第07讲 抛物线及其性质（专项训练）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
\l "__x0001_ 01" 题型01 抛物线的定义与标准方程
\l "__x0001_02" 题型02 抛物线的焦点坐标及准线方程
\l "__x0001_03" 题型03 抛物线的轨迹方程
\l "__x0001_ 04" 题型04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
\l "__x0001_05" 题型05 焦半径问题
\l "__x0001_06" 题型06 抛物线的几何性质
\l "__x0001_ 07" 题型07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
\l "__x0001_08" 题型08 抛物线的实际应用
\l "__x0001__1" 02 核心突破提升练
\l "__x0001__2" 03 真题溯源通关练
01 抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（ ）
A．1B．9C．1或9D．9或18
2．(多选)已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．三点共线（其中为坐标原点）
D．
3．已知点在抛物线上，的焦点为，则 ．
4．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为 ．
02 抛物线的焦点坐标及准线方程
5．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．(多选)已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（ ）
A．曲线的轨迹方程为
B．圆与曲线交于A，B两点，与交于E，G两点，则A，B，E，G四点围成的四边形的周长为14
C．若为曲线上的动点，则的最小值为5
D．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点
8．若抛物线的焦点为点，则 ．
03 抛物线的轨迹方程
9．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
11．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程.
(2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求.
12．已知动点到点的距离，与点到直线：的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点的直线与动点的轨迹交于两点，且，求直线的方程.
04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
13．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．4
14．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．(多选)设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程是
B．的最小值为4
C．的最大值为5
D．以线段为直径的圆与轴相切
05 焦半径问题
16．已知实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．(多选)设抛物线（）的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A．
B．的坐标为或
C．
D．直线的方程为
18．设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
19．(多选)过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．以为直径的圆与x轴相切
B．
C．的最小值为
D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则的面积最小值为
20．已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 .
21．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则 .
22．已知抛物线，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，为坐标原点，，若的平分线过的中点，则点的坐标为 ．
06 抛物线的几何性质
23．(多选)设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（ ）
A．B．
C．存在直线，使得D．对任意直线，
24．(多选)设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ）
A．的方程为B．
C．以为直径的圆与相交D．为钝角三角形
25．(多选)已知抛物线：的焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则（ ）
A．点的轨迹是抛物线的一部分B．点的轨迹是直线的一部分
C．外心的轨迹是直线的一部分D．外心的轨迹是抛物线的一部分
26．已知抛物线，过其焦点作直线抛物线交于两点，下列说法正确的是 ．
①以为直径的圆与直线没有公共点；②以为直径的圆与轴只有一个公共点；③的最小值为4；④的最小值为2．
07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
27．设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
28．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得的三条曲线及抛物线围成的，则下列说法错误的是（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点的距离的最大值为
C．四叶图的面积小于6
D．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
29．设点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则的面积是 .
30．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积；
(3)若为的准线，证明：以为直径的圆与相切．
08 抛物线的实际应用
31．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（ ）
A．B．C．D．8m
32．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（ ）

A．50mB．C．55mD．
33．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm．
34．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m）
35．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离.
36．如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥．大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（参考数据：）（ ）

A．725米B．1358米C．1525米D．1558米
37．已知是抛物线的对称轴与准线的交点，为抛物线的焦点，点在抛物线上．在中，若，则的最大值为 ．
38．已知斜率为的直线与抛物线交于两点，且当直线过的焦点时，在点处的切线的交点的横坐标为．
(1)求的准线方程；
(2)若，直线与的另一个交点为（异于点），是否存在实数，使得直线恒过定点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点．
①求证：直线过定点；
②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
40．如图，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，点，是上的两点，且.
(1)求的方程；
(2)过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，，依此操作次，记的面积为.
①求的面积；
②证明：.
1．（全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
3．（新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
6．（全国甲卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．