考试）已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再由抛物线的定义可得点的坐标.
【详解】将抛物线化为标准方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
设抛物线上一点，，由抛物线的定义可知，解得，所以点P的坐标为.
故选：C.
36．（25-26高三·福建漳州·开学考试）已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】D
【分析】根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解.
【详解】由，得，即，故抛物线的方程为.
设，则的面积为，得，
将代入，得，
由焦半径公式.
故选：D.
37．（25-26高三·北京·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义及题意列出关系式即可.
【详解】抛物线的准线为，则由抛物线的定义可知，点到抛物线焦点的距离为，
故由题意可得，，得.
故选：B
38．（25-26高二·全国·单元测试）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得.
【详解】由抛物线的定义，知，又，，
所以，即，
由点在上，得，
结合，解得.
故选：C
考点08 焦点弦问题
39．【多选】（25-26高三·云南·期中）已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．的最小值为
C．若，，三点共线，则的最小值为2
D．若（为坐标原点）为正三角形，则
【答案】ACD
【分析】对于A：由抛物线方程求准线方程即可；对于B：根据题意结合抛物线的定义分析求解；对于C：根据抛物线的性质即可得结果；对于D：分析可知垂直于轴，结合方程运算求解即可.
【详解】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上，
所以的准线方程为，故A正确；
对于选项B：因点在的内部，过点作垂直于直线，垂足为，
则，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
所以的最小值为，故B错误；
对于选项C：因为直线过焦点，
可知当垂直于轴时，取到最小值为，C正确；
对于选项D：当为正三角形时，可知垂直于轴，
设，则，代入的方程得，得，
所以，D正确.
故选：ACD.
40．【多选】（25-26高二·江苏南京·期中）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】作可知，由此确定点坐标，得到，知A正确；利用，结合韦达定理可构造方程求得B错误；利用长度关系和两角和差正切公式可推导得到，知C错误；根据，结合韦达定理可知D正确.
【详解】
对于A，作，垂足为，设，
，，又，，，
，，
，即直线的斜率为，A正确；
对于B，由A可设直线，即，
由得：，，，
，又，，即，
，即，
，解得：或，
又，，即，，B错误；
对于C，，，
由B知：，，
，，
，
，
，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD.
41．【多选】（25-26高二·江西赣州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ）
A．直线的方程为B．以线段为直径的圆与轴相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】对于C，由图结合，可得为线段的中点，然后结合抛物线定义可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误；对于A，由CD分析可得直线斜率，结合，可得直线方程；对于B，取线段中点，过作轴于，结合几何知识可判断选项正误.
【详解】抛物线的焦点，准线，.
对于C，如图，因为，所以为线段的中点，，
过作准线的垂线，垂足为，与轴交于，则，
由抛物线的定义可知，，得，故C正确；
对于D，在中，有，得，故D正确；
对于A，，则直线的斜率为，又
所以直线的方程为，
即或，故A错误；
对于B，取线段中点，过作轴于，
则，
所以，即线段中点到轴的距离等于，则以线段为直径的圆与轴相切，故B正确．
故选：BCD．
42．【多选】（25-26高三·云南昭通·阶段练习）抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与轴相切B．
C．D．当时，
【答案】ABD
【分析】由抛物线定义得线段的中点到轴的距离是，即可判断A；设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理利用斜率关系判断B；利用距离公式计算判断C；结合向量的坐标运算求得，利用焦半径公式求解弦长即可判断D.
【详解】设，，如图，

对于A：由抛物线定义知，线段中点的横坐标，
即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故A正确；
对于B：由题意知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
所以，，
由得，
所以， 因为，，
所以，所以，故B正确；
对于C：
所以，故C错误；
对于D：当，可得，即，又，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
43．【多选】（25-26高三·江苏南京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（ ）
A．为等边三角形
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义，可判断A的真假；写出直线的方程，与抛物线方程联立，求出点的横坐标，结合抛物线的定义，可判断BCD的真假.
【详解】对A：根据抛物线的定义可得，又轴，，所以，所以为等边三角形，故A正确；
对B：因为，直线方程为：，代入抛物线方程得：，
整理得：，
所以，.
根据抛物线的定义：，.
所以，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：由AB可知，，所以，故D正确.
故选：ACD
44．【多选】（25-26高三·青海西宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则（ ）
A．的坐标为B．
C．若，则D．为钝角
【答案】BCD
【分析】根据抛物线方程得交点坐标即可判断A；根据直线斜率是否存在，分类讨论并结合韦达定理即可判断B；根据抛物线定义即可判断C；利用韦达定理及向量的数量积公式即可判断D.
【详解】如图：
选项A，由已知得焦点，所以A不正确；
选项B，当直线的斜率不存在时，，，则，
当直线的斜率存在时，设其方程为，与抛物线方程联立，
得，则，，所以B正确；
选项C，由抛物线定义知，，若，则，所以C正确；
选项D，由，
则，所以为钝角，所以D正确.
故选：BCD.
45．【多选】（2025高二·江苏南京·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为
C．D．
【答案】AC
【分析】选项A：将焦点坐标代入直线中求出的值即可；选项B：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及抛物线定义，得出线段的中点到轴的距离为；选项C：利用抛物线定义结合平行性质即可求解；选项D结合选项B中的韦达定理的结论以及抛物线定义化简代入即可.
【详解】对于A：由题可知在直线上，
所以，
故抛物线的方程为，
故选项A正确；
对于B，设，
联立，整理得：
，
由，
所以，
根据抛物线定义得：
，
所以线段的中点到y轴的距离为线段，
故选项B错误；
对于C，如图所示，

因为，
所以，
因为轴，轴，
所以，
所以
，
故选项C正确；
选项D：因为
故选项D错误，
故选：AC.
46．【多选】（25-26高三·重庆·开学考试）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．的面积为
【答案】ACD
【分析】由抛物线的焦点坐标可判断A，由抛物线的定义计算过焦点的弦长可判断B，根据圆和直线的位置关系可判断C，利用点到直线的距离公式计算高，再由三角形面积公式可判断D.
【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为，
则，，故A正确；
对于B，设，，联立得，
则，，故B错误；
对于C，，
设中点为，则，
，到直线的距离，以为直径的圆的半径，
由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确；
对于D，到的距离，
则的面积为，故D正确.
故选：ACD.
47．【多选】（25-26高三·内蒙古·开学考试）已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（ ）
A．当为的重心时，轴B．当时，的最大值为5
C．当时，的最小值为5D．当时，直线AB的倾斜角为或
【答案】ACD
【分析】设，由重心坐标公式可分析得判断A；分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，利用三角形两边之和大于第三边和中位线定理即可分析判断BC；过点作，垂足为，分析求出即可判断D.
【详解】
设的焦点为，
当为的重心时，由重心坐标公式得，得，
则A，B两点关于轴对称，所以轴，A正确；
分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，
当时，，
则，所以的最小值为5，所以B错误，C正确；
当且点在第一象限时，设，则，
过点作，垂足为，
则，
则，则，从而直线AB的倾斜角为；
当且点在第一象限时，同理可得直线AB的倾斜角为，D正确.
故选：ACD.
48．【多选】（25-26高三·广东湛江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（ ）
A．点的横坐标为
B．直线与轴交点的纵坐标的绝对值为
C．直线的斜率为
D．若的周长为12，则
【答案】ACD
【分析】依题意画出简图，根据正三角形的性质及抛物线的方程，结合图象逐个分析选项，即可得到正确答案.
【详解】解：由题可知∥轴.因为为等边三角形，所以，则点在线段的中垂线上.
设的中点为,连接，则.
设,,的坐标分别为，，，因为，，所以，所以选项A正确.
设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，因为，所以，则.将代入方程，可得，所以得，即,从而，所以选项B错误.
因为，所以直线的斜率为，所以选项C正确.
若的周长为12，则.因为，所以，解得，所以选项D正确.
或
故选：ACD.
49．【多选】（2025·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点.点为坐标原点，且，则（ ）
A．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条
B．满足为直角三角形的点有且仅有2个
C．若直线的倾斜角为，则
D．若，则的面积为4
【答案】ACD
【分析】由抛物线性质可知，焦点，准线，焦半径，，对选项进行逐一判断：选项A，过点且与有且仅有一个公共点的直线包含切线两条和直线一条，共3条；选项B，若是直角三角形，则直角位置可能位于三点处，根据向量点积为0，结合判断，共有3种情况；选项C，由倾斜角为得出直线的斜率，从而得出的方程为，联立抛物线得到，根据已知焦半径：，，结合韦达定理构造的关系，得出的值；选项D，设直线的方程为，联立抛物线得，由得出，由点到直线距离公式得出，再根据面积公式计算求解.
【详解】

已知抛物线，即，焦点，准线，
焦半径，.
选项A，设过点与的切线为，联立得，
得或.
过点的垂直直线与抛物线C仅有一个交点.
综上，过点且与有且仅有一个公共点的直线为切线，，直线，共3条，故A正确.
选项B，已知点在上，即，且.
若为直角三角形，则直角可能在处.
若，则，
即，因为，故，解得，有1个正实根.
若，则，
解得，，故，有1个正解.
若，则，解得，有一个正解.
所以满足为直角三角形的点有3个，故B错误；
选项C，直线的倾斜角为，则，直线的方程为.
联立抛物线，
已知，则，.
已知焦半径：，，
所以，
.
又因为，所以，故，
所以.
所以，即，故C正确.
选项D，设直线的方程为，联立抛物线得，
则，解得.
所以原点到直线距离：，面积，故D正确.
故选：ACD.
考点09 抛物线中三角形，四边形的面积问题
50．（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，确定坐标，得到直线方程，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解.
【详解】
如图，不妨设在轴下方，
因为，且
所以，由抛物线方程可得，
则，
所以直线方程为：，
联立抛物线方程消去得：，
化简得：，
所以，
则，
到直线的距离，
所以的面积为，
故选：B
51．（25-26高三·河北邢台·开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后根据三角形面积公式求出的面积.
【详解】对于抛物线，其焦点的坐标为，准线方程为，
准线与轴的交点的坐标为，则，
设点的坐标为，由抛物线的定义可知，
已知，则，解得.
因为点为抛物线上一点，将代入抛物线方程可得，解得.
在中，，点到轴的距离即为中边上的高，即高，
因此的面积.
故选：C.
52．（25-26高三·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出三角形面积的最小值.
【详解】依题意，，解得，则抛物线，焦点，
设点，直线的方程为，
由消去得，则，，
因此，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为8.
故选：D
53．（25-26高三·河北·阶段练习）已知动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）. 过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)动点P的轨迹方程为
(2)
【分析】（1）设点，由题意可得，化简可得动点P的轨迹方程；
（2）分直线斜率是否存在两种情况求得的范围，进而可求得面积的最小值.
【详解】（1）设点，由动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1，
所以，
因为P不在直线l左侧，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以动点P的轨迹方程为；
（2）当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入方程，得，
所以，整理得，
因为直线与动点P的轨迹交于A、B两点，所以，
设，则，
所以
令，所以
，
所以，
当斜率不存在时，直线方程为，所以，
此时，所以，
综上所述：，所以面积的最小值为.
54．（25-26高三·上海·开学考试）已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点．
(1)若，求的坐标；
(2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)；
(3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值．
【答案】(1)或
(2)
(3)16
【分析】（1）根据焦半径公式求解即可；
（2）联立韦达代入即可；
（3）利用等腰直角三角形的特点设坐标，代入抛物线方程整理化简，结合基本不等式求最值即可，注意验证取等号条件.
【详解】（1）不妨设，因为，可得，解得，
则的坐标为 或 ；
（2）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，设点，
联立得
则．
（3）若三角形为等腰直角三角形，
不妨设，因为，且，
不妨设，
此时，
代入抛物线方程可得：，
解得，
所以 ，
整理得，
由于 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
则，即，
当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当，时，三个顶点坐标为，
此时三角形面积的最小值为16．
55．（25-26高三·江西南昌·开学考试）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程.
(2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积.
【详解】（1）由题可知：.

当直线l⊥y轴时，可得，.所以.
因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为．
（2）由（１）知：，所以直线.
联立直线l与抛物线C方程，得，
设点A，B,则，，
所以.

所以△ABO的面积．
56．（25-26高三·湖北武汉·阶段练习）设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线l过点T，求的面积；
(3)若直线平分，求直线l的斜率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据题意得到，解出即可；
（2）首先计算出的方程：，再将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，最后利用面积公式即可得到答案；
（3）设直线，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用，代入计算得，最后代入，以及韦达定理式即可得到方程，解出即可.
【详解】（1）由题意，当点横坐标为2时，点到准线的距离为3，
即，解得，
所以拋物线的标准方程为：．
（2）点，设．
此时直线的斜率为，的方程可写为．
与抛物线方程联立得：．
由韦达定理，，，
此时面积为．
（3）设直线的斜率为，显然，则设直线方程为：，
将其与抛物线方程联立得：．
由韦达定理，.
由题意：．
又，所以．
又因为，，
代入化简得：．
即．
又，故．
即，解得：．

57．（25-26高三·河北·开学考试）已知坐标平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)设直线与曲线交于两点，，直线与直线的倾斜角互补．
①求的值；
②若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设圆心为，根据题意结合两点距离公式和弦长公式求解即可；
（2）①设，，利用斜率的坐标运算公式写出直线与直线的斜率表达式，将直线方程和曲线方程联立，再利用韦达定理化简并计算求出即可；②利用韦达定理和点到直线的距离公式得到面积的表达式，求导，利用导数求面积的最大值即可.
【详解】（1）设圆心为，
由题意可得，整理得，
所以曲线的方程为.
（2）①设，，
因为两点在曲线上，则，，
则，同理，
联立，消去得，所以，，
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以，
将，代入得，解得.
②由①可知联立，消去得，所以，，
又，解得，所以，
因为
，
点到直线的距离，
所以的面积，
令，则，由得，
所以，则，
令解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，的面积最大，最大值为.
考点10 抛物线的实际应用
58．（2025高二·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值.
【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由图可知抛物线过点，代入抛物线方程，
得，解得，所以抛物线方程为.
因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，
所以车行驶时，的取值范围为.
当时，，
要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米.
故选：C
59．（2025高二·福建三明·期末）三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题中信息求出抛物线的标准方程，再将代入抛物线方程，求出的值，即可得解.
【详解】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
根基题意，设抛物线的标准方程为，
由题意可知，点在抛物线上，则，解得，
所以，抛物线的标准方程为，
若水面从图中示意位置上升，即时，可得，解得，
此时，水面的宽度为.
故选：B.
60．（2025高二·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求抛物线方程，由此确定焦点坐标，再求绳子最合适的长度.
【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为（）
由已知点在抛物线上，
所以，
所以，
所以抛物线方程为，
所以焦点坐标为，
所以绳子最合适的长度是，
故选：B.
61．（2025高二·重庆渝中·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（ ）
A．4B．2C．8D．16
【答案】A
【分析】根据条件设出直线，联立直线和抛物线方程并消元，得到，有直线间的距离，结合条件近一步计算即可.
【详解】设；由题意：直线与之间的距离；
因为，设直线，与联立，整理得：；
由韦达定理：，，
则；
故时，.
故选：A.
62．（2025高二·河南南阳·期中）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ）

A．6.4mB．6mC．3.2mD．3m
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，进而求得正确答案.
【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
依题意可知，抛物线过点，
所以，
所以抛物线方程为，
所以当时，，
解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为.
故选：A

63．（2025高二·北京东城·期末）2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得.
【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点
设抛物线的方程为，则，解得，
抛物线的焦点，准线方程为，，
所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为.
故选：B
考点11 直线与抛物线的位置关系
64．（2025·天津·模拟预测）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】若直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
即方程只有一个解，
当时，恒有一个解；
当时，，得，此时方程只有一个解．
即直线与抛物线只有一个公共点，可得或，
故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A．
65．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可.
【详解】由抛物线的方程为知．
当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点．
当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点．
当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为，
由得关于的方程，
令，解得，此时满足条件的直线有1条．
综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条，
故选：C．
66．（2025高三·安徽·阶段练习）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解.
【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切，
过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点.
所以满足条件的直线有3条，
故选：C.
67．（2025高三·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解.
【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点；
当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点；
当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：，
因为.
由，因为，所以方程有两根，
故过点可以作两条直线与抛物线相切.
综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点.
故选：D
考点12 抛物线的弦长问题
68．（2025高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由，得，所以，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.

故选：B.
69．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可.
【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置，
该抛物线的焦点，
因为直线AB和CD均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零，
设AB的斜率为，则CD的斜率为，
直线AB的方程为，
与抛物线联立得：，
则，
同理可得，
因此，
故选：D.
70．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】首先得，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦长公式列方程即可求解.
【详解】因为直线经过点，则，由得，
则，故，所以．
故选：D．
71．（2025·全国）已知抛物线的焦点为F，过F作C的对称轴的垂线，与C交于A、B，则（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线方程可得，进而求出，即可得解.
【详解】由抛物线，则，对称轴为轴，
所以过F与y轴垂直的直线为，
不妨设，则.
故选：B.
72．（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】设直线l的方程为，将其代入抛物线方程，设，由韦达定理得，写出线段的垂直平分线方程，代入，化简得，结合可求得，从而可得，利用求出结果.
【详解】抛物线焦点为，准线，点，
由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，
将其代入抛物线方程，得：，
则，
设，由韦达定理得：，
线段的中点坐标为，垂直平分线的斜率为．
线段的垂直平分线方程为：，即，
代入，化简得：，
结合，得：，
则，
则，
.
故选：A．
73．（2025高三·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到，，再利用弦长公式表示出弦长，进而求出最小值，方法二利用二级结论得到，再对条件合理变形，再利用基本不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最小值即可.
【详解】方法一：由已知得，直线的斜率不为0，
如图，设，， 设直线的方程为，
联立方程组，得到，且易得，
则由韦达定理得，，
由弦长公式得，
故当时，取最小值，且该值为2，故C正确.
故选：C．
方法二：由二级结论得，易得，
而
，当且仅当时等号成立，故C正确.
故选：C．
方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而，故C正确.
故选：C．
74．（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则（ ）
A．4B．C．6D．5
【答案】D
【分析】由直线的方向向量得出直线方程，代入抛物线方程得出，根据抛物线焦半径公式即可求解．
【详解】由题得，所以直线的方程为，
代入，得，
设，则，
，
则，
故选：D．
考点13 抛物线的中点弦问题
75．（2025高二·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解.
【详解】联立，则，
设直线与抛物线交点，
则，故，
所以线段的中点坐标是.
故选：B.
76．（2025·广东湛江·模拟预测）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法列方程可得解.
【详解】设，，则，
整理得，
因为线段中点的横坐标为，
所以线段中点的纵坐标为，则，
从而可得，
故选：D.
77．（2025高三·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围.
【详解】设,则，
两式相减得：，
即，
因为直线的斜率为2，所以，所以，
因为，所以.
设直线的方程为，由,
可得：，，解得：.
在直线上，则，，所以.
所以.
故选：C
78．（2025高二·湖北襄阳·阶段练习）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解.
【详解】联立，则，
设直线与抛物线交点，
则，故，
所以线段的中点坐标是.
故选：B.
79．（2025高二·北京·期末）已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的斜率得，进而求解准线方程即可.
【详解】根据题意，设，所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1，
所以，所以抛物线，准线方程为.
故选：B
80．（2025高二·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法可求得直线的斜率.
【详解】设点、，
因为点为线段的中点，则，，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
由题意可得，将这两个等式作差可得，
即，所以，直线的斜率为.
故选：D.
81．（2025高二·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线的方程为并与抛物线联立，由中点坐标可得，求得直线方程.
【详解】易知直线的斜率不为0，设方程为，，
联立，整理可得，
，
由中点为可得，可得，
因此直线的方程为，即.
故选：A
82．（2025高二·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程.
【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为，
由消去得，，由弦的中点为，
得，此时方程有两个不等实根，
所以直线的方程为，即.
故选：D
考点14 抛物线的最值问题
83．（25-26高二·河南·阶段练习）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点，准线方程为，
因为点在抛物线上，所以，所以.
联立方程组得：，则，
所以直线与抛物线无公共点，
如图所示，的最小值即为点到直线的距离，
所以最小值为，
即的最小值为.

故选：A
84．（2025高二·吉林长春·期中）已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．9B．C．8D．
【答案】C
【分析】设直线方程，联立直线与抛物线方程，得到，，由得，从而求出直线方程，分和两种情况进行求解即可.
【详解】由题可知直线斜率存在，设直线，，，
联立方程：，整理得：，，
，.
，
得或（舍）.故直线，
当时，点，点到直线的距离为；
当时，直线，又直线，消去整理得：，
即此时点的轨迹方程为，（或者利用直线过定点结合，得出点的轨迹为以为直径的圆），
点到直线的距离的最大值为，
综合可知点到直线的距离的最大值为8.
故选：C.
85．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系Oxy中，点，，向量，且，若Q为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求得点在直线上运动，进一步分析得当与、与重合时，取得最小值，其中垂直直线，点是抛物线上一点，且抛物线在点处的切线方程与直线平行，从而即可求解.
【详解】因为点，，向量，设，则，
解得，因为，所以，
即点在直线上运动，

由图可知，，其中垂直直线，
点是抛物线上一点，且抛物线在点处的切线方程与直线平行，
显然点在第二象限，故当时，由，可得，求导得，
令，解得，即点的坐标为，
故所求为点到直线的距离，
即，当且仅当与、与重合时，
取得最小值.
故选：D.
86．（2025高二·贵州黔西·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点，其中，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最小值，求出对应的值，即可得出点的坐标.
【详解】不妨设点，其中，
则点到直线的距离为，
故当时，取最小值，此时点的坐标为.
故选：C.
87．（2025高二·重庆沙坪坝·期末）已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解.
【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，如图，
因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为，
在中，由余弦定理得，
所以，
又，所以（当且仅当时，等号成立），
所以，
即的最小值为．
故选：A．
【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解.
88．（2025高二·贵州黔西·期末）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据题意设，进而根据点到直线的距离并结合二次函数最值求解即可.
【详解】根据题意设，
所以点到直线的距离为：，
当且仅当时等号成立，此时，
所以点到直线的最短距离为.
故选：B.
89．（2025高二·云南昭通·期末）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相切的性质可得，利用二倍角公式可得，利用两点距离，结合二次函数的性质可得的最小值求解.
【详解】设圆心为，由题意作图如图，由与圆相切，
则，且，
故.
设，则，可得
故当取最小值，且最小值为，
所以的最小值为，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用和将问题转化成求的最小值.
90．（2025高二·安徽阜阳·期末）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，连接AF、BF，由抛物线定义得，由勾股定理可得|AB|2，进而根据基本不等式求得|AB|的取值范围，再利用此结论求的取值范围．
【详解】设，点在准线上的射影分别为，线段的中点在上的射影为
则，，，
由，即，得，
而，即，当且仅当时取等号，
所以.
故选：C
考点15 抛物线的向量问题
91．（2025·广东广州·模拟预测）已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，得出直线的方程，直曲联立，利用韦达定理写出的表达式，即可求出的值.
【详解】由题意，
过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，
∴直线的斜率为，
∴直线的斜率为，
直线的方程为，即，
联立方程，得恒成立，
∴，
∵，点，在直线上，
∴，，
∴，
解得.
故选：B

92．（25-26高二·全国·课后作业）过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】由韦达定理及向量的坐标运算可求.
【详解】 过且倾斜角为的直线的方程为，
设，，
由消去得，，
所以 ①， ②．
又，所以，
所以，代入①中得，代入②中得，
所以，解得或（舍去）．
故选：A.
93．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线m与C交于A，B两点，，若线段AB上存在一点P满足，过点P作准线l的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】利用抛物线的几何定义来求焦半径长度，结合中位线、余弦定理、基本不等式，即可求最小值．
【详解】
分别过点A，B作，，垂足分别为M，N，如图所示．
因为线段AB上存在一点P满足，所以P为线段AB的中点．
设，，由抛物线定义可知，，
则，
在中，由余弦定理可得，
故，
当且仅当，即直线AB斜率不存在时，等号成立，所以，
故的最小值为．
故选：C
94．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，斜率为且不过原点O的直线l与C交于A，B两点，若，则（ ）
A．16B．C．8D．
【答案】B
【分析】设直线l：，，，将直线与抛物线联立，结合韦达定理与，可得，据此可得答案.
【详解】易知焦点，设直线l：，，，
联立，消去x得，
则，，．
因为，所以，又，
所以，
解得或（舍），所以l的方程为．
此时，，,
故．
故选：B
95．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先设出，两点的坐标，根据题干条件将其坐标解出，再利用三角形面积公式即可求出最终结果.
【详解】设点，，由题知，由，
可得，
则，
故选：C
96．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，过点的直线与抛物线交于不同的两点，若，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义即可求解抛物线方程，再利用直线与抛物线联立方程，结合韦达定理和向量的坐标运算即可求解的范围.
【详解】

由题意，根据抛物线的定义，有，解得，
所以抛物线的方程为；
依题意，得直线的斜率存在且，设的方程为，
由，消去，得，
由，即，解得或．
设，，则，，且，，
所以
，
因为，所以，解得；
所以，直线的斜率的取值范围是，
故选:D．
97．（25-26高三·湖南湘西·阶段练习）在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）．
(1)证明：为定值；
(2)证明：；
(3)设为直线的交点，，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设直线的方程为，将其与抛物线联立得到韦达定理式，再整体代入的表达式即可；
（2）解出坐标，从而得到和，再利用共线向量定理即可判断；
（3）取的中点，根据向量运算得，再计算出，从而得到，再利用两点距离公式并结合二次函数性质即可求出最值.
【详解】（1）由题意设直线的方程为，
联立与直线的方程，消去，得，，
设，，则，．
，为定值．
（2）直线，与的方程联立，消去，得，
或，，同理，．
．
又，，故．
（3）由（2）知，是的中位线，分别是的中点．
如图，取的中点，则，
．
，其中，
，即，
，
，当时，取等号，
的最小值为．

考点16 抛物线的证明问题
98．（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，．
(1)求的方程；
(2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0．
（ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率；
（ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到，将将点代入抛物线的方程，求得，即可抛物线的方程；
（2）（i）设，则，不妨设在的左侧，根据斜率公式，分别求得，结合，得到，进而求得直线的斜率；
（ii）设为抛物线在点处的切线，转化为证明与圆相切，利用导数的几何意义，求得，取上点左侧一点，结合圆的性质，即证，利用两角差的正切公式，化简，即可得证，得到答案.
【详解】（1）解：由抛物线，可得焦点，
因为为上位于第一象限的一点，且，所以，
将点代入抛物线的方程，可得，解得或（舍去），
所以抛物线的方程为.
（2）解：（i）设，则，不妨设在的左侧，
根据题意，可得，同理可得，
因为直线的斜率之和为，所以，
即，整理得，
所以.
（ii）设为抛物线在点处的切线，要证明即为，即与圆相切，
由函数，可得，所以，
要证与圆相切，取上点左侧一点，
结合圆的弦切角定理的逆定理，即证，只需证，
即证，即证，
即证，
由（i）知，即证，
即证，即，成立，
所以即为圆的切线，所以直线与圆有且只有一个公共点.
99．（25-26高二·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P.
(1)求C的方程以及点P的坐标.
(2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M.
（i）当轴时，求L的方程；
（ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】(1)，
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）联立方程，根据直线与曲线相切，可知方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式，可得参数值，从而可得答案.
（2）（i）由题意设出直线方程，联立方程，再根据一元二次方程根的判别式，可得答案；（ii）根据一元二次方程，根与系数关系，整理算式，建立方程，可得答案.
【详解】（1）由可得（*），
由题意知，解得（舍去），
所以C的方程为.
将代入（*）式可得，解得，
将代入C的方程可得：，即.
（2）（i）易知L的斜率存在且不为0，设，
与C的方程联立，得.
由及点P不在L上，得或或.
设，，则，.
当轴时，，即，满足题意，
所以L的方程为.
（ii）由（i）可得，
.
所以，
即为定值.
100．（2025·四川成都·模拟预测）过点作直线与抛物线交于，两点.
(1)设为坐标原点，求的值；
(2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程；
(3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等.
【答案】(1)5
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用直线方程与抛物线联立，结合韦达定理，通过代数运算求解向量点积.
（2）根据弦长公式先求，利用中点到轴的距离为半径，建立方程求解即可；
（3）由题知与有相同底边，要证三角形面积相等，转化为证，设点，，同理可得，设点，利用，，三点共线可得，然后即可证，从而得证与的面积相等.
【详解】（1）
由题意，直线不与轴重合，设的方程.
代入，并整理得.
由，得或.
设点，，则，.
所以.
（2）由弦长公式，得.
线段的中点到轴的距离.
又，故.
由，得，解得（均满足）.
所以直线的方程为.
（3）设点，，同理可得.
又直线的斜率.
由，，得.
设点，由，，三点共线，得.
化简，得.
又直线的斜率，故.
所以，故与的面积相等.
考点17 抛物线的探索性问题
101．（2025高三·全国·专题练习）设抛物线，直线与抛物线相交于不同的两个点.抛物线上是否存在异于的点，使得经过点的圆和抛物线在处有相同的切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【分析】求出直线与抛物线的交点的坐标，然后设出点的坐标，根据圆的性质列出等式，再结合抛物线在点处切线的斜率与圆心和点连线斜率的关系列出方程，最后联立方程求解出点的坐标.
【详解】由已知可得.设.
设圆心坐标为，则，
从而，，
解得，.
而抛物线在点处的斜率为，
该切线与垂直，所以，
得，
解方程组且，得，
所以存在.
102．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线，设动直线与抛物线相交于两点，且这两点位于直线的两侧．问：在直线上是否存在与的取值无关的定点，使得被直线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】存在，
【分析】先假设存在，则将问题转化为解方程，结合韦达定理即可求解.
【详解】假设存在，设，．
由得，
所以，．
因为被直线平分，所以．
所以
，
所以，即，
所以，即存在，使得被直线平分．
103．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C.
(1)当点为坐标原点，时，求的面积；
(2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率；
(3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）设出直线方程，根据直线与圆相切求出斜率，然后联立抛物线方程求出的坐标，然后可求得三角形面积；
（2）设出直线，联立抛物线方程求出的坐标，由斜率公式可得；
（3）利用特例求出，然后点、、，写出直线的方程，结合圆心到直线的距离等于半径即可得证.
【详解】（1）当时，圆与轴不相切，
设过原点与圆相切的直线方程为，
联立消去得：，
由得，
不妨记直线的方程为，代入得：，
解得或，所以，由对称性可知，，
所以.
（2）由题知，所以与轴垂直，故直线的斜率存在，且互为相反数，
设直线的方程为，即，，
联立得，
则，，即，
同理可得，又，
所以直线的斜率.
（3）设，由题意可知，圆与抛物线没有交点，
当的一边所在直线斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则关于轴对称，
若直线始终与圆相切，则由对称性可知点必在轴上，即与原点重合，
此时直线方程为，直线的方程为，即，
依题意，，得
又，所以，解得或（舍去），
所以.
所以，当点在抛物线E上运动时，若存在实数，使得直线始终与圆相切，则，
下证时，直线始终与圆相切：
如图，由上可知，三点的横坐标各不相等，
设点、、，
则直线的方程为，即，
同理可得直线的方程为，
所以直线的方程为，
因为直线与圆相切，则，即，
同理由直线与圆相切得，
则、为方程的两个不等的实根，
则，，
点到直线的距离为，
即直线与圆相切，
综上所述，存在，使得当点在抛物线上运动时，直线总与圆相切.
104．（2025高二·江西九江·期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足．
(1)求p的值；
(2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G．
（ⅰ）求证：点P为定点；
（ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在，.
【分析】（1）设，，，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求参数值；
（2）（ⅰ）设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及（1）结果，求得，即可证；（ⅱ）由分析得，则，进而得，应用导数几何意义求抛物线在点C处切线方程，进而得、，可证EG的中点为P，并求得，易得到直线的距离是到直线的距离和的一半，即可得.
【详解】（1）由题意，直线AB斜率必存在，设，，，
联立，得，，
所以，，解得或（舍），
所以；
（2）（ⅰ）直线AC斜率必存在，设，，，
联立，得，，
所以，同理，又，所以，
直线CD斜率必存在，设，
联立，得，，
所以，解得，满足，
所以直线CD过定点，即P的坐标为；
（ⅱ）由，且，，，
得，
所以直线CD的方程为，由直线CD与直线AB相交，可得，
联立，解得，
因为抛物线方程为，所以，
抛物线在点C处切线方程为，
所以，同理，
又，所以EG的中点为P，
联立，得，
由及，所以，
综上，在线段的同一侧，又是的中点，
所以到直线的距离是到直线的距离和的一半，
所以，即.
考点18 抛物线的定点问题
105．（25-26高三·上海·开学考试）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．

(1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标；
(2)若，证明：；
(3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)直线恒过点．
【分析】（1）由焦半径公式即可求解；
（2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论.
（3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点.
【详解】（1）由题意，解得，
所以，又，
所以，即点的坐标；
（2）由题知，设，，
，代入抛物线可得，
，
又，
，
同理
.
（3）因为，
所以，代入点得①，
设，同理，
过点②
，
结合①②可得
又因为
所以，整理得
所以直线过定点.
106．（25-26高二·河南驻马店·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称.
(1)若，点的坐标为，求的值；
(2)若，求的值；
(3)证明：直线恒过定点.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义及，可得，，进而可得结果；
（2）设直线的方程代入抛物线方程，由根与系数关系及可得，再由抛物线的定义可得焦点弦的长；
（3）由（2）得，根据B点的位置分两种情况，再由A，D点直接得直线AD的方程进而可判断直线过定点.
【详解】（1）因抛物线，得，准线，焦点.
由点的坐标为得，点的坐标为，
由抛物线的定义可知，6，解得，
因为在上，所以，所以，
故.
（2）显然直线的斜率不为0，且过焦点，设直线的方程为，.
联立整理得，
则，
因且点与点关于轴对称，得，
所以
.
又，所以，整理得，，解得.
又，
由抛物线的定义得
所以.

（3）证明：由在抛物线上，再（2）知.
所以，
①当点在第一象限内，，，则，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，则，
所以直线过定点.
②同理当在第四象限时，，，则，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，则，
所以也过定点，
综合①②，故直线恒过定点.
107．（2025高二·吉林·阶段练习）已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】(1) 设，确定中点，由半径列出化简即可；
(2) 设点,,直线的方程为：,联立直线与抛物线的方程,求得韦达定理代入求得或,再分析定点即可.
【详解】（1）设，则中点，
以为直径的圆半径为：，
因为以为直径的圆与轴相切，
所以，
化简可得：，
即曲线的轨迹方程是；
（2）设点,,直线的方程为：,
联立,得,所以,所以
因为,
即,
即
所以,
所以或
当时,直线的方程：过定点,舍去；
当时,直线的方程：过定点,
所以直线过定点．
109．（2025高二·云南·阶段练习）记抛物线的焦点为，过作直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若上仅存在一点使得，求的方程；
(3)若以为直径的圆与另交于，两点，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）由焦点坐标得到，即可求解；
（2）设，，直线，联立抛物线方程，由，结合韦达定理，向量垂直的坐标表示，列出等式即可求解；
（3）由题意可知，设，由（2）得到，，结合斜率公式及中点坐标公式即可求解.
【详解】（1），故，
故的方程为.
（2）

设，，直线，
联立，有，故，.
记，由可知，
而，，
故，
而，
故，即，即，
由点唯一知，即，
故的方程为或.
（3）由圆的性质：，不妨设，
由（2）可知，是方程的两根，故，，
直线的斜率，
直线的中点为，
而，，
故直线的方程可记作，即，
故直线过定点.

110．（25-26高三·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点.
(1)求的方程；
(2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程.
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可.
【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称，
若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，
因此点必在抛物线上，，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴，
设直线的方程为，则直线的方程为，
由消去得，设，
则，线段的中点，
同理得线段的中点，当时，直线斜率，
直线方程为，整理得，直线过定点，
当时，或，直线过定点，
所以直线过定点.

111．（25-26高三·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l.
(1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)是，和
【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解；
（2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得解直线方程；
解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；
（3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.
【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，
因为离心率为，所以，得，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）解法一：的准线方程为，
设点，因为，
所以，得，
因为，所以，所以，
因为P在第一象限，所以点P的坐标为.
所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为.
解法二：的准线方程为，
过点P作的准线的垂线，垂足为M,，
因为，所以，
因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为.
所以直线EP的方程为.
（3）设点.
由已知直线的方程为.
将代入抛物线方程得.
所以.
因为直线OA的方程为，直线OB的方程为，
令，得M，N的纵坐标分别为.
得到圆C方程为.
因为，所以整理得.
令，得或.
所以圆C过定点和.
112．（2025·河北唐山·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点．
(1)证明：
①直线轴；
②四边形的面积为定值；
(2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)过定点，
【分析】（1）①联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论；
（2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论.
【详解】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得，
解得或4，所以，则.
由得，所以直线的斜率为，
则的方程为，同理可得的方程为，
联立，从而可得，而，因此轴.
②设，可得直线的方程为，
即，
联立，可得，
同理联立，，可得，
而，
故四边形的面积为，为定值.
（2）由（1）得，
线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即；
同理可得线段的垂直平分线的方程为，
联立，消去，得，
所以点在直线上.
设关于直线的对称点为，则，
解得，即关于直线的对称点为，
由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点.
113．（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线：的两条切线，切点分别为．
(1)若，求；
(2)求证：直线过定点（与的取值无关）；
(3)记的焦点为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出抛物线的导数，得到切线斜率，再根据两切线垂直其斜率之积为来求解；
（2）设出切点坐标，求出切线方程，进而得到直线的方程，分析其过定点情况；
（3）通过向量的数量积来证明，从而证明.
【详解】（1）设过点的切线为，
与联立方程组并消去，得．
所以判别式，整理得．
因为，
所以．所以．
（2）由抛物线，有，所以，得过点的切线斜率为．
又，所以过点的切线方程为，即．
由点在直线上，所以．整理得．
设，同理可得．
所以是方程的两个根，得，．
所以直线的斜率．
直线的方程为，即．所以．
所以直线的方程为，过定点．
（3）由（2）知，．
因为抛物线的焦点，
所以，．
所以．
又因为，
所以．
同理可得．
所以．所以．
考点19 抛物线的定值问题
114．（25-26高三·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值；
(3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是，定值2304．
【分析】（1）方法一：由题意上任意一点到直线的距离等于点到点的距离，然后由抛物线定义求解方程即可；
方法二：由题意，设点的坐标为，利用距离关系列式化简即可求解轨迹方程.
（2）四边形的面积，根据点与圆的位置关系求得的最小值，即可得解.
（3）设点的坐标为，则切线方程为，利用相切关系得关于的二次方程，设过点所作的两条切线的斜率分别为，根据韦达定理得，设点的纵坐标分别为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，同理可得，从而代入化简得.
【详解】（1）方法一：由题意，到直线的距离比点到点的距离小1，
上任意一点到直线的距离等于点到点的距离，
因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的方程为．
方法二：由题意，设点的坐标为，
由题意得，易知点位于直线的右侧，
，化简得，曲线的方程为．
（2）由题意得，的圆心为，半径，
又四边形的面积，
当的值最小时，四边形的面积最小，又的最小值为，
四边形面积的最小值为．
（3）当点在直线上运动时，设点的坐标为．又，
过点且与圆相切的直线的斜率存在且不为0，
每条切线都与有两个交点，则切线方程为，
即，所以，整理得①.
设过点所作的两条切线的斜率分别为，
则是方程①的两个实数根，
．
联立得，③.
设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根，
．
同理可得，⑤.
联立①③⑤三式，得
，
当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304．
115．（25-26高二·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线.
(1)求的方程；
(2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线与轴交于，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得的值，从而得到抛物线方程；
（2）解法一：求得，设，则，直线经过坐标原点得，，在抛物线上得，直线与直线联立方程计算可得，计算即可得证的面积恒为定值；解法二：直线为，直线AE方程为，设直线方程为，点和是直线与抛物线的交点结合韦达定理可得，点在直线上得，点在直线上得，直线与直线联立得，计算可得，计算即可得证的面积恒为定值.
【详解】（1）设直线与轴交于，由几何性质得
因为直线为抛物线的准线，直线为圆的切线，
所以，
在与中，为公共角，
所以，，
即，即，解得：
故抛物线的标准方程为;
（2）解法一：依题意：，则，设，
则，
因为直线经过坐标原点，所以，
又，在抛物线上，，两式作差得，化简得，
因为，所以，
化简可得，即，
联立，得：
，
将代入得，为定值.
故.
解法二：向左平移4个单位后，新抛物线为，
则与轴的交点为，
因为直线经过原点，所以设其方程为，
设直线方程为，设直线方程为，
点和是直线与抛物线的交点，代入中得：
，
设该方程的两根为和，根据韦达定理：①
点在直线上，满足：②
点在直线上，满足：③
联立方程：
由②和③得：，
利用①中的韦达定理结果：，
所以，即点的横坐标恒为，
故.
116．（25-26高三·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积；
(3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，定点为
【分析】（1）根据条件，用表示出点坐标，结合可求的值，得到抛物线的方程.
（2）结合（1）的结论，写出直线的方程，与抛物线方程联立，可得点坐标，利用求的面积.
（3）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，表示，，再设，用表示得：，可得时，为定值.
【详解】（1）由题意得
的中点到轴的距离为，

又点在抛物线上，
，又点在第一象限，即，
，,.
抛物线的方程：.
（2）由（1）可知：，，，
所以直线的斜率为，则直线的方程为
联立抛物线可得，．
又，，那么
所以的面积.
（3）如图：
设，，，
易知直线斜率存在，设直线，
联立，消得：
，
，
由韦达定理得：，，
，
为使得为定值，则需满足与m无关，
故，即，，
综上，存在定点，使得为定值.
117．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于．
(1)求抛物线的方程；
(2)①求直线的斜率的取值范围；
②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②为定值，理由见解析
【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得；
（2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解.
【详解】（1）因为抛物线过点，
所以，从而，故抛物线的方程为．
（2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，
由得，
依题意，解得且．
又直线与轴相交，故直线不过点，从而，
所以直线斜率的取值范围为．
②为定值2．理由如下：
设，直线．
联立直线与抛物线的方程，可得，
根据韦达定理有．则,
故，
直线的方程为，
令，则，同理可得．
由得,得
同理，
则,
所以为定值，定值为2．
118．（2025高三·全国·专题练习）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点，问：是否为定值？
【答案】是定值，理由见解析.
【分析】设出点的坐标，利用在抛物线上一点的切线方程写出直线方程，进而求出直线方程，设出直线并与抛物线方程及直线方程联立，结合韦达定理求解.
【详解】设，
由切线公式得直线，
将点坐标代入直线方程，得，则直线方程为，
设直线的方程为，点，
由消去得，，则，
由得点的横坐标，显然同号，
所以
，
所以为定值2.
119．（2025高三·全国·专题练习）已知是抛物线上一定点，直线与轴正半轴的夹角互补并分别交抛物线于两点，求证：直线的倾斜角为定值．
【答案】证明见解析
【分析】联立直线与抛物线方程，可求解的坐标，进而根据两点斜率公式即可化简求解.
【详解】如图，设，，，
把直线方程代入曲线方程，得．
所以,所以．
所以，
所以．
由已知得，
同理可得．，
所以，
所以为定值，
即直线的倾斜角为定值．
120．（2025高二·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为．
(1)求C的方程；
(2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值2．
【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程；
（2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值.
【详解】（1）由已知得，则线段的中点为，
由题意得该中点在直线l：上，
所以，解得，
所以C的方程为．
（2）设直线PQ的方程为，且，.
联立方程组，整理得.
可得，且，，则．
又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标，
又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得：
，
所以为定值2．
考点20 抛物线的定直线问题
121．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且.
(1)求抛物线的方程.
(2)证明：直线过定点.
(3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线；
（2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论.
（3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论.
【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为.
（2）由（1）可知点的坐标，设，
则.
由，得，所以，
.
.所以直线的方程为，
即，整理得.
又，
从而直线的方程为，化简得，
因此直线过定点.
（3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为.由消去.
得.则.
因为.所以.
即，
当时，，化简得，
与直线的斜率不为0矛盾，不合题意；
当时，化简得，
.
即.又.
可得，所以，即，
所以点在直线上.
122．（2025高三·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求四边形面积的最小值；
(3)证明：直线与直线的交点在定直线上.
【答案】(1)；
(2)32；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据焦点可得，即可求得抛物线方程；
（2）由题意可设，联立抛物线应用韦达定理及弦长公式得、，再由及基本不等式求最值；
（3）设，结合（2）韦达公式，写出直线、的方程，再求出交点横坐标，即可证.
【详解】（1）由焦点为，即，所以抛物线的标准方程；
（2）当直线的斜率为0时，不符合题意，
当直线的斜率不为0时，设直线，
联立，可得，恒成立，
设，，
所以，同理，
则四边形的面积为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形面积的最小值为32；
（3）设，
由（2）知，同理，
直线的方程为，化简得直线的方程为①，
同理直线的方程为②，
联立①②得，
，
，
，
，
，故直线与直线的交点在定直线上.
123．（2025高三·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点.
(1)求抛物线的方程；
(2)证明：点在定直线上
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程.
（2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）设，直线的方程为，由，求导得，
抛物线在处的切线方程为，即，
依题意，直线过，则，
同理在处的切线过，则，
显然点在上，即直线与是同一直线，
因此，则，所以点在定直线上.
124．（2025高二·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
(1)直线AB是否过定点？请说明理由；
(2)证明：点H在直线上．
【答案】(1)过定点，理由见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标；
（2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可.
【详解】（1）抛物线Ω：的焦点，
互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0，
设直线的斜率为，则直线，设，
由，消去并整理得，，
，，弦MN的中点，
由垂直的条件，可将换为，设，
同理得，，有，
当或时，直线的方程为，
当且时，直线的斜率为，方程为，
即，当时，恒有，
所以直线过定点，其坐标为.
（2）直线的斜率，同理得直线的斜率，
此时直线的方程为，即，
同理，直线的方程为，即，整理得，
由，消去解得，
所以直线ME与直线NP的交点在直线上.
125．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上．
【答案】证明见解析
【分析】设直线的方程，然后与抛物线联立方程组，消元，然后根据韦达定理即可求解.
【详解】证明：法一（常规证法）
由题意，设点，，，．
直线的方程为，直线的方程为．
由得，
∵恒成立，由韦达定理得，，
同理有，，
∴，
∴①
同理可得
∵，∴，同理∵，∴，
∴，
即②
联立①②得
整理得
化简得，即点在直线上．
法二（参数方程）．
设，，，，（，），
则，
∴，
同理可得，
∵，且，，
∴
化简得，同理可得．
由整理得
即，∴点在直线上．
【点睛】本题考查了抛物线中的定直线问题，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
126．（2025高二·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为．
①证明：点在定直线上；
②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）根据抛物线的定义，把到的距离与到点的距离之和的最小值转化为到准线的距离为和到点的距离之和的最小值，在根据平面几何即可得出答案；
（2）①设，计算出直线的方程和直线的方程，然后联立并根据韦达定理即可证明；②计算出，再根据基本不等式求解.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为．
由抛物线的定义，得，解得，
当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为．
（2）①设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立消去整理得，
所以，同理可得，
所以直线的方程为，
即，同理直线的方程为．
联立，得，即，
即，即，
所以，即点在直线上．
②由题意可知，的斜率存在且均不为0，
因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为，
由①知，．所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，又易知，
所以的取值范围为
考点21 抛物线的综合问题
127．【多选】（25-26高三·重庆·阶段练习）已知抛物线，点、、为抛物线上三点，且的重心为抛物线的焦点，记直线的斜率分别为.若，则（ ）
A．
B．的三个顶点到轴的距离之和为3
C．若点坐标为，则
D．当点的横坐标为4时，
【答案】ACD
【分析】A选项，设，根据重心得到方程，求出，，由焦半径公式和得到方程，求出；B选项，，B错误；C选项，表达出，，，从而；D选项，求出，又，故，所以，求出，故，且，根据弦长公式得到，D正确.
【详解】A选项，设，显然，，，
的重心为，故，，
故，，
由焦半径公式可得，，，
故，
又，则，解得或0（舍去），A正确；
B选项，，故的三个顶点到轴的距离之和为6，B错误；
C选项，抛物线方程为，故，
故，同理可得，，
所以，C正确；
D选项，因为，点的横坐标为4，所以，
又，故，所以，
平方可得，故，
故，且，
所以，D正确.

故选：ACD
128．【多选】（25-26高三·云南玉溪·阶段练习）在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于
【答案】AD
【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，将直线与抛物线方程联立求出、的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.
【详解】对于A，由题意得开口向右的抛物线方程为，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，
则其方程为，故A选项正确；
对于B，由得或，即，所以，
由对称性得，，所以，故B不正确；
对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、，

由得，
由得，
所以，，
所以，
由图知直线经过点时取最大值，经过点时取最小值，
即在第一象限部分满足，
设，则，故，
代入得，
当时，取最大值，故C不正确；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，
所以可以先求部分面积的近似值，
如图，

在（）取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为，
因为，所以点到直线的距离，
所以，
由图知半个花瓣的面积必大于，
所以阴影区域的面积大于，故D正确.
故选：AD.
129．【多选】（2025·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（ ）
A．准线的方程为
B．点到的距离为2
C．是等边三角形
D．直线的斜率为1
【答案】BC
【分析】根据抛物线方程，可得准线方程，即可判断A、B的正误；根据的长，结合焦半径公式，可得P点坐标，可得的长，根据抛物线定义，可判断C的正误；根据是等边三角形，即可求得直线的倾斜角，即可判断D的正误.
【详解】由题意，准线的方程为，点到的距离为2，故错误，B正确．
因为，所以点的横坐标为3，
由，得，即，
记与轴交于点，则，
所以，
所以，所以是等边三角形，故C正确．
由C选项得：，
所以，直线的斜率为，故D错误．
故选：BC
130．【多选】（25-26高三·广东湛江·阶段练习）设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（ ）
A．l始终与圆P相离B．无最值
C．存在点P，使得D．时，P到l的距离为3
【答案】AB
【分析】对于A，利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即得；对于B，先求出的取值范围，再根据等面积求出的表达式，推得，即可判断；对于C，通过计算的斜率，利用，可判断不重合，排除该项；对于D，通过反向思考，由结论作为条件，推出矛盾，从而排除D项.
【详解】
对于A，因抛物线的准线，则，解得，故．
设，则，那么P到l的距离为，即l与圆相离，故A正确；
对于B，设点，则，
因，则四边形AMPN的面积为，
可得，故B正确；
对于C，因为，AP的斜率为，而OP的斜率为，
两者相等当且仅当，而这与题意矛盾，所以与不可能垂直，故C错误；
对于D，运用反向思考，若点P到l的距离为3，则易得，由对称性，不妨取，
则，由已知，且，可得O，M，P三点共线，
由，可得，
此时PM斜率为，而AM的斜率为，
此时，，即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故D错误．
故选：AB．
131．【多选】（25-26高三·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则（ ）
A．
B．一定为钝角
C．直线的斜率最大值为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】由抛物线方程，求出焦点坐标，代入直线方程，可得p值，即可判断A的正误；将AB直线与抛物线联立，结合韦达定理可得表达式，进而可得表达式，根据数量积公式，可得，分析即可判断B的正误；先求出AB中点Q的坐标，即可得直线的斜率的表达式，根据基本不等式，即可判断C的正误；根据抛物线定义及两点间距离公式，分别求出和的表达式，分析计算，即可判断D的正误.
【详解】A：抛物线的焦点坐标为，
因为直线过焦点，
所以，解得，故A正确；
B：由（1）得，抛物线，设，
联立，得，
，，
则，
所以，
所以，
因为，所以一定为钝角，故B正确；
C：AB中点Q的纵坐标，横坐标，
所以直线OQ的斜率，
当时，，
当时，，此时直线的斜率存在最大值（为负值），
因为时，，
当且仅当，即时取等号，
所以，即直线的斜率最大值为，故C错误；
D：由抛物线定义可得
，
因为AB中点，直线AB斜率为，
所以AB中垂线斜率为，则AB中垂线方程为，
令，解得，即，
所以，
若，则，故D正确.
故选：ABD
132．（25-26高二·江苏南京·期中）如图，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点.
(1)求曲线和所在的椭圆和抛物线的方程；
(2)过点作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线和依次交于四点.
①求面积的取值范围.
②若是的中点，为的中点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)①；②是定值，定值为
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标、椭圆上的点坐标可直接求得结果；
（2）①将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，由，结合韦达定理和的范围可求得的取值范围；
②将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，将所求比值转化为，代入韦达定理可整理得到定值.
【详解】（1）设所在抛物线方程为：，
为抛物线的焦点，，解得：，
所在的抛物线方程为：；
设所在椭圆方程为：，
代入点得：，解得：（舍）或，
所在椭圆方程为：.
（2）
①设直线方程为，
直线与曲线分别交于四点，，
；
由得：，
设，则，，
，
，，
即面积的取值范围为；
②设，
由得：，
则，，
，
，
为定值.
抛物线定义的应用规律
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
（1）抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，（2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，
（3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
(3)注意隐含条件的应用，如y2＝2px(p>0)中的x≥0.
求轨迹问题的两种方法
（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程；
（2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．
抛物线的实际应用总结：抛物线在工程设计、物理运动轨迹分析、光学设计、建筑设计及桥梁工程等领域有广泛应用。例如，卫星天线、探照灯、拱桥及投篮路径等均可视为抛物线应用实例，体现了其重要的实用价值。
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.
将向量条件转化为坐标关系，设抛物线上点坐标（参数式或直角坐标），代入向量垂直、平行、数量积等条件，建立方程。结合抛物线方程消元，求解参数或证明结论，注意向量运算与代数运算的转化。
圆锥曲线中的证明问题，是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等)．
抛物线中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法.
求解直线或曲线过定点问题的常用方法
（1）“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明.
（2）“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
（3）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0) ，则直线必过定点(x0,y0) ；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
定值问题的两种求解方法
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
设直线方程（分斜率存在、不存在两类），与抛物线方程联立，利用韦达定理表示根与系数关系。结合题干定点、定值条件化简，消去参数得到直线方程，确保直线对任意参数均成立。
解抛物线综合题，核心是抓定义、方程、性质三大关键点。先根据条件确定抛物线方程形式，活用定义转化距离问题；联立直线与抛物线方程，用韦达定理处理交点关系；关注参数范围、最值、定点定值等核心考点，结合数形结合简化运算，优先规避复杂计算，聚焦逻辑转化与公式应用。