2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题04立体几何动点、轨迹与截面培优归类(16题型)(学生版+解析)

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题型1 动点轨迹：空间球基础
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知边长为的正方体，点为内一个动点，且满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
题型2 动点轨迹：空间阿球
1．（22-23高三下·重庆·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点P的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．将“阿氏圆”以AB所在直线为轴旋转一周即可得“阿氏球”．即空间一动点到空间内两定点的距离之比为定值的点的轨迹为球，称之为阿波罗尼斯球．设M，N是球C（C为球心）球面上两定点，球半径为3且．（1）空间中一动点P满足，可知点P的轨迹为阿氏球，则该球的表面积为 ；（2）若球C表面上一动点Q满足，则点Q的轨迹长度为 ．
2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）动点在棱长为3的正方体侧面上，满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·安徽铜陵·三模）已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．

题型3 动点定角轨迹：异面直线角度轨迹型
1．（23-24高三浙江阶段练习）在三棱锥中，，点为
所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
2．（23-24高二下·浙江·开学考试）在正方体中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是内的动点（不包括边界），记直线与MN所成角为，若的最小值为，则点P的轨迹是（ ）

A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．抛物线的一部分D．双曲线的一部分
3．（2020·浙江·模拟预测）已知正方体，P是平面上的动点，M是线段的中点，满足PM与所成的角为，则动点P的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
4．（21-22高三上·云南玉溪·阶段练习）正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线
题型4 动点定角轨迹：线面角型
1．（24-25高二上·天津·期中）在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二上·湖北·期中）在四棱锥中，平面ABCD，PA＝3，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为，记点M的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．6
题型5 动点定角轨迹：二面角型
1．（21-22高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山西临汾·二模）在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（ ）
A．B．3C．D．

题型6 动点定角轨迹：两角相等型
1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）点在正方体的底面所在平面上，是的中点，且，则点的轨迹是
A．圆B．直线C．椭圆D．圆的一部分
2．（24-25高二上·山西运城·阶段练习）如图,所在的平面和四边形所在的平面垂直,且,,,,,,则点P在平面内的轨迹是
A．圆的一部分B．一条直线C．一条线段D．两条直线
3．（2020高三·上海·专题练习）四棱锥，平面，平面，底面为梯形，，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是（ ）．
A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分
4．（20-21高三上·安徽六安·阶段练习）在长方体中，，，为棱的中点，动点在面内，满足，则点的轨迹与长方体的面交线长等于（ ）
A．B．C．D．
题型7 动点轨迹：恒平行型
1．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·重庆·期末）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（ ）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）

A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是
B．保持与垂直时，点的轨迹长度为
C．若保持，则的轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面为直角梯形
题型8 动点轨迹：恒垂直型
1．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·北京·期中）光导纤维作为光的传输工具，在现代通讯中有着及其重要的作用，光纤由内部纤芯和外部包层组成（如图1），在一定的条件下，光在纤芯中传输，传输原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”（如图2），在图3中近似的展示了一束光线在一段较长的圆柱形光纤中的传输路径，其中圆面是与光纤轴垂直的纤芯截面，若与圆所在平面成角的大小为，则光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）如图，在圆柱中过作与轴截面垂直的一个平面，所得截面图形为椭圆，将圆柱侧面沿母线展开，该椭圆曲线在展开图中恰好为函数一个周期的图象，则该截面椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．

题型9 截面基础思维
1．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（1）（5）
3．（21-22高一下·云南保山·期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥圆柱B．圆柱球体C．圆锥球体D．圆柱圆锥球体
4．（22-23高一·全国·阶段练习）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A．B．C．D．
题型10 截面周长计算
1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，则（ ）
A．为定值，为定值B．为定值，不为定值
C．不为定值，不为定值D．不为定值，为定值
2．（2025·全国·模拟预测）正方体的棱长为4，点M在棱上，平面ACM把正方体分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM截正方体所得的截面周长为（ ）
A．B．C．D．15
3．（23-24高一下·四川广安·期中）如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·福建三明·模拟预测）已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6B．10C．D．
题型11 截面面积计算
1．（24-25高一下·重庆南岸·期中）在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三下·湖北武汉·期中）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（ ）．
A．B．C．D．
3．（21-22高三上·全国·阶段练习）已知棱长为的正四面体，，，分别是棱，，的中点，则正四面体的外接球被三角形所在的平面截得的截面面积是（ ）
A．B．C．D．
4．（21-22高三上·河南新乡·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．

题型12 截面最值型
1．（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，则与平面平行的平面截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知四面体ABCD为正四面体，AB=4，E，F分别是AD，BC中点.若用一个与EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）
A．B．2C．3D．4
题型13 恒平行型截面最值
1．（23-24高三上·四川成都·期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是矩形，D是棱CC1的中点，CC1=AC=4， ，AB=3，， 过点D作平面平面，则平面截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高一下·河南洛阳·期中）在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（ ）
A．三角形B．五边形C．平行四边形D．等腰梯形
3．（20-21高三下·安徽·开学考试）已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为（ ）
A．B．1C．D．
4．（20-21高三·云南·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．不存在点，使得平面
B．三棱锥的体积为定值
C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
题型14 恒垂直型截面最值
1．（2023·河南·模拟预测）已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，D是的中点，点P是线段上的动点，过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高一下·湖北武汉·期末）已知正方体，的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，平面，下列说法正确的是（ ）
A．若点为中点，当最小时，
B．当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大
C．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
D．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为
4．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．

题型15 动点折线型最值
1．（2023·四川成都·一模）如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为.其中真命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．③④
2．（22-23高三上·贵州贵阳·阶段练习）在正方体中，棱长为4，为的中点，点在平面内运动，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．10
3．（21-22高一下·安徽池州·期末）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．5
4．（19-20高一·浙江杭州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，N为线段的中点，若点P，M分别为线段，上的动点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
题型16 动点“将军饮马型”最值
1．（2020·安徽·二模）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
2．（20-21高三下·河南·阶段练习）如图，在长方体中，棱长，，点为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·江西抚州·模拟预测）如图，长方体中，，点为线段的中点，，，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．2
4．（22-23高三上·广东·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，．，为线段的中点，，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
结束
在此处键入公式。
空间球：到定点距离为定值的点的轨迹
用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。且满足勾股数组
阿波罗尼斯球：
空间一动点到空间内两定点的距离之比为定值的点的轨迹为球，称之为阿波罗尼斯球。
空间角度定值，可转化为圆锥曲线母线与轴的关系。角度定值，即圆锥曲线侧面（母线集合）与平面交点
线面角：
线面角定角定值，则可以转化为线与面的垂线（法向量）成定角定值， 可转化为圆锥曲线母线与轴的关系。角度定值，即圆锥曲线侧面（母线集合）与平面交点
两角相等型：
两角相等，可以转化为三角函数正余弦或者正切型，利用三角函数值对应的线段比，转怀伟线段比相等或者比值为定值，则复合阿波罗尼斯圆。
动点所形成直线与平面恒平行，则可以转化为“动点所在的平面与平面平行”
动点所形成直线与平面恒垂直，则可以转化为“动点所在的平面与平面垂直”。
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥， 球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清 楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。。
一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法：
1.是利用平行关系找交线，
2.是利用共面直线延长相交得交点.
截面周长：
截面周长求解，可以借助侧边展开，展开到一个平面，转化为点到点（线）的对应距离。
截面面积计算，可以拆分为三角形或者四边形等容易计算的图形进行计算。关键是要通过平行和垂直找到对应图形的底和高。
求截面最值思维
可以设变量，建立函数模型求最值问题：
1.设元
2.建立二次函数模型
3.计算求解最值。
可以结合图形的特殊性，利用极限思想，以及“特殊值必在特殊位置”猜想法求最值问题：
要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；
如果是线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题
恒垂直型截面，可以借助投影解决，投影型，需要利用”三垂线定理及其逆定理“这个性质转化寻找。
三垂线定理指的是平面内的一条 "%E7%9B%B4%E7%BA%BF/4876?frmMdule=lemma_inlink" \t "%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/" 直线，如果与穿过这个 "%E5%B9%B3%E9%9D%A2/3707020?frmMdule=lemma_inlink" \t "%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/" 平面的一条 "%E6%96%9C%E7%BA%BF/8546925?frmMdule=lemma_inlink" \t "%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/" 斜线在这个平面上的 "%E5%B0%84%E5%BD%B1/7505680?frmMdule=lemma_inlink" \t "%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86/" 射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
动点折线型距离最值：
1.动点折线，需要选择合适的“展开”面，把动点折线距离转化为在同一平面内的距离最值。
2.特殊图形位置关系，可以利用对称，或者点到面的距离来转化求解。
空间“将军饮马型”最值：
空间“将军饮马型”特征，一般情况下，距离前边带系数，则可以借助三角函数来转化为对应距离来求解。