2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题04直线方程全题型培优归类(12题型)(学生版+解析)

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题型1 函数型倾斜角最值
1．（23-24高三河北 阶段练习）曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.
【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.
作出曲线的图象如下图所示：
由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，
则直线的倾斜角的取值范围是，故选A.
【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.
2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知不同的两点在曲线上，且满足，则直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将原条件等价转换为过点的直线与半圆弧有两个不同的交点，从而结合点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系即可得.
【详解】由得，
所以曲线为以为圆心，1为半径的上半圆弧.
不同的两点满足，
则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点.
如图，当直线位于直线的位置时，，直线的斜率是，

当过点的直线与圆相切于点时，设直线与曲线相切时，，解得，
如图可知，则直线斜率的取值范围是，
故选：B.
3．（2025·福建厦门·三模）设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在A，B两点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出两点坐标，结合斜率的计算由基本不等式和导数分别求出两直线斜率最小值，然后再利用两角差的正切公式计算即可.
【详解】设，则，当且仅当时取等号；
设，则令，则，令，
所以时，，单调递增；时，，单调递减，
所以，取，，此时，解得.
故选：C.
4．（23-24高二下·河北邢台·期中）设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】设，，，，由导数的几何意义求得，由，，可得，则有，又，得，可求的值.
【详解】由题意可设，，，.
抛物线方程，即，由，所以点D处切线的斜率为，
，，，
因此，即，
平行于轴，则点D到直线和直线的距离相等，即.
又，，所以.
所以.故选：B.
题型2 数形结合1：斜率的几何意义应用
1．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，进而即可判断AB；画出函数与图象，由可得，化简计算即可判断CD.
【详解】由题意知，，则，
所以曲线在点处的切线方程分别为
，
因为切线均过原点，所以，
即，得，故AB错误；
由，得，画出函数与图象，如图，
设，如上图易知：，
由正切函数图象性质，得，即，
又，所以，
即，解得，故C正确，D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：证明选项CD的关键是根据构造新函数，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.
2．（21-22高三上·河北沧州·阶段练习）已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先讨论和两种情况，解出；进而讨论且时，利用直线的到角公式结合基本不等式即可求得.
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，
若，则，，，所以；
若，则，，，所以；
若且，此时且，
，所以，
因为,所以，则，当且仅当时取“=”，
而，所以.
综上：的最大值为.
故选：B.
【点睛】本题核心的地方在“”这一步，首先分式“”的处理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“”这一步的拆分，三个式子一定要相同（），否则不能取得“=”.
3（25-26高二上·全国·课后作业）函数的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】 / 0
【分析】方法一，利用辅助角公式：（为辅助角）；方法二，利用几何意义求解.
【详解】 方法一：可化为，即，
即，解得．
方法二：的几何意义是过和两点的直线的斜率，而在单位圆上，
因此表示过点与圆上一点的直线的斜率，如图所示，要求的最值在直线和圆相切时取得．
显然直线的斜率存在，令直线方程为，即，
则原点到直线的距离为，即，解得或，
故函数的最大值为，最小值为0．
故答案为：①；②0.
4．（2023·全国·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据斜率公式理解，利用直线与圆的位置关系求的取值范围，进而可求的最小值.
【详解】表示圆心为，半径为的圆，
注意到，故，即，
则表示圆上一点与定点连线的斜率，
令，则，即，
则直线与圆有公共点，
则，整理得，
解得，即，
注意到，
故，
所以的最小值，转化为的最小值，
∵的最小值为1，所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：将已知式子变形为，即将所求的问题转化为求的最小值，是求解本题的关键．

题型3 含参直线与定点
1．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（ ）
①关于轴对称； ②； ③； ④“”的充要条件是“”．
A．①②B．②③④C．③④D．①②④
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论，可以得到曲线的图象，根据点关于轴对称点是判断曲线的对称性，得到①，利用双曲线的渐近线判断②，结合与圆相切和双曲线的渐近线，判断③，当时，直线恒过定点，根据直线和圆相切，直线和双曲线相切，数形结合判断④.
【详解】当时，，是以为圆心，以为半径的上半圆；
当时，，表示焦点在轴，对称中心在原点的双曲线的轴下方部分；
所以曲线的图象如图所示，
设点在曲线上，则，点关于轴对称点是，
因为，所以曲线关于轴对称，①正确；
当时，直线恒过定点，因为双曲线的渐近线是，
所以当或时，与直线有个交点，当时，与直线有个交点，
所以，②正确；
当时，直线，恒过定点，
当直线与相切时，由得（舍去），
结合双曲线的渐近线是，当时，直线与曲线有个交点，如，
当或或时，直线与曲线有个交点，如
当时，直线与曲线没有交点，如，
所以，③错误；
当时，直线恒过定点，
由得，
联立得，
由得，
所以要使得直线与曲线有个交点，则或，
即，故④正确；
故选：D.
2．（22-23高二上·四川绵阳·期末）已知C，D是圆：上两个不同动点，直线恒过定点P，若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设以为直径的圆的圆心为，当三点共线时，半径有最小值，此时有最小值，即可求出答案.
【详解】依题意，设以为直径的圆的圆心为，半径为，
将直线化简得，
即，得，所以直线恒过定点，
在中，，
因为，所以，
即，解得（舍），，
所以，
故选：A.
3．（2022·四川凉山·三模）已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.
【详解】∵ 抛物线的方程为，
∴ ，抛物线的准线方程为，
∵ 方程可化为，
∴过定点，
设，设的中点为，则，因为，为垂足，
∴，所以，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
过点作准线的垂线，垂足为，则,
∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
∴ ，
过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，
∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，
所以的最小值为，故选：A.
4．（24-25高三·河北 阶段练习）实数，，成等差，点在动直线上的射影为，点则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据条件确定动直线过定点，再确定点轨迹，最后根据点与圆位置关系求最值.
【详解】因为，，成等差，所以，因此过定点,
因为点在动直线上的射影为，所以点轨迹为以为直径的圆，即，从而,（为坐标原点）
故选B
【点睛】本题考查直线过定点、圆的轨迹以及点与圆的位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.
题型4 含参双直线交点型
1．（25-26高三天津·阶段练习）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，若点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线的方程求出定点的坐标，判断两直线垂直，确定P点所在圆的方程，由此可设P点坐标，即可根据数量积的坐标表示求出的表达式，结合三角恒等变换即可求得答案.
【详解】直线即为，
令，则，故；
直线即为直线，
令，则，故；
又因为和满足，
即直线和垂直，
则点P在以为直径的圆（不含点）上，线段的中点为，
，
故以为直径的圆的方程为（不含点），
设，其中，
则
，其中为辅助角，，
当时，取到最大值，符合题意，
故的最大值是，
故选：C
2．（24-25高三·黑龙江 阶段练习）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】，
圆心，半径，
过定点，
过定点，且⊥，
如图，设和中点分别为F、G，则四边形为矩形，

设，，则，
则＝
，当且仅当即时取等号.
故选：B.
3．（2024·广东茂名·模拟预测）已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解.
【详解】
直线即直线，过定点，
直线即直线，过定点，
又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆，
即轨迹方程为，圆心，
因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切，
所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围.
设设圆的半径为，
因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值，
，
又因为，即，
即，
所以，即，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：结合已知直线过定点，求出交点的轨迹方程是关键.
4．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【详解】直线过定点，直线过定点，又直线，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径，
圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1，
则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点，
于是，即，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：①几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．②待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．
题型5 三角函数型旋转直线
1．（2022高三·全国·专题练习）设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于轴时，或；
（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】由直线斜率不存在可判断（1），由直线斜率与倾斜角的关系可判断（2），化简消参可知直线系表示圆的切线的集合，故不经过某一定点，由点不在直线上可知（4）正确.
【详解】，
（1）当直线垂直于轴时，则，解得或或，故（1）错误；
（2）当时，直线方程为：，
斜率，即，倾斜角，故（2）正确；
（3）由直线系
可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故（4）正确；
故选：D．
2．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）设直线系，，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3）B．（1）（4）C．（2）（3） （4）D．（1）（2）
【答案】A
【分析】首先发现直线系表示圆的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点不在任何一条直线上，判断选项.
【详解】因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合.
（1）由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，所有中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上，观察知点符合条件，故（2）正确；
（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正变形，其所有边均在的直线上，故（3）正确；
（4）如下图，中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如，一类是,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确.
故选：A
【点睛】本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析问题的能力，属于偏难习题，本题的关键是观察点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合，再判断选项就比较容易.
3．（21-22高三 全国 专题练习）设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点不在中的任一条直线上；
⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据已知可知，直线系都为以为圆心，以1为半径的圆的切线，即可根据相关知识，逐个判断各命题的真假．
【详解】根据直线系（）得到，
所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线．
对于①，可取圆心为，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；
对于②，可取圆心为，半径为的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；
对于③，可取圆心为，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；
对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；
对于⑤，存在不在中的任一条直线上，所以⑤错误；
对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在中的直线上，所以⑥正确；
对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；
故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及直线与圆的位置关系的判断，直线系的理解等知识，综合考查学生运用直线与圆的知识解决问题的能力，属于较难题．
4．（22-23山西·阶段练习）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．24B．C．14D．
【答案】B
【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可.
【详解】∵点到直线的距离,
∴直线始终与圆相切,
∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合,
∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值.
故选：B
【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,再转换所求求最值即可.属于难题.

题型6 数形结合2：根号与距离
1．（24-25高三·四川成都·阶段练习）若存在实数，使得不等式成立．则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由，利用两点间的距离公式的几何意义，构造距离差的最大值，再根据存在问题即可求解.
【详解】由，
设，所以，
又因为点在单位圆上，
所以，
所以，即，
故答案为：.
2．（2025·四川达州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中有两个点，数学上，我们常把定义为欧几里得距离，把定义为曼哈顿距离.分别记为双曲线的右顶点和右焦点，若，则点的轨迹与双曲线的公共点个数是 .
【答案】1
【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以为中心且其一条对角线在轴上的正方形，根据图形结合双曲线性质分析判断.
【详解】设的焦距为，，
则，，
可得.
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得，即；
当时，可得，即；
可知点的轨迹是以为中心且其一条对角线在轴上的正方形.
又因为，即。
可知当点在点正上方或正下方时，，
所以点的轨迹与双曲线仅有1个公共点.
故答案为：1.
3．（24-25高三下·浙江·阶段练习）若存在实数使得，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为，利用两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求的取值范围.
【详解】因为 ，
设，，，令，
则，
又易知，点在圆上，如图所示，
则，又，故的最大值为，
因为存在实数使得
所以 ，即 ，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴：本题的关键是构造两点间的距离公式，转化几何意义求最值.
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知二元函数的最小值为，则 ．
【答案】80
【分析】化简后转化为点到点之间距离，利用轴对称实现折化直，转化到两点之间线段最短问题.
【详解】．
设点．则，
这是经典的将军饮马问题如图．
点关于直线与轴的对称点分别为与，
可得，故．
故答案为：80
题型7 数形结合3：绝对值与最值
1．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先将的取值与x，y无关,转化为圆上的点到直线的距离与到直线的距离之和与无关,继续转化为直线必与圆相离或相切,且圆在与之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且,解不等式组可得答案.
【详解】因为的取值与x，y无关,
所以的取值与x，y无关,
所以的取值与x，y无关,
即圆上的点到直线的距离与到直线的距离之和与无关,
因为圆心到直线的距离为,
所以直线与圆相离,
所以直线必与圆相离或相切,且圆在与之间,
所以,且,
所以或 且,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线必与圆相离或相切,且圆在与之间是解题关键,属于中档题.
2．（19-20高三上·河北石家庄·期末）已知实数满足，，则的最大值为
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可.
【详解】设点在圆上，且，
原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，
如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，
作直线于点，直线于点，
取的中点，作直线于点，
由梯形中位线的性质可知，
当直线时，直线方程为，
两平行线之间的距离：，
由圆的性质，
综上可得：的最大值.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】作出图形，利用代数式的几何意义可求答案.
【详解】由曲线，得，则，
所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.

设直线：，因为，所以，
所以表示点到直线的距离为，
即只有2个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，解得，
结合选项发现只有B选项符合题意.
故选：B
4．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果.
【详解】设点的坐标为，
由题意可知，即，
解得或；
所以点的坐标为或.
故选：D
题型8 截距式与最值型
1．（2022·上海闵行·二模）已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（ ）
A．40条B．46条C．52条D．54条
【答案】A
【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点对称的两点所连直线，关于x轴对称的两点所连直线（不含），
关于y轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用几何意义得到原点到直线的距离小于等于，
利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与比较后发现不合要求，进而继续求解第二小弦长，第三小弦长，求出原点到每类直线的距离，与比较得到结论，利用组合知识求出答案.
【详解】圆上的整数点共有12个，分别为，
如图所示，
由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，
所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，
关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，
关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去
其中变形为，
几何意义为原点到直线的距离小于等于，
这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类，
以下为具体情况：①，弦长为的直线有4条，
此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去
②，弦长为的直线有8条，
此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去
③，弦长为的直线有8条，
此时原点到此直线的距离为，满足要去，
④其他情况弦长均大于，故均满足要求，
由组合知识可知：满足要求的直线条数为：
故选：A
【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案.
2．（19-20高一·云南普洱·阶段练习）过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】截距为零时单独考察，在截距不为零时，设截距分别为利用截距式写出直线方程，根据过定点,得到的关系，判定的范围，然后求得后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，从而解决问题.
【详解】当截距为0时，是直线,只有一条，
当截距大于0时，设截距分别为则直线方程为，∵直线过点,
∴①，∵,∴,结合①可得，,∴,
又∵为整数，，
由①解得,为12的因数，
∴,对应,相应
对应的直线又有6条，
综上所述，满足题意的直线共有7条，
故选：D.
【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的情况，而是在截距不为零时，得到后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，本题属中档题.
3．（22-23高三·湖南长沙·阶段练习）一直线过点且与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，为坐标原点.则的最大值为 .
【答案】
【分析】设点、，可得出，可得，利用基本不等式得出，进而可得出，利用不等式的基本性质即可求得的最大值.
【详解】设点、，其中，，则直线的截距式方程为，
由于点在直线上，则，即，，
由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，等号成立，
，
，所以，.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角形边长和差的最值的求解，考查了直线的截距式方程以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于难题.
4．（24-25高三山西太原阶段练习）已知过点的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线L的方程为 ．
【答案】
【详解】试题分析：设直线方程为
当且仅当即时等号成立，取得最小值，此时，所以方程为
考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值

题型9 二元方程直线系理论
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程.
【详解】由条件可知，，，
且，两式相加得，
即，得，
点是直线和的交点，所以，
所以点满足直线，即直线方程为，
，与直线垂直的直线方程的斜率为，
所以中垂线方程为，整理为.
故选：A
2．（24-25高三·上海·阶段练习）设为不同的两点，直线，下列命题正确的有（ ）．
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过点的直线与直线平行；
③若，则直线经过的中点；
④若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由可得①正确，分和两种情况讨论可得直线与直线平行，可得②正确，当时，可得到，从而得到③正确，当时可得和，然后可得④正确.
【详解】因为中，，所以点不在直线上，故①正确
当时，根据得到，化简得，
即直线的斜率为，又直线的斜率为，由①可知点不在直线上，
得到直线与直线平行
当时，可得直线与直线的斜率都不存在，也满足平行，故②正确
当时，得到，化简得
而线段的中点坐标为，所以直线经过的中点，故③正确
当时，得到，所以，
即，所以点在直线的同侧
且，可得点与点到直线的距离不等，
所以延长线与直线相交，故④正确
综上：命题正确的有4个
故选：D
【点睛】本题考查的是直线的方程、两直线平行的判定以及一元二次不等式表示的区域，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题.
3．（20-21高三上·浙江·阶段练习）已知点，是曲线（为非零常数）上两个不同的点，则关于x，y的方程组的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对任意的，方程组总是有解
B．当时，对任意的，方程组总是有解
C．当时，存在，使方程组有唯一解
D．当时，存在，使方程组有唯一解
【答案】A
【解析】对的解的情况，即考虑两条直线的斜率之间的关系，即考虑方程的根的个数，也就是两函数与的图象之间交点的个数，分类讨论验证即可.
【详解】由题知．对的解的情况，
即考虑两条直线的斜率
之间的关系，即考虑方程的根的个数，也就是两函数与的图象之间交点的个数．
当时，存在使得图象，有两个交点，即，两条直线平行，即方程无解，故A选项错误；也存在，使得两图象没有交点，即无解，即两直线相交，方程组有唯一解，故选项C正确；
当时，图象有且仅有一个交点，故方程的解存在且唯一，不存在不同的点，使得无解，即两直线相交，方程组有唯一解B和D选项均正确，
故选：A．
【点睛】本题考查直线的斜率、函数零点问题，考查转化思想，运算求解能力、推理论证能力．属于难题.
4．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）若点既是，的中点，又是直线：与：的交点，则线段的垂直平分线的方程是 ．
【答案】
【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程.
【详解】直线与直线的方程相减可得，，
把点代入可得，
所以，
所以线段的垂直平分线的方程是，即，
故答案为：
题型10 两条平行线应用
1．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解.
【详解】因为，，
所以直线与间的距离为，又，故，
过作直线垂直于，如图，
则可设直线的方程为，代入，得，则，
所以直线的方程，
将沿着直线往上平移个单位到点，设，
则，解得或（舍去），则，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，
有，即四边形为平行四边形，
则，即有，
显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，
因为，，所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解.
2．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知为圆上的任意一点，当时，的值与无关，下列结论正确的是 ．
（1）当时，点的轨迹是一条直线；
（2）当时，有的最大值为1；
（3）当时，的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】根据点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式、直线与圆的位置关系等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，
其中表示到直线的距离，
表示到直线的距离，
直线与直线平行，
依题意，当直线时，的值与无关，
所以到直线与直线的距离的和的倍为定值，
也即到直线与直线的距离的和为定值，
由于为圆上的任意一点，
所以圆在两平行直线与之间.
直线与直线的距离为，
（1）当时，，
即圆与直线相切，所以圆心的轨迹是一条直线，
与平行，且与和的距离相等，所以（1）正确.
（2）当时，，
所以圆的直径，所以有的最大值为1，所以（2）正确.
（3）当时，由得，
，所以或，
解得或，所以（3）错误.
故答案为：（1）（2）

【点睛】关键点睛：本题解题关键点是化归与转化的数学思想方法，即将，转化为点到直线的距离问题来进行求解，熟练掌握、运用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离、直线与圆的位置关系，是解题的突破口.
3．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 .
【答案】35
【分析】设，.先判断出AB两点在圆上且.设点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以.利用几何法判断出当点A，B在第三象限，且直线AB与直线平行时最大，进而求出最大值.
【详解】设，.则，.
因为实数，，，满足：，，，
所以AB两点在圆上，且.
又，所以，所以，所以为等边三角形，.
点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以.
要使最大，只需点A，B在第三象限，
设直线为直线l，过A作AD⊥l于D, 过B作BE⊥l于E,取AB中点F，过F作FG⊥l于G.由梯形的中位线性质可知：,即.
只需F到直线l距离最大，所以直线AB与直线平行.
此时，设，
由圆心到直线AB的距离为，可得：，即，解得：.
所以两平行线间的距离为，
所以，
所以.
故答案为：35.
【点睛】解析几何中最值的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.
4．（17-18高三下·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】求出关于直线的对称点，过作平行于的直线为，将的值转化为的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式，求解出的坐标.
【详解】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查两点间距离公式的应用，考查对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
题型11 数形结合4：光学与对称性质
1．（21-22高三下·浙江·阶段练习）已知平面向量，，，且，，则对于任意实数，的最小值为 .
【答案】
【分析】由，求得，设，根据的几何意义转化为的最小值为的最小值，作关于直线的对称点，则，结合直线的对称最值，即可求解.
【详解】因为，可得，
所以，即，即，
设，则向量的终点在阴影部分内，
令，所以，，
=
由的几何意义，在阴影部分找点到的距离，
即的最小值为的最小值，
如图所示，当点位于直线上时，此时取得最小值，
根据对称性，只需考虑作关于直线的对称点，则，设
则：，解得：，即
故取得最小值即为
即的最小值为.
故答案为：.
2．（21-22高二上·黑龙江鹤岗·期中）已知椭圆，，为其左右焦点，动直线l为此椭圆的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则S的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题的关键点是根据椭圆的光学性质可得：对称点，切点，左焦点三点共线，根据斜率相等得到方程，结合点中点B在切线方程上得到的方程，求出点的轨迹方程，然后根据S的特点，从点到直线距离入手，求出S的取值范围.
【详解】因为，所以，故，因为右焦点关于直线l的对称点，设切点为 ，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线，直线l方程为，则点中点B在切线方程上，其中代入切线方程中，得：①，由，，三点共线可得：，即②，联立①②可得：，，因为在椭圆方程上，可得：③，把，代入③中，解得：，即点的轨迹方程是以为圆心，半径为4的圆，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为，则，即
故答案为：
【点睛】本题是圆锥曲线的光学性质的运用，即从椭圆一个焦点出发的光线经过椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点，这在焦点关于切线对称的问题上，属于一个隐含条件，只有用到这个性质，才能顺利的解决问题；当然双曲线和抛物线都有类似的性质，双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
3．（2025·湖南永州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出光线与、、相切时的斜率，数形结合即可得解.
【详解】将半圆依次沿着，，作对称，如图所示：
光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示.
当光线与相切时，光线所在直线斜率为，
由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，则入射光线所在直线为与圆相切，
当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时，
此时，所以光线斜率为
，
当光线与相切时，光线斜率为，
所以由图可知k的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合简化问题的难度.
4．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于 ．
【答案】
【分析】根据对称性求出直线与直线的方程，再将这两条直线的方程联立，即可求得点的坐标.
【详解】如下图所示：
则、，直线方程为 ，即，
三角形重心为 ，即，
设，设点关于直线对称点为，
由题意可得，解得，即点，
由光的反射性可知、、、四点共线，且，
直线斜率为，直线方程为，
因为直线过重心，即，整理得，
解得（舍去）或，即点，
所以，直线的方程为，
联立，解得，即点.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.

题型12 直线综合压轴小题
1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意整理可得，，构建函数，结合单调性可得，以为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方，可得，构建，利用导数求最值即可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，整理可得，
构建，则，
可知在内单调递减，
由可知，且，则，
则即为，
以为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方，
则原点到直线的距离，
可得，
构建，则，
可知在内单调递增，则，
所以的最小值是.
故答案为：.
2．（25-26高三上·广东广州·阶段练习）已知实数满足：，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设，则由题意可得两点在圆上，且，得到，而的几何意义为点两点到直线的距离与之和，取的中点，过点作于，则根据梯形的中位定理得，求出的最大值即可求得结果.
【详解】
设，则，
由，，
可得两点在圆上，且，
∴
∴，即为等腰三角形，
，即
点两点到直线：的距离与之和，
点到直线的距离为，
取的中点，过点作于，
则根据梯形的中位线定理得，
因为为等腰三角形，，所以，
所以点在圆上运动，
所以点到直线的最大距离为，即
所以的最大值为.
故答案为：
3．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意求出直线解析式，设出各点坐标，根据三点共线的斜率关系，求出各点坐标，表示出面积，根据基本不等式，求出面积的最小值；
【详解】如图所示：
由点，，得直线解析式为：，
设点，点，
由三点共线和点可知，
当时，，解得，
此时面积为，
令，即，
则，当且仅当，即时等号成立，
即当时，的最小值为；
当时，，此时，
综上的最小值为.
故答案为：3.
4．（2025·广东广州·模拟预测）已知是同一平面内的三条平行直线，位于两侧，与的距离为1，与的距离为2，点分别在上运动，若，则面积的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意如图建立平面直角坐标系，设，利用条件推得，结合直线的对称性，可得，求出直线的方程，进而得到点，由三角形面积公式求得，设，再利用求导判断函数的单调性和极值，即可求得面积的最小值.
【详解】

如图，设直线与轴重合，依题意，可取直线，
因直线的无限延伸性，故可设，
则，
因，两边取平方，整理可得，结合直线的对称性，不妨设，则可得，
由，可得直线的方程为，令，可得点D的坐标为，故，
从而的面积为
，
设，函数的定义域为，则，
由可得，则有，解得；由，可得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在时取得最小值为.
此时，，则，
，满足.
故的面积的最小值为.
故答案为：.

结束
由正切图象可以看出：①当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；
②当α＝eq \f(π,2)时，斜率不存在，但直线存在；③当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．
斜率型分式几何意义
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).。
若满足
一般情况下，过定点
直线系：
过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
如：
（1）含有1个未知参数，
不论m为何值时，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点 (－2,3)
（2）含有2个未知参数
过定点
（3）含有3个未知参数
已知A＋B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0必过定点(1,1)
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。
如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算
圆的动切线：
到直线系距离，每条直线的距离
，
直线系表示圆的切线集合，
求解形如的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
利用点到直线ax+by+c=0的距离公式d=的结构特征，常常可以将与绝对值余关的最值型题，构造转化为点到直线的距离来计算求解。
直线的截距和直线方程的截距式，关键有两点：
1.要注意截距为零的情况，
2.在截距不为零时，转化求解 。
直线系型：
(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
两直线平行
(1)斜截式判断法：
两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2：
(ⅰ)若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)一般式判断法：设两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则有：
l1∥l2⇔A1 B2＝A2B1且A1 C2≠A2 C1；
关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.