2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题03双曲线及其应用(题型清单)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题03双曲线及其应用(题型清单)(学生版+解析)，共4页。

题型1 对双曲线定义的理解及应用
1．（2025·广东佛山·三模）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为 ．
2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则 ．
3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1B．13C．1或13D．2或14
4．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
题型2 双曲线的焦点三角形
5．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（ ）
A．24B．22C．20D．18
7．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（ ）
A．B．8C．D．
8．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
题型3 双曲线中的距离和差的最值问题
9．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ．
10．（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．10D．14
12．（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
题型4 双曲线标准方程的求解
13．（2025·安徽·三模）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为 ．
14．（2025·安徽蚌埠·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ．
15．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
题型5 双曲线标准方程的参数问题
17．（2025·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
18．（2025·湖北黄石·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
20．（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型6 与双曲线有关的轨迹问题
21．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
22．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ．
题型7 求双曲线离心率的值或范围
25．（25-26高三上·北京·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角的范围是，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
26．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
27．（25-26高三上·天津·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．5D．
28．（25-26高三上·天津河北·期中）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
题型8 直线与双曲线的位置关系
29．（2025·江苏·一模）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
31．（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
32．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程．
题型9 直线与双曲线相交弦长问题
33．（24-25高三上·江西上饶·月考）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
34．（24-25高三上·山东青岛·期末）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（ ）条
A．4B．3C．2D．1
35．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ．
36．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足．
(1)求的方程；
(2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程．
题型10 双曲线的中点弦问题
37．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
38．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
39．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
40．（24-25高三上·江苏南通·调研测试）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A．B．C．D．
题型11 双曲线中的定点问题
41．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有.
(1)求的离心率；
(2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点.
42．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
43．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标．
44．（2025·江西新余·模拟预测）如图：在平面直角坐标系中，离心率为2的双曲线C：经过．斜率为的直线与C交于两点，为C的左焦点．
(1)求C的方程；
(2)若以为直径的圆与轴相切，求的方程；
(3)直线、分别与C交于点，求证：直线过定点．
题型12 双曲线中的定值问题
45．（2025·山西·三模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值．
46．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上.
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值.
47．（2025·安徽合肥·模拟预测）设双曲线的右顶点为，其焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值．
48．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足.
(1)求双曲线方程；
(2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值.
题型13 双曲线中的最值或范围问题
49．（24-25高三下·河南·月考）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围.
50．（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值．
51．（24-25高三下·江苏·月考）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值.
52．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点.
(1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标；
(2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围.
题型14 双曲线中的证明问题
53．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上，
(1)求的方程；
(2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值.
54．（2025·福建福州·模拟预测）已知，是焦点在轴的双曲线上两点，，为的左、右焦点，，是以为底边的等腰三角形．
(1)求的离心率；
(2)设过且与的左、右两支均相交的直线斜率为，证明：．
55．（2025·山东·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为钝角三角形.
56．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点.
(1)求的方程；
(2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于.
（i）证明：三点共线；
（ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上.
题型15 双曲线中的探究性问题
57．（2025·广东广州·三模）已知双曲线．
(1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程；
(2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
58．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，．
(1)若，求的值；
(2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围．
59．（25-26高三上·安徽合肥·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求a，b.
(2)求的取值范围.
(3)设点M，N满足，是否存在常数，使得a，b变化时，为定值？若存在，求出以及该定值；若不存在，请说明理由.
60．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知双曲线的右焦点为，点是与直线的公共点，直线分别与直线轴交于点，直线与轴交于点，记的面积分别为．
(1)若，求点到的渐近线的距离；
(2)证明：；
(3)的右支上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步．
第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线；
第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况；
第三步：结合定义解决典型问题．
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积．
（2）利用公式求得面积．
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系．
待定系数法求双曲线标准方程
由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线．
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线．
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．
与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义．
．
求双曲线离心率的常用方法
（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；
（2）利用求：若已知，则直接利用得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志．
“先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况．
弦长公式：或（）．
既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．