2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题02椭圆及其应用(题型清单)(学生版+解析)

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题型1 对椭圆定义的理解及应用
1．（24-25高三上·云南昭通·月考）已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【解析】由椭圆的标准方程可得，由椭圆的定义可得.故选：D
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【解析】依题意，，故，故，
在中，，且，故为等边三角形，
故，得，则.故选：D.
3．（24-25高三上·湖南·月考）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且，椭圆的离心率为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接，由题意知，，，
∴，
∴点为椭圆的上（下）顶点，
∴直线的斜率的绝对值．故选：A
4．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·月考）已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，是上位于轴上方的一点，的延长线分别交于点，且，，则（ ）
A．8B．4C．2D．
【答案】D
【解析】设的半焦距为，左焦点为，连接．
因为点与点关于原点对称，且，所以四边形是矩形．
设，则．
又，所以，，．
在中，，即，
整理，得，解得或（舍去），所以是的上顶点．
由，得，解得．故选：D．
题型2 椭圆的焦点三角形问题
5．（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】B
【解析】由椭圆，得，
过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点，
所以为线段的垂直平分线，得，
则的周长为.故选：B.
6．（25-26高三上·江苏·月考）椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于椭圆，根据椭圆的标准方程，
其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且
可得，则,，所以
已知椭圆的左顶点，右焦点
根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，
且（为椭圆的左焦点）
椭圆的左焦点,则,即
的周长,其中
所以
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得
,即
所以,
又因为当共线时，
此时或，所以，D正确.答选：D
7．（2024·全国·模拟预测）已知点分别为椭圆的左顶点、右焦点，点为上一点，且为的平分线，，则的内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，则．
如图．由角平分线定理，得．
令，则．
在中，由余弦定理，得，
即，解得（负值已舍去），则．
设的内切圆的半径为．根据三角形的面积公式有
，
所以，解得．故选：D．
8．（25-26高三上·上海·月考）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足， .
【答案】
【解析】由椭圆可知，，
所以，，
又，，解得，
所以，
所以，即.
题型3 椭圆中距离和差的最值问题
9．（24-25高三上·四川广安·月考）已知动点P在椭圆上，，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．1
【答案】D
【解析】由题设是椭圆的右焦点，令是椭圆的左焦点，
由，即在椭圆外，又，
所以，则，
所以最小，只需最小，
由图知，，
当且仅当三点共线且在之间取等号，
所以的最小值为1.故选：D
10．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．6
【答案】B
【解析】由椭圆得，
因为点为椭圆上的点，则，
直线经过定点，
则，
当且仅当在线段上时取等号，
所以的最大值为2.故选：B.
11．（24-25高三上·山东威海·一模）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由圆方程得：圆心，半径；
由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则，
由椭圆定义知：，；
（当且仅当三点共线时取等号），
，
又（当且仅当三点共线时取等号），
，
即的最大值为.故选：D.
12．（2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．9D．8
【答案】A
【解析】易知椭圆中，即可得，
又圆的圆心为，半径，
易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：
易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为，
因此可将的最小值转化为求的最小值，
由椭圆定义可得；
此时点在处，使得的最小值为6.故选：A
题型4 椭圆的标准方程性质与求解
13．（25-26高三上·湖北武汉·月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】椭圆方程，
上式表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，故选：D.
14．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由的周长为，由椭圆的定义得，解得，
所以，，设，则，可得，
则，解得，
所以椭圆C的方程，故选：A.
15．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，是上一点且位于轴右侧，直线的斜率为2，是面积为4的直角三角形，则的标准方程是（ ）
A．B．C．.D．
【答案】B
【解析】方法一：由题意知，，如图，
设，则，
因为的面积为4，所以，
所以，所以，，.
设椭圆的方程为，焦距为，
则，，所以，，
所以椭圆的标准方程是.
方法二：由题意知，
设椭圆的标准方程是，焦距为，
由焦点三角形的面积公式得，即.
设直线的倾斜角为，则，
所以，
因此，即，得，
所以椭圆的标准方程是.故选：B
16．（25-26高三上·广东东莞·月考）过点且与双曲线有相同的焦点的椭圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】因为双曲线的焦点坐标为.
设椭圆方程为，
则：.
所以所求椭圆的标准方程为：.
题型5 与椭圆有关的轨迹问题
17．（2025·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设依题意有，即，
所以，即，所以，故选：D.
18．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
由题知，又，则，
所以点在以，为焦点，的椭圆上，
由，得，所以点的轨迹方程为，故选：B.
19．（25-26高三上·湖南·开学考试）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线的一支上
C．抛物线上D．圆上
【答案】A
【解析】设动圆的圆心为，半径为，圆，圆，
则，.
又，所以点在以为焦点的椭圆上．故选：A．
20．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知圆，，动圆与圆相内切，与圆相外切，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设圆的半径为，根据题意得：，，
所以，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
设其方程为，其中，，
，，则，
所以点的轨迹方程为，故选：B
题型6 求椭圆离心率的值或取值范围
21．（25-26高三上·湖南湘西·月考）以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设的半焦距为，
由的左、右焦点与上、下顶点连线围成的四边形是正方形，得，
由椭圆的定义得，，
所以椭圆的离心率．故选：B
22．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】连接，设，，则，
因为，所以，
在中，，所以，
化简得，则，，
在中，，
所以，即，所以离心率.故选：D
23．（24-25高三上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆的焦点在轴上，，
直线，与椭圆都相切，
，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，
为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，
点在圆外，又动点在直线上，
直线与圆相离，，解得：，
又，；
椭圆离心率，，.故选：B.
24．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，
的中点为，由，
得，
而，
故，即，
整理得，
因为的任意性，此不等式恒成立，
故，即，解得.
故椭圆的离心率的取值范围为.故选：C.
题型7 直线与椭圆的位置关系
25．（2025·广东·模拟预测）椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨设，，
则直线的斜率
将与联立，得，即，
由韦达定理得，所以，
又，所以，故选：D.
26．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由离心率 ，得 ，结合 ，解得 .
将点代入椭圆方程，得 ，解得 ，故椭圆方程为 .
设，则切线的方程为 .
当时，即，此时直线方程为，满足，
当时，即，此时直线方程为，满足
当，时，得斜率关系 ，则不满足，
结合选项，正确答案为.故选：A
27．（2025·宁夏吴忠·二模）椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】方法一：切线法，设直线与直线的距离为，
将代入，得关于的方程，
所以，解得，
当时，，即所求最小值．
方法二：参数法 设椭圆上任意一点为，，
则点到直线的距离，
当，即时，.
28．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意可得， 则，
得椭圆方程为.
（2）根据题意，联立，消去得，
，得 即.
题型8 椭圆的中点弦问题
29．（24-25高三上·青海西宁·月考）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，
可得.
由，两式相减得，
整理得，可得，
即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为.故选：C.
30．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 .
【答案】
【解析】设，又因为，
所以，则，则，
由，两式相减得，
即，因为，所以，所以，
，所以，解得，
所以，所以椭圆的焦距为.
31．（2025·浙江·二模）已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】设直线为，，
若，此时均与原点重合，，但，故不合要求，
所以，
与联立得，
，解得，
设，则，故，
中，令得，故，令得，故，
的中点坐标为，
是线段的三等分点，故线段的中点为线段的中点，
故，解得，负值舍去.
32．（25-26高三上·上海·月考）设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】设，，则，，
所以，也即，
因为，的中点为，所以，，
所以，所以，
所以直线的斜率为，经检验满足题意．
题型9 直线与椭圆相交弦长问题
33．（2025·湖南·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，∴，即，
，∴，
联立方程组得，整理得，
设，，∴，，
.故选：A.
34．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍．
(1)求的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即，
且，
，解得，
，，
椭圆的方程为.
（2）由题意，直线的斜率，其方程为，
联立可得，
设，
根据韦达定理，则有，
.
所以.
35．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得，
解得，，所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为.
设，，
由，得，
所以，，由得.
由，
得，满足，所以，，
所以.
36．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知椭圆的离心率为，经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题知，由，则，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在，
设的方程为，
由消去得，，
因为为的中点，所以，解得，
从而，的方程为，
所以，
而，所以点到直线的距离，
所以的面积．
题型10 椭圆中的定点问题
37．（25-26高三上·天津红桥·期中）已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，
所以，解得，又因为椭圆的离心率为，所以，解得，
故，则椭圆的标准方程为；
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，①
设点，则，直线的方程为，
令得，
将代入整理得，②
由①得，
代入②整理得，
所以直线与轴相交于定点．
38．（25-26高三上·北京·开学考试）已知椭圆，其中，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程及上顶点的坐标；
(2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)，；(2)证明见解析.
【解析】（1）由题意可得，解得.
所以椭圆方程为.
上顶点的坐标为；
（2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0，
设，
联立方程，消去得：
，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
所以线段的中点是定点.
39．（2025·河北保定·三模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为．
由已知，，即，
又，所以，
由，可得，所以，
因为的焦点在轴上，所以的标准方程是．
（2）证明：由（1）知，
设，
将两边平方，
化简得，
所以，
即，
即．
①当直线垂直于轴时，且，
故，解得或（舍去），
此时过点；
②当直线的斜率存在时，设，
联立方程，
得，
由，
得，且，
由，
得，
即．
将代入上式，
得，即，
所以，所以或，
当时，直线过点，不符合题意，
所以，
所以直线的方程为，
此时过点．
综上可知直线过定点．
40．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点.
（i）当直线的斜率为1时，求的周长；
（ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点.
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）
【解析】（1）依题意可得，则，因为焦点，则，
所以椭圆方程为.
（2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为，
与椭圆方程联立，解得，
不妨设点，，
则，
设椭圆的左焦点为，
由椭圆的性质可得，
所以的周长为，
又，
所以的周长为，
所以当直线的斜率为1时，求的周长为.
（ii）依题意可设直线，
与椭圆方程联立可得，整理可得，
设，
则，
设直线，与椭圆方程联立可得，
整理可得，
设，
则，
又，所以，
同理可得，
由题意与关于原点对称，所以，
即，
整理可得，
即，
，
将代入上式可得，
又不恒为，故，
所以直线恒过点.
题型11 椭圆中的定值问题
41．（25-26高三上·湖北·期中）已知椭圆：过点，长轴长为4
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，.证明：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可得，，，
故，，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：由已知直线过点，且交椭圆于，两点，所以直线的斜率存在，
当直线的斜率为0时，：，此时，两点坐标为，，
则
当直线的斜率不为0时，由已知设直线：，点，，
联立直线与椭圆的方程，
整理得，则，即，
解得或，且，，
所以
．
综上，为定值，且．
42．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程.
(2)已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值.
【答案】(1)+=1；(2)证明见解析
【解析】（1）设动点P的坐标为，
因为动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，
所以，
两边同时平方可得，
，
，即.
所以轨迹C的方程为.
（2）证明：设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，如下图：

由题知，，
因为，
所以，即，
利用对称性，同理可得，
于是.
因为，所以，
所以===，
所以，
同理可得，
所以
（定值）.
43．（2025·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题可知，解得，
故椭圆C的标准方程是
（2）设，依题可设直线方程为，
由，消去可得：，
故
于是，，
故
，
故为定值.
44．（2025·重庆·模拟预测） 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点为椭圆的左、右顶点，的周长为，记动点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作椭圆的切线交曲线于、两点（含情况），记、的面积分别为、，求的值.
【答案】(1)；(2)1.
【解析】（1）令，且， 可得，
所以，又的周长为，且不在轴上，
所以，可得，
所以动点的轨迹为长轴长为，焦距为4，则；
（2）设直线，，联立，
整理得，
由，可得，
所以，可得，则，
联立，可得，可得，
所以，从而为的中点，则.
题型12 椭圆中的最值与范围问题
45．（25-26高三上·广东·月考）已知的周长为12，顶点的坐标分别为为动点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过原点作两条关于轴对称的直线（不与坐标轴重合），使它们分别与曲线交于两点，求这四点所对应的四边形的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由题意知，
所以的轨迹为椭圆的一部分，且，所以.
故曲线的方程为
（2）设两直线的方程为与，
记与曲线在第一象限内的交点为，
由，可得，
结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，
且其面积，
因为，所以（当且仅当时取等号），
故四边形面积的最大值为.
46．（25-26高三上·天津·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为左焦点为，所以，
由点在椭圆上，
代入可得，
又，与上式联立可得，
所以椭圆E的方程为：
（2）当直线l的斜率为0时，线段的垂直平分线为x=0，与不相交，不符合题意，
故直线l的斜率不为0，设其方程为，，
联立，可得，
，
，
则
=.
又，，
由可得，直线PQ的斜率为，
所以，
所以，
令，则，所以
代入上式可得，，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最小值为
47．（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设椭圆的左焦点为，连接，
由对称性知四边形是平行四边形，所以，．
由椭圆定义知，则，．
设椭圆的半焦距为，由椭圆的几何性质知，，则，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）椭圆的标准方程为．则，
所以直线，
如图所示，
设，
联立，消去并整理得，．．．
所以，所以，．．
所以，．
同理可得：，所以，
所以，
由，得，
整理得，得，．
又，所以，所以或．
所以的取值范围为．
48．（25-26高三上·云南·月考）已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，过点的直线交于两点，当与轴垂直时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率存在且不为，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由题意知，半焦距，
当与轴垂直时，设点在轴的上方，
将代入方程得，，
所以，
则，
解得或（舍），
所以，
故椭圆的方程为.
（2）如图：
设直线的方程为，
与联立得，
，
设点，，的中点为，
由根与系数的关系可得，，，
所以，.
直线的垂直平分线的方程为，
令，则，
因为，所以，
即点横坐标的取值范围是.
题型13 椭圆中的证明问题
49．（25-26高三上·重庆·开学考试）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于，的点，证明：点在以为直径的圆内．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，，解得，
故椭圆的方程为.
（2）
如图，设，由题意，，
则直线的方程为，代入，整理得：，
则，即，，故，
直线的方程为，代入，整理得：，
则，即，，故，
于是，
，
因，故可得，
即为钝角，因圆的直径所对的圆周角为直角，故点在以为直径的圆内.
50．（25-26高三上·浙江·月考）已知是曲线与轴的交点，点，在曲线上，且点异于点，直线与相交于点，直线与相交于点．
(1)若点的坐标为，求曲线的焦点坐标；
(2)若为坐标原点，直线与相交于点，直线与相交于点．求证：，，成等比数列．
【答案】(1)与；(2)证明见解析
【解析】（1）将点的坐标代入曲线方程得，
得，
故，
因此曲线的焦点坐标为与．

（2）设点，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，
同理，，
．
因此，．
另一方面，，得．
．
因此，即成等比数列．
51．（2025·河北邯郸·一模）已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围；
(3)过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）依题意可得解得，所以的方程为.
（2）由题意可知，直线的方程可设为，设，
联立整理得，
因为恰好被轴平分，即，
易知直线的斜率与直线的斜率存在且，
即，
整理得，即，即.
因为，所以时符合题意，即直线经过定点（1，0），
所以的面积，
当且仅当时，即时，等号成立，
因为，所以面积的取值范围是.
（3）证明：依题意，根据对称性，不妨设在轴上方，
于是可化为，则，
设直线的方程为，
则在两点处的切线分别为，
整理可得在两点处的切线分别为.
设，则，
所以两点均在直线上，即直线的方程为.
又直线的方程为，即，所以，即，
则，
又，
联立两式作差可得，
即，即，即，
所以，所以三点共线.
52．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求的方程；
(2)设为的右顶点，点，直线与的交点分别为，，直线与的另一交点为．
（i）求点的横坐标（用表示）；
（ii）证明：．
【答案】(1)；(2)（i）（ii）证明见解析
【解析】（1）已知椭圆的离心率，短轴长，则，.
根据椭圆的性质可知，
所以，
所以，椭圆的方程为：.
（2）
（i）如上图所示，直线通过点和点，斜率，
则直线方程为.
联立椭圆方程得：
已知为方程一个根（点），设另一个根为，由韦达定理得：
（ii）直线的方程为，代入椭圆方程得，设，
则，
根据两点间距离公式，
所以.
设，由（i）知，，
根据两点间距离公式：
，
所以，命题得证.
题型14 椭圆中的探究性问题
53．（2025·全国·模拟预测）已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线，的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)判断上是否存在点，使得为等腰直角三角形，如果存在，求出点坐标.反之说明理由.
【答案】(1)；(2)不存在点，理由见解析
【解析】（1）由题知，设，则，，且，
，且，
，且，
的方程为.
（2）由题意知，
在中不可能为直角.
不妨设是以为直角顶点的等腰直角三角形.
，，.
则直线的方程为，即，
由（1）知的方程为，
由，解得.
，假设不成立.
同理不存在以为直角顶点的等腰直角三角形.
所以上不存在点，使得为等腰直角三角形.
54．（25-26高三上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，
【解析】（1）设圆的半径为，圆的半径为，，圆的半径为，
因为：，：
所以，，，，
所以，所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆，，
故轨迹的方程为；
（2）设直线的方程为，，
代入，得，恒成立，
设，，线段的中点为，
则，，
由，得，
所以直线的方程为，
令，点横坐标，
因为，所以，所以，
所以线段上存在点，使得，其中。
55．（25-26高三上·江西吉安·月考）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)（ⅰ）求的面积的最大值；
（ⅱ）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，点的坐标为
【解析】（1）因为点与关于原点对称，所以点的坐标为.
设点的坐标为，由题意得，
化简得.
又因为直线与的斜率存在，所以.故动点的轨迹方程为.
（2）（i）因为直线的方程为，设平行于的直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程得消去得，
当时，即时，直线与椭圆相切，此时的切点满足的面积最大，
所以，故的面积的最大值为.
（ii）若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为，
则.
因为，所以，
所以，即，解得，
因为，所以，
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
56．（25-26高三上·海南·月考）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点．
①若P，Q中点的横坐标为，求m的值；
②已知点，直线DP，DQ与直线分别交于点 M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形DMHN为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)①；②存在，.
【解析】（1）由椭圆C：的短轴长为，得，
由椭圆的的离心率为，得，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）①设，，由，得，
由，得，，，
设中点坐标为，则，
因为在直线上，所以，即
所以，解得；
②存在点使得四边形为平行四边形，
由在椭圆上，得，，设直线的方程为，
令，得，同理，
又由①知，
则
，
因此线段的中点坐标为，连接，则线段的中点坐标也为，
由，得，所以点H的坐标为.
1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；
2、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
椭圆的焦点三角形的求解思路：
（1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法；
（2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等．
椭圆中“距离和的最值”主要分为“椭圆上一点到两定点的距离和”和“椭圆内一点到椭圆上一点与焦点的距离和”，核心解法“利用椭圆定义转化为两点间距离”（几何法），避免代数硬算．
椭圆中“距离差的最值”主要是“椭圆上一点到两个定点的距离差”和“椭圆上一点到两焦点的距离差”，核心解法是“三角形三边关系”（几何法），注意椭圆的封闭性导致距离差的范围有限制．
（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
= 1 \* GB3 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上；
= 2 \* GB3 ②定量：依据条件及确定的值；
= 3 \* GB3 ③写出标准方程．
（2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；
（3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数．
与椭圆有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足椭圆定义或符合椭圆方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配椭圆的定义．
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系．
1、通过联立直线与椭圆的方程，将几何位置关系转化为方程解的个数问题．
（1）求解步骤：先明确直线与椭圆的方程，再联立方程消元得到一元二次方程，最后通过判别式判断；
（2）特殊情况：若直线过定点，可先判断定点的位置．
2、根据直线与椭圆的位置关系求参数范围
将“位置关系”转化为“代数条件”（如判别式符号、交点坐标特征、切线公式约束等），再通过解方程或不等式求解参数范围．
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有．
3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则．
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．