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新高考数学二轮复习专题2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习专题2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习专题22函数的单调性奇偶性对称性与周期性九大题型举一反三原卷版doc、新高考数学二轮复习专题22函数的单调性奇偶性对称性与周期性九大题型举一反三解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17847" 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 PAGEREF _Tc17847 \h 2
\l "_Tc25272" 【题型2 利用函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc25272 \h 4
\l "_Tc25907" 【题型3 利用函数的单调性求最值】 PAGEREF _Tc25907 \h 6
\l "_Tc21434" 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 PAGEREF _Tc21434 \h 9
\l "_Tc24305" 【题型5 函数的对称性及其应用】 PAGEREF _Tc24305 \h 10
\l "_Tc20183" 【题型6 函数的周期性及其应用】 PAGEREF _Tc20183 \h 12
\l "_Tc18614" 【题型7 利用函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc18614 \h 16
\l "_Tc17362" 【题型8 利用函数的性质解不等式】 PAGEREF _Tc17362 \h 18
\l "_Tc2053" 【题型9 函数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc2053 \h 21
1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大.
【知识点1 函数的单调性与最值的求法】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)= SKIPIF 1 < 0 ，则T=2a；
(5)若f(x+a)= SKIPIF 1 < 0 ，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【解答过程】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.
故选：B.
【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ）
A．“存在a，，使得且”
B．“存在a，，使得且”
C．“存在，使得”
D．“存在，使得”
【解题思路】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项.
【解答过程】若函数在区间是增函数，
即任意，使得且，
则若函数在区间不是增函数，
即存在，使得且.
故选：B.
【变式1-2】（2022·江西·校联考二模）已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【解答过程】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．是增函数B．是减函数
C．是增函数D．是减函数
【解题思路】对题中条件进行变化，构造新函数，根据增、减函数的定义即可.
【解答过程】不妨令，
，
令，，
又，∴是增函数．
故选:A.
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先分析知，，函数单调递减，则也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.
【解答过程】显然当时，为单调减函数，
当时，，则对称轴为，
若是上减函数，则 解得，
故选：A.
【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知是定义在上的单调函数，，则（ ）
A．114B．116C．134D．136
【解题思路】借助换元思想即可解答.
【解答过程】由题意可知是一个常数，
设，则，
因为，
所以，
因为在上单调递增，且，
所以，
所以，
则.
故选：D.
【变式2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出命题中的范围，根据充分条件，必要条件的概念判断.
【解答过程】若 在为增函数，
则，解得；
在为减函数，则，即或，
因为“”能推出“或”，反之不成立，
所以命题q是命题p的必要不充分条件，
故选：B．
【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【解题思路】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【解答过程】因为存在常数，使得对任意，都有，
所以函数的周期为，
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
因为在区间上单调递减，
所以有，
故选：B.
【题型3 利用函数的单调性求最值】
【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若，则有（ ）
A．最小值3B．最大值3C．最小值9D．最大值9
【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.
【解答过程】令，对称轴为，开口向下，
因为，所以当时，有最大值9，没有最小值，
故选：D.
【变式3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．0B．C．D．
【解题思路】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案.
【解答过程】令，定义域为，令，得，
且在上单调递增，
画出函数图象如下：
则的图象如下：
若，则，画出的图象如下，
显然最小值为2，不合题意，
若，则画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，
令，解得，正值舍去，
令，解得，
若，则画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，
令，解得，负值舍去，
令，解得，
综上，.
故选：B.
【变式3-2】（2023下·山东青岛·高一统考开学考试）已知，，，则（ ）
A．S的最大值是B．S的最大值是
C．S的最大值是D．S的最大值是
【解题思路】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值.
【解答过程】∵，
令，
∵，，则，当且仅当，即时等号成立，
故，可得，
又∵在上单调递增，则，
∴，即S的最大值是.
故选：B.
【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（ ）
A．5B．6C．8D．12
【解题思路】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.
【解答过程】令，则，且
故，，故
且令，，可得
设，则，
则，故在上单调递增
的最大值是
故选：A.
【题型4 函数的奇偶性及其应用】
【例4】（2023·河南开封·统考模拟预测）函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.
【解答过程】A：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
B：，定义域为关于原点对称，且，符合；
C：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
D：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
故选：B.
【变式4-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由奇函数、偶函数的性质求解即可.
【解答过程】因为是奇函数，所以，则．
又是偶函数，所以，所以．
故选：C.
【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先通过函数为奇函数求出，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.
【解答过程】依题意是奇函数，所以，即，
则，，
当时，令，解得或，
根据对称性，当时，，
故满足的的取值范围是．
故选：C．
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．
D．
【解题思路】利用函数的奇偶性的定义判断选项A，B；利用函数的单调性判断选项C，D.
【解答过程】易知函数的定义域均为．当时，易知函数在上单调递增，
又，所以为奇函数，
易知，所以函数在上单调递增．
因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减．
选项A：因为，所以是奇函数，所以A错误；
选项B：因为，所以是偶函数，所以B错误；
选项C：因为，所以，所以C错误；
选项D：因为，所以，所以D正确．
故选：D.
【题型5 函数的对称性及其应用】
【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点成中心对称
【解题思路】对AB，根据判断即可；对C，举反例判断即可；对D，计算可得即可判断.
【解答过程】对AB，由，易知选项A，B不正确；
对C，易得，，故，故选项C不正确；
对D，，故 ，
故的图象关于点中心对称.
故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．2B．1C．D．
【解题思路】由题意，从而是周期函数，又的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称，由，从而即可求解.
【解答过程】因为，所以，
从而可得，所以，所以函数的一个周期为6．
因为的图象关于直线对称，
所以， 即函数的图象关于直线对称．
又，，
所以，所以，
所以．由于23除以6余5，
所以 ．
故选：C．
【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想，计算出，从而求出对称中心.
【解答过程】函数定义域为，
定义域的对称中心为，所以可猜，
则，
，
故
所以的对称中心为，
故选：C．
【变式5-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先根据的图象关于点对称，得出是定义在上的奇函数，由对任意的，，，满足，得出在上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．
【解答过程】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，
对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，
又所以，且，
所以当时，；当时，，
所以由可得或或，
解得或，即不等式的解集为．
故选：C.
【题型6 函数的周期性及其应用】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知.若是以2为最小正周期的周期函数，则（ ）
A．2B．1C．D．
【解题思路】计算根据函数的周期性有，比较等式两端求.
【解答过程】因为是以2为最小正周期的周期函数，所以
，
所以
解得.
故选:B.
【变式6-1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法错误的是（ ）
A．B．必为奇函数
C．D．若，则
【解题思路】利用赋值法求的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得，的值有周期性，即可求得的值，判断D．
【解答过程】对于A，令，则由可得，，
故或，故A错误；
对于B，当时，令，则，则，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
令，则，则，
当时，，则，为奇函数，
综合以上可知必为奇函数，B正确；
对于C，令，则，故，
由于，令，，即，即有，故C正确；
对于D，若，令，，则，则，
故令，则，即， ，
令，，则，即，，
令，，则，即， ，
令，，则，即， ，
令，，则，即，，
令，，则，即， ，
由此可得，的值有周期性，且6个为一周期，且，
故，故D正确，
故选：A．
【变式6-2】（2023·天津河西·统考三模）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为，其中正确命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】由函数关系式及偶函数的性质可知在、上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.
【解答过程】由题设，，即是周期为2的函数，
令，则，而时；，
∴.
∴综上：且在上周期为2.
∵为定义在上的偶函数，
∴在上周期为2且.
①，正确；
②函数在定义域上是周期为2的周期函数，错误；
③直线与函数的图象如下图示，只有1个交点，正确；
④函数如下图示，其值域为，正确；
故选：D.
【变式6-3】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据奇函数定义得到，进而得到的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.
【解答过程】因为为奇函数，所以，则，
所以对称中心为，
又因为的图像关于对称，则，
所以，则，
所以的周期，
①，所以①正确；
②因为，，对称中心为，
所以，所以，所以②正确；
③因为，所以，
因为，所以，
则，所以，所以③错误；
④因为且周期，
所以，则的周期为，
因为，，，，
所以，
所以，所以④正确.
故选：C.
【题型7 利用函数的性质比较大小】
【例7】（2023上·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意能得到函数关于直线轴对称，且在上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小.
【解答过程】由，时，得函数在上单调递减，
由得函数关于直线轴对称，
所以函数在上单调递增.
又因为（最远离），（最靠近），
所以.
故选：A.
【变式7-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．
【解答过程】∵函数图象关于对称，且对任意，
当时都有，
∴在上单调递减，在单调递增，
，
∵，∴，
∴．
故选：B．
【变式7-2】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可.
【解答过程】当时，恒成立，
可知函数在上单调递增，
又因为函数是偶函数，
所以，
设，则，
所以，又，
所以，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以.
故选：A.
【变式7-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由，可得函数周期，将自变量的值利用周期转化到，结合单调性，即得解
【解答过程】由题意，，则
，可得函数周期
，，
由于在上单调递增
即
故选：D.
【题型8 利用函数的性质解不等式】
【例8】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知定义在上的函数满足，且时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据可知函数关于对称，并求出时函数的解析式，画出大致图象，然后结合图象得到的解集.
【解答过程】定义在上的函数满足，所以关于对称，
当时，，因为在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增,所以在上单调递增，，
因为，当，即时，
，
令，即或（舍），
所以画出的大致图象
由图象知，当时，，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，，
当时，，当或时，，
所以不等式的解集为，
故选：C.
【变式8-1】（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且对任意，均有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意，构造函数，由题可知在上单调递增，结合是定义在上的奇函数可知，是定义域上的偶函数，得到在上单调递减，再求出不等式的解集.
【解答过程】因为，，所以，
设函数，
则函数在上单调递增，且.
当时，不等式等价于，
即，即，解得.
当时，，不满足.
因为是定义在上的奇函数，
所以为偶函数且在单调递减，则，
当时，不等式等价于，
即，即，解得.
综上，不等式的解集为.
故选：D.
【变式8-2】（2022上·辽宁·高一校联考期中）已知函数是定义在上的奇函数,且．
(1)确定函数的解析式;
(2)当时,判断函数的单调性,并证明;
(3)解不等式．
【解题思路】(1)根据奇函数可得,结合代入可得的解析式;
(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.
(3)将移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为,再根据(2)的结论转化为,再加上均在定义域内,即可求出不等式解集.
【解答过程】（1）解:由题意可知为奇函数,
,
即,,
∵,∴,
∴;
（2）当时,函数单调递增,
证明如下:
设为上的任意两个数,且,
,
,
,
,
故函数在上为增函数;
（3）,
,
为奇函数,
∴,
当时,函数单调递增,
,
,
不等式的解集为．
【变式8-3】（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
(1)判断函数的单调性；
(2)解不等式：；
(3)若对所有恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数单调性的知识判断出函数在上的单调性.
（2）根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集.
（3）先求得的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得的取值范围.
【解答过程】（1）为奇函数，所以，
则由，得，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上，函数在上单调递增
（2）由（1）知函数为上的增函数，
则
解得，故不等式的解集为.
（3）因为，所以.
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立.
令，
则即得，
即，解得，
故实数的取值范围是.
【题型9 函数性质的综合应用】
【例9】（2022上·江苏苏州·高一校考期中）已知奇函数和偶函数满足
(1)求和的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性
(3)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围
【解题思路】（1）根据已知条件用替换，构造一个关于、的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；
（2）先判断，在利用定义法证明；
（3）设A=，B=，由可知，
A，列出不等式组即可求出k的范围．
【解答过程】（1）由奇函数和偶函数可知，
，，
因为，①
用替换得
故，即，②
联立解得，，
（2）在上单调递增；证明如下：
取
所以
因为
所以，
所以
所以在上单调递增
（3）设A=，
令，则化为，
易知在上单调递增，
故，，
故；
设B=，
令，则化为，
易知在单调递增，
故，
则时，．
若对于任意的，存在，
使得可知A，
则A，则显然，则B=，
则，
则，解得．
【变式9-1】（2023上·湖南株洲·高一校考期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，得到，列出方程组，即可求解；
（2）根据函数单调性的定义与判定方法，即可求解；
（3）根据题意，转化为函数的值域为值域的子集，由（2）求得的值域为，转化为，分、和，三种情况讨论，即可求解.
【解答过程】（1）解：设函数的图象的对称中心为，则，
即，
整理得，
可得，解得，
所以的对称中心为.
（2）解：函数在上单调递增；
证明如下：
任取且，
则，
因为且，可得且，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）解：由对任意，总存在，使得，
可得函数的值域为值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，
当时，即时，在单调递增，
又由，即函数的图象恒过对称中心，
可知在上亦单调递增，故在上单调递增，
又因为，，故，
因为，所以，，解得，
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
因为过对称中心，故在递增，在单调递减，
故此时，
欲使，
只需且，
解不等式，可得，又因为，此时；
当时，即时，在递减，在上亦递减，
由对称性知在上递减，所以，
因为，所以，解得，
综上可得：实数的取值范围是.
【变式9-2】（2023上·浙江湖州·高一统考阶段练习）我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若函数的图象关于点对称，证明：；
(3)已知函数，其中，若正数，满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）令，由为奇函数，得到，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）令，由为奇函数，得到，令，即可得证；
（3）由函数，得到，得到的对称中心为，求得
，两式相加得到，得出，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：令，因为为奇函数，
所以，即，
所以，
化简得，则 ，
解得，即图像的对称中心为.
（2）解：令，因为为奇函数，
所以，即，
所以，
令，则，即；
（3）解：因为，
所以，
所以，可得的对称中心为，
因为
两式相加得：，即，
又由.
方法一：由
，
当且仅当时取等号.
方法二：由，
令，
则
当且仅当时取等号.
【变式9-3】（2023上·江苏无锡·高一校考期中）设，函数为常数，．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若．
①判断并证明函数的单调性；
②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）把代入得，且定义域为，求出并化简并判断与的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；
（2）①结合单调性的定义，先设，利用作差法比较与的大小关系即可判断；
②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数的取值范围．
【解答过程】解：（1）当时，函数，
因为，则，
所以定义域为，
对任意，，
所以是奇函数．
（2）①当时，为上的单调增函数，证明如下：
证明：时，恒成立，故函数定义域为，
任取，，且，则，
因为，
所以为上的单调增函数.
②设命题：存在，，使得成立，
下面研究命题的否定：
，，恒成立，
若为真命题，由①，为上的单调增函数，
故，，恒成立．
设，，，
则，解得，
因为为真，则为假命题，
所以实数的取值范围为．
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【解答过程】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
2．（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【解答过程】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【解答过程】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【解答过程】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【解答过程】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
7．（2020·山东·统考高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【解题思路】利用函数单调性定义即可得到答案.
【解答过程】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C.
8．（2020·山东·统考高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【解答过程】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解答过程】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【解答过程】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D.
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17847" 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 PAGEREF _Tc17847 \h 2
\l "_Tc25272" 【题型2 利用函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc25272 \h 4
\l "_Tc25907" 【题型3 利用函数的单调性求最值】 PAGEREF _Tc25907 \h 6
\l "_Tc21434" 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 PAGEREF _Tc21434 \h 9
\l "_Tc24305" 【题型5 函数的对称性及其应用】 PAGEREF _Tc24305 \h 10
\l "_Tc20183" 【题型6 函数的周期性及其应用】 PAGEREF _Tc20183 \h 12
\l "_Tc18614" 【题型7 利用函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc18614 \h 16
\l "_Tc17362" 【题型8 利用函数的性质解不等式】 PAGEREF _Tc17362 \h 18
\l "_Tc2053" 【题型9 函数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc2053 \h 21
1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大.
【知识点1 函数的单调性与最值的求法】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)= SKIPIF 1 < 0 ，则T=2a；
(5)若f(x+a)= SKIPIF 1 < 0 ，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【解答过程】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.
故选：B.
【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ）
A．“存在a，，使得且”
B．“存在a，，使得且”
C．“存在，使得”
D．“存在，使得”
【解题思路】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项.
【解答过程】若函数在区间是增函数，
即任意，使得且，
则若函数在区间不是增函数，
即存在，使得且.
故选：B.
【变式1-2】（2022·江西·校联考二模）已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【解答过程】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．是增函数B．是减函数
C．是增函数D．是减函数
【解题思路】对题中条件进行变化，构造新函数，根据增、减函数的定义即可.
【解答过程】不妨令，
，
令，，
又，∴是增函数．
故选:A.
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先分析知，，函数单调递减，则也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.
【解答过程】显然当时，为单调减函数，
当时，，则对称轴为，
若是上减函数，则 解得，
故选：A.
【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知是定义在上的单调函数，，则（ ）
A．114B．116C．134D．136
【解题思路】借助换元思想即可解答.
【解答过程】由题意可知是一个常数，
设，则，
因为，
所以，
因为在上单调递增，且，
所以，
所以，
则.
故选：D.
【变式2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出命题中的范围，根据充分条件，必要条件的概念判断.
【解答过程】若 在为增函数，
则，解得；
在为减函数，则，即或，
因为“”能推出“或”，反之不成立，
所以命题q是命题p的必要不充分条件，
故选：B．
【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【解题思路】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【解答过程】因为存在常数，使得对任意，都有，
所以函数的周期为，
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
因为在区间上单调递减，
所以有，
故选：B.
【题型3 利用函数的单调性求最值】
【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若，则有（ ）
A．最小值3B．最大值3C．最小值9D．最大值9
【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.
【解答过程】令，对称轴为，开口向下，
因为，所以当时，有最大值9，没有最小值，
故选：D.
【变式3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．0B．C．D．
【解题思路】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案.
【解答过程】令，定义域为，令，得，
且在上单调递增，
画出函数图象如下：
则的图象如下：
若，则，画出的图象如下，
显然最小值为2，不合题意，
若，则画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，
令，解得，正值舍去，
令，解得，
若，则画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，
令，解得，负值舍去，
令，解得，
综上，.
故选：B.
【变式3-2】（2023下·山东青岛·高一统考开学考试）已知，，，则（ ）
A．S的最大值是B．S的最大值是
C．S的最大值是D．S的最大值是
【解题思路】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值.
【解答过程】∵，
令，
∵，，则，当且仅当，即时等号成立，
故，可得，
又∵在上单调递增，则，
∴，即S的最大值是.
故选：B.
【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（ ）
A．5B．6C．8D．12
【解题思路】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.
【解答过程】令，则，且
故，，故
且令，，可得
设，则，
则，故在上单调递增
的最大值是
故选：A.
【题型4 函数的奇偶性及其应用】
【例4】（2023·河南开封·统考模拟预测）函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.
【解答过程】A：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
B：，定义域为关于原点对称，且，符合；
C：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
D：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
故选：B.
【变式4-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由奇函数、偶函数的性质求解即可.
【解答过程】因为是奇函数，所以，则．
又是偶函数，所以，所以．
故选：C.
【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先通过函数为奇函数求出，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.
【解答过程】依题意是奇函数，所以，即，
则，，
当时，令，解得或，
根据对称性，当时，，
故满足的的取值范围是．
故选：C．
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．
D．
【解题思路】利用函数的奇偶性的定义判断选项A，B；利用函数的单调性判断选项C，D.
【解答过程】易知函数的定义域均为．当时，易知函数在上单调递增，
又，所以为奇函数，
易知，所以函数在上单调递增．
因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减．
选项A：因为，所以是奇函数，所以A错误；
选项B：因为，所以是偶函数，所以B错误；
选项C：因为，所以，所以C错误；
选项D：因为，所以，所以D正确．
故选：D.
【题型5 函数的对称性及其应用】
【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点成中心对称
【解题思路】对AB，根据判断即可；对C，举反例判断即可；对D，计算可得即可判断.
【解答过程】对AB，由，易知选项A，B不正确；
对C，易得，，故，故选项C不正确；
对D，，故 ，
故的图象关于点中心对称.
故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．2B．1C．D．
【解题思路】由题意，从而是周期函数，又的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称，由，从而即可求解.
【解答过程】因为，所以，
从而可得，所以，所以函数的一个周期为6．
因为的图象关于直线对称，
所以， 即函数的图象关于直线对称．
又，，
所以，所以，
所以．由于23除以6余5，
所以 ．
故选：C．
【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想，计算出，从而求出对称中心.
【解答过程】函数定义域为，
定义域的对称中心为，所以可猜，
则，
，
故
所以的对称中心为，
故选：C．
【变式5-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先根据的图象关于点对称，得出是定义在上的奇函数，由对任意的，，，满足，得出在上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．
【解答过程】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，
对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，
又所以，且，
所以当时，；当时，，
所以由可得或或，
解得或，即不等式的解集为．
故选：C.
【题型6 函数的周期性及其应用】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知.若是以2为最小正周期的周期函数，则（ ）
A．2B．1C．D．
【解题思路】计算根据函数的周期性有，比较等式两端求.
【解答过程】因为是以2为最小正周期的周期函数，所以
，
所以
解得.
故选:B.
【变式6-1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法错误的是（ ）
A．B．必为奇函数
C．D．若，则
【解题思路】利用赋值法求的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得，的值有周期性，即可求得的值，判断D．
【解答过程】对于A，令，则由可得，，
故或，故A错误；
对于B，当时，令，则，则，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
令，则，则，
当时，，则，为奇函数，
综合以上可知必为奇函数，B正确；
对于C，令，则，故，
由于，令，，即，即有，故C正确；
对于D，若，令，，则，则，
故令，则，即， ，
令，，则，即，，
令，，则，即， ，
令，，则，即， ，
令，，则，即，，
令，，则，即， ，
由此可得，的值有周期性，且6个为一周期，且，
故，故D正确，
故选：A．
【变式6-2】（2023·天津河西·统考三模）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为，其中正确命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】由函数关系式及偶函数的性质可知在、上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.
【解答过程】由题设，，即是周期为2的函数，
令，则，而时；，
∴.
∴综上：且在上周期为2.
∵为定义在上的偶函数，
∴在上周期为2且.
①，正确；
②函数在定义域上是周期为2的周期函数，错误；
③直线与函数的图象如下图示，只有1个交点，正确；
④函数如下图示，其值域为，正确；
故选：D.
【变式6-3】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据奇函数定义得到，进而得到的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.
【解答过程】因为为奇函数，所以，则，
所以对称中心为，
又因为的图像关于对称，则，
所以，则，
所以的周期，
①，所以①正确；
②因为，，对称中心为，
所以，所以，所以②正确；
③因为，所以，
因为，所以，
则，所以，所以③错误；
④因为且周期，
所以，则的周期为，
因为，，，，
所以，
所以，所以④正确.
故选：C.
【题型7 利用函数的性质比较大小】
【例7】（2023上·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意能得到函数关于直线轴对称，且在上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小.
【解答过程】由，时，得函数在上单调递减，
由得函数关于直线轴对称，
所以函数在上单调递增.
又因为（最远离），（最靠近），
所以.
故选：A.
【变式7-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．
【解答过程】∵函数图象关于对称，且对任意，
当时都有，
∴在上单调递减，在单调递增，
，
∵，∴，
∴．
故选：B．
【变式7-2】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可.
【解答过程】当时，恒成立，
可知函数在上单调递增，
又因为函数是偶函数，
所以，
设，则，
所以，又，
所以，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以.
故选：A.
【变式7-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由，可得函数周期，将自变量的值利用周期转化到，结合单调性，即得解
【解答过程】由题意，，则
，可得函数周期
，，
由于在上单调递增
即
故选：D.
【题型8 利用函数的性质解不等式】
【例8】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知定义在上的函数满足，且时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据可知函数关于对称，并求出时函数的解析式，画出大致图象，然后结合图象得到的解集.
【解答过程】定义在上的函数满足，所以关于对称，
当时，，因为在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增,所以在上单调递增，，
因为，当，即时，
，
令，即或（舍），
所以画出的大致图象
由图象知，当时，，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，，
当时，，当或时，，
所以不等式的解集为，
故选：C.
【变式8-1】（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且对任意，均有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意，构造函数，由题可知在上单调递增，结合是定义在上的奇函数可知，是定义域上的偶函数，得到在上单调递减，再求出不等式的解集.
【解答过程】因为，，所以，
设函数，
则函数在上单调递增，且.
当时，不等式等价于，
即，即，解得.
当时，，不满足.
因为是定义在上的奇函数，
所以为偶函数且在单调递减，则，
当时，不等式等价于，
即，即，解得.
综上，不等式的解集为.
故选：D.
【变式8-2】（2022上·辽宁·高一校联考期中）已知函数是定义在上的奇函数,且．
(1)确定函数的解析式;
(2)当时,判断函数的单调性,并证明;
(3)解不等式．
【解题思路】(1)根据奇函数可得,结合代入可得的解析式;
(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.
(3)将移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为,再根据(2)的结论转化为,再加上均在定义域内,即可求出不等式解集.
【解答过程】（1）解:由题意可知为奇函数,
,
即,,
∵,∴,
∴;
（2）当时,函数单调递增,
证明如下:
设为上的任意两个数,且,
,
,
,
,
故函数在上为增函数;
（3）,
,
为奇函数,
∴,
当时,函数单调递增,
,
,
不等式的解集为．
【变式8-3】（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
(1)判断函数的单调性；
(2)解不等式：；
(3)若对所有恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数单调性的知识判断出函数在上的单调性.
（2）根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集.
（3）先求得的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得的取值范围.
【解答过程】（1）为奇函数，所以，
则由，得，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上，函数在上单调递增
（2）由（1）知函数为上的增函数，
则
解得，故不等式的解集为.
（3）因为，所以.
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立.
令，
则即得，
即，解得，
故实数的取值范围是.
【题型9 函数性质的综合应用】
【例9】（2022上·江苏苏州·高一校考期中）已知奇函数和偶函数满足
(1)求和的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性
(3)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围
【解题思路】（1）根据已知条件用替换，构造一个关于、的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；
（2）先判断，在利用定义法证明；
（3）设A=，B=，由可知，
A，列出不等式组即可求出k的范围．
【解答过程】（1）由奇函数和偶函数可知，
，，
因为，①
用替换得
故，即，②
联立解得，，
（2）在上单调递增；证明如下：
取
所以
因为
所以，
所以
所以在上单调递增
（3）设A=，
令，则化为，
易知在上单调递增，
故，，
故；
设B=，
令，则化为，
易知在单调递增，
故，
则时，．
若对于任意的，存在，
使得可知A，
则A，则显然，则B=，
则，
则，解得．
【变式9-1】（2023上·湖南株洲·高一校考期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，得到，列出方程组，即可求解；
（2）根据函数单调性的定义与判定方法，即可求解；
（3）根据题意，转化为函数的值域为值域的子集，由（2）求得的值域为，转化为，分、和，三种情况讨论，即可求解.
【解答过程】（1）解：设函数的图象的对称中心为，则，
即，
整理得，
可得，解得，
所以的对称中心为.
（2）解：函数在上单调递增；
证明如下：
任取且，
则，
因为且，可得且，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）解：由对任意，总存在，使得，
可得函数的值域为值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，
当时，即时，在单调递增，
又由，即函数的图象恒过对称中心，
可知在上亦单调递增，故在上单调递增，
又因为，，故，
因为，所以，，解得，
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
因为过对称中心，故在递增，在单调递减，
故此时，
欲使，
只需且，
解不等式，可得，又因为，此时；
当时，即时，在递减，在上亦递减，
由对称性知在上递减，所以，
因为，所以，解得，
综上可得：实数的取值范围是.
【变式9-2】（2023上·浙江湖州·高一统考阶段练习）我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若函数的图象关于点对称，证明：；
(3)已知函数，其中，若正数，满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）令，由为奇函数，得到，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）令，由为奇函数，得到，令，即可得证；
（3）由函数，得到，得到的对称中心为，求得
，两式相加得到，得出，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：令，因为为奇函数，
所以，即，
所以，
化简得，则 ，
解得，即图像的对称中心为.
（2）解：令，因为为奇函数，
所以，即，
所以，
令，则，即；
（3）解：因为，
所以，
所以，可得的对称中心为，
因为
两式相加得：，即，
又由.
方法一：由
，
当且仅当时取等号.
方法二：由，
令，
则
当且仅当时取等号.
【变式9-3】（2023上·江苏无锡·高一校考期中）设，函数为常数，．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若．
①判断并证明函数的单调性；
②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）把代入得，且定义域为，求出并化简并判断与的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；
（2）①结合单调性的定义，先设，利用作差法比较与的大小关系即可判断；
②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数的取值范围．
【解答过程】解：（1）当时，函数，
因为，则，
所以定义域为，
对任意，，
所以是奇函数．
（2）①当时，为上的单调增函数，证明如下：
证明：时，恒成立，故函数定义域为，
任取，，且，则，
因为，
所以为上的单调增函数.
②设命题：存在，，使得成立，
下面研究命题的否定：
，，恒成立，
若为真命题，由①，为上的单调增函数，
故，，恒成立．
设，，，
则，解得，
因为为真，则为假命题，
所以实数的取值范围为．
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【解答过程】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
2．（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【解答过程】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【解答过程】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【解答过程】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【解答过程】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
7．（2020·山东·统考高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【解题思路】利用函数单调性定义即可得到答案.
【解答过程】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C.
8．（2020·山东·统考高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【解答过程】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解答过程】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【解答过程】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D.
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