2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题2.2函数的基本性质的灵活应用(单调性、奇偶性、对称性、周期性)练习(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题2.2函数的基本性质的灵活应用(单调性、奇偶性、对称性、周期性)练习(学生版+解析)，共78页。试卷主要包含了已知函数，则不等式的解集为等内容，欢迎下载使用。
目录●重难点题型分布
重难点题型1 函数的单调性及其应用
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·辽宁·三模）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
4．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·安徽合肥·三模）已知，若，则的范围为 .
7．（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 .
8．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为
9．（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 .
10．（2024·湖南长沙·三模）已知函数则不等式的解集为 .
重难点题型2 利用函数的单调性，求参数的范围
1．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .
6．（2022高三·全国·专题练习）函数在上是减函数，则实数的范围是 .
7．（2021·上海浦东新·三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 .
8．（2019·安徽·模拟预测）若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是 ．
重难点题型3 函数的奇偶性及其应用
1．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·河北·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
13．（24-25高三下·安徽·阶段练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2025·海南海口·模拟预测）（多选题）下列函数是奇函数且为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是
16．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知，．下列结论中可能成立的有 ．
①；
②；
③是奇函数；
④对，．
17．（2023·云南·二模），其最大值和最小值的和为 ．
18．（2022·北京海淀·三模）已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数；
②有4个零点；
③的最小值为；
④的解集为.
其中，所有正确结论的序号为 .
重难点题型4 利用函数的奇偶性，求参数的范围
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．（2025·全国·模拟预测）若函数是奇函数，则（ ）
A．2B．C．D．
5．（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（ ）
A．0B．C．D．
6．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．8D．16
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．
8．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
9．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
10．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
11．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
12．（2025·吉林·模拟预测）若函数是定义域为的偶函数，则 .
13．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
14．（2025·山东济宁·一模）已知函数是奇函数，则实数 ．
15．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知函数为奇函数，则的值为 .
16．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .
重难点题型5 对称性与周期性
1．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A．B．
C．的最小正周期为2D．是曲线的一条对称轴
2．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．5B．C．2D．
5．（2025·山西晋中·三模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（ ）
A．1B．C．2D．
7．（2025·河北石家庄·三模）（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
8．（2025·广西北海·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
9．（2025·宁夏银川·二模）（多选题）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．
C．D．
10．（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 ．
11．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 .
12．（2024·贵州贵阳·二模）函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则 .
重难点题型6 类周期函数（值域倍增与值域倍减）
1．已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 .
2．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．
3．已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国高一专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______.
7．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2019·新疆·乌市八中高二阶段练习（理））已知定义在上的函数满足，当时，，则在区间上满足的实数x的值为（ ）
A．6B．5C．D．
11．（2019·陕西汉中市·高三月考（文））定义在 上的函数 满足 ，且当 时，，则函数 在 上的零点个数为
A．5B．6C．7D．8
12．（2020·全国高三专题练习（理））定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______.
13．（2020·江苏）已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的最大值为___________.
14．（2019·浙江高二期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意的，都有，则的取值范围是________.
重难点题型7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性
1．（2023·广东广州·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A．116B．115C．114D．113
2．（2021·全国·模拟预测）已知定义在的函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．不是周期函数
B．是奇函数
C．对任意，恒有为定值
D．对任意，有
3．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
4．（2024·河北保定·三模）（多选题）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则
A．B．是奇函数（ ）
C．是奇函数D．恒成立
5．（20-21高一上·福建三明·期中）（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
6．（2021·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线与函数的图像有1个交点
D．函数的值域为
7．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 .
8．（2022·四川乐山·一模）若函数同时满足：（i）为奇函数；（ii）定义域为，值域为；（iii）对任意且，总有，则称函数具有性质.写出一个具有性质的函数 .
重难点题型8 函数性质的综合应用
1．（2023·四川绵阳·一模）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①的一个周期为2 ②
③的一条对称轴为 ④
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知定义在上的函数为增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若实数、满足不等式，则当时，的最大值为 ．
4．（2022·辽宁·三模）已知，，其中，则下列判断正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①关于点成中心对称；
②在上单调递增；
③存在，使；
④若有零点，则；
⑤的解集可能为.
序号
题型
重难点题型1
函数的单调性及其应用
重难点题型2
利用函数的单调性，求参数的范围
重难点题型3
函数的奇偶性及其应用
重难点题型4
利用函数的奇偶性，求参数的范围
重难点题型5
对称性与周期性
重难点题型6
类周期函数（值域倍增、值域倍减）
重难点题型7
抽象函数的单调性、奇偶性与周期性
重难点题型8
函数性质的综合应用
专题2.2 函数的基本性质的灵活应用
（单调性、奇偶性、对称性、周期性）
目录●重难点题型分布
重难点题型1 函数的单调性及其应用
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2025·辽宁·三模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】利用导数先证明不等式恒成立，然后再利用放缩法即可得到大小判断.
【详解】设，则，
所以在上单调递减，又，则，即
则，即．
设，则在上单调递增，
又．所以，即，
所以有，
则，即，
综上，．
故选：A．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断零点所在的区间、比较函数值的大小关系
【分析】利用求导判断单调性，再借助，然后通过数形结合，即可作出判断.
【详解】求导得，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
根据，，
当时，，可作出图象：
所以当时，，
根据图象可知，，
所以恒有，故B正确，
由于，，所以，故C错误，
故选：B.
4．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】对数的运算性质的应用、根据函数的单调性解不等式、抽象不等式
【分析】先根据指数对数的运算性质将变形为，再通过放缩得到不等式，进而利用同构函数，将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】由，得，
即．
因为，，所以，即，
所以，
且．
因为函数在上单调递增，
又，
所以，
即，
故，
所以A正确，B，C，D错误．
故选：A．
5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】令，利用导数分析函数的单调性，数形结合可得出的单调性，可得出、、的大小关系，利用作差法可得出与的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】令，该函数的定义域为，，
由可得或，由可得，
且当时，，当时，.
所以，函数的单调递减区间为、，增区间为，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的增区间为、，减区间为，
因为，则，
因为，即，
接下来比较与的大小，
作差得，
所以，，因此，.
故选：D.
6．（2025·安徽合肥·三模）已知，若，则的范围为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】解正弦不等式、数与式、根据函数的单调性解不等式
【分析】由立方差公式结合题意可得，据此可得x范围，由此可得答案.
【详解】由题可得：
则
注意到
，
则
注意到，
则，
.
注意到，则.
则或，
则或，
则，当时，；
当时，；时，.
综上可得：的范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题关键是利用分解因式将拆解为乘积形式，此外要注意两者间的等量关系.
7．（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用
【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.
【详解】函数的定义域为，
，
当时，，得，在上单调递减，
当时，，得，在上单调递增，
又
，故为上的偶函数，
故等价于，
即，两边平方解得或.
所以不等式解集为，
故答案为：
8．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】构造函数，先判断函数的对称性，再将所求转化，再利用导数判断函数的单调性，再根据单调性解不等式即可.
【详解】令，
则，
所以函数关于对称，
由，得，
即，
因为函数关于对称，所以，
则，
，
因为，
当且仅当，即时取等号，
又，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：构造函数，根据函数的对称性将所求转化，再利用函数的单调性即可解答.
9．（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分段函数的性质及应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】分别判断分段函数的上段与下段的单调性，然后构造函数，并算出，再利用函数的单调性求出即可得出结论.
【详解】设，均随着 的增大而增大，所以在为增函数，
，则,所以在为增函数，
且当分别代入、，可得，
所以在上单调递增，
令，则在上单调递增，
又.
不等式的解集为.
故答案为：.
10．（2024·湖南长沙·三模）已知函数则不等式的解集为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【分析】由函数解析式可得在上单调递增，令，不等式为变为，利用单调性可得不等式的解集.
【详解】函数在上单调递增，
又在上单调递增，又，
所以在上单调递增.
设，可得在上单调递增.
又，所以原不等式可化为，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
重难点题型2 利用函数的单调性，求参数的范围
1．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解.
【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.
当时，，所以，在上单调递增；
当时，，在上不单调；
当时，，所以，在上单调递减.
综上，.
故选：C.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数
【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以当时，恒成立，则；
当时，由在上递减，
若，，合题意，
若，则，故;
又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得.
综上所述，，
故选：C．
3．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、具体函数的定义域
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由，可得或，
即函数的定义域为，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，
.
故选：D.
4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、分段函数的值域或最值
【分析】分别讨论，，时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集解不等式即可求解.
【详解】当时，由指数函数的单调性得到取值范围为，此时不成立，故舍去；
当时，，若时，，
若时 ，，当且仅当时，等号成立；
此时
当时，若时，单调递减，所以，
若时 ，，当且仅当时，等号成立；
即解之可得，
综上可知.
故选：D
5．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.
【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，
所以，解得，则.
故答案为：.
6．（2022高三·全国·专题练习）函数在上是减函数，则实数的范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解
【详解】函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
7．（2021·上海浦东新·三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值
【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.
【详解】在上单调递增，
在单调递减，
则，即，
同时 需满足，即，
解得，
综上可知
故答案为：
【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.
8．（2019·安徽·模拟预测）若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】当时，得到一次函数满足题意；当时，根据二次函数单调性可确定对称轴与区间的位置关系，从而构造不等式求得结果.
【详解】①当时， 在上是单调递增函数，满足题意
②当时，的对称轴为：
若在上是单调函数，则或，解得：
综上所述：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据函数的单调区间求解参数范围的问题，易错点是忽略二次项是否为零的讨论，造成求解错误.
重难点题型3 函数的奇偶性及其应用
1．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、指数幂的运算
【分析】根据奇函数性质判断选项
【详解】根据得
可得，故为奇函数
故选：A
2．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由特值法可排除A.
【详解】的定义域为，
则，
所以为奇函数，故排除BC，
令，则或，
则或，解得：或，
所以当时，的最小为1，
则，故A错误，D正确.
故选：D.
3．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项验证.
【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误；
对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
对于C，是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数，
同时在上是严格增函数，故D正确.
故选：D.
4．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用奇函数的定义排除AC；利用单调性排除D即可.
【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，A不是；
对于B，函数的定义域为R，，是奇函数，
函数都是R上的增函数，因此函数在上单调递增，B是；
对于C，函数的定义域为，不是奇函数，C不是；
对于D，函数在上单调递减，在上不单调，D不是.
故选：B
5．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】函数图象关于轴对称，排除A ，C，由排除B，利用排除法即可.
【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数，
对于A，,,
,
即函数是奇函数，故A错，
对于B，，，
，
是偶函数，
当时，，故B错，
对于C ， ，，
，
是奇函数，故C错，
对于D，，，
，
是偶函数，，符合题意，故D正确.
故选：D
6．（2025·河北·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】对于A，利用奇偶函数的判断方法及幂函数的性质，即可求解；对于B，利用奇偶函数的判断方法及二次函数的性质，即可求解；对于C，利用奇偶函数的判断方法及复合函数的单调性，即可求解；对于D，利用奇偶函数的判断方法，得是偶函数，即可求解.
【详解】对于选项A，易知的定义域为，关于原点对称，
又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故选项A不正确；
对于选项B，函数的定义域为，关于原点对称，又，
所以奇函数，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确，
对于选项C，，因为，所以的定义域为，
又，所以是奇函数，
又在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，故选项C正确，
对于选项D，函数的定义域为，且，
所以是偶函数，故选项D不正确，
故选：C.
7．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可.
【详解】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数，
对于B，的定义域为，且，奇函数；
对于D，的定义域为，，奇函数；
因此排除选项B，D这两个奇函数；
由图象知，若取一个很小的正数，比如，
对于A：，函数值为正数，因此排除A.
对于C: 的定义域为，
，，综上只有C符合，
故选：C.
8．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性
【分析】首先判断的单调性与奇偶性，依题意可得对于任意恒成立，再分，两种情况讨论，当时参变分离可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】因为，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，所以为奇函数，
由恒成立，即恒成立，
所以对于任意恒成立，
当时；
当时，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，所以；
综上可得实数的取值范围为.
故选：A
9．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、指数幂的运算
【分析】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.
【详解】由，可得的定义域为，
且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；
，排除C项；
当时，，排除A项.
故选：D.
10．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正切（型）函数的奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案.
【详解】对于A，令，，而，
则，，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对于B，令，，又，
所以是偶函数，故B错误；
对于C，令，，又，
所以是奇函数，故C正确；
对于D，因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
11．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、求余弦（型）函数的奇偶性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，即可得答案.
【详解】A：，定义域为R，是偶函数，不符；
B：，定义域为，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符；
C：，定义域为R，是偶函数，不符；
D：，定义域为R，是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合.
故选：D
12．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式即可.
【详解】因为，
所以，又因为定义域为关于原点对称，
所以是奇函数，
由于，
可知函数在定义域上单调递减，
所以
即，即，
则，该不等式组无解，所以解集为.
故选：D.
13．（24-25高三下·安徽·阶段练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】由奇函数的定义组个判断各个选项即可得到答案.
【详解】A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误；
B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误；
A选项，函数定义域为，，函数是奇函数，C选项正确；
D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误.
故选：C.
14．（2025·海南海口·模拟预测）（多选题）下列函数是奇函数且为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数是定义域为上的奇函数，且为增函数，A满足条件；
对于B选项，设，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，B不满足条件；
对于C选项，设，该函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，C满足条件；
对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足条件.
故选：AC.
15．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求和的最小值
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知，．下列结论中可能成立的有 ．
①；
②；
③是奇函数；
④对，．
【答案】①③④
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据题意，由指数的运算即可判断①②，由函数奇偶性的定义即可判断③，利用导数判断函数的单调性，即可判断④.
【详解】因为，故①正确；
因为，故②错误；
因为，
定义域为，关于原点对称，
则，
所以，
所以是奇函数，故③正确；
令，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即函数在上单调递增，
所以，即，
又，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以时，，则函数在上单调递增，
所以对，，故④正确；
故答案为：①③④
17．（2023·云南·二模），其最大值和最小值的和为 ．
【答案】0
【难度】0.94
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算性质的应用、指数幂的运算
【分析】证明函数是奇函数即得解.
【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．
故答案为：0
18．（2022·北京海淀·三模）已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数；
②有4个零点；
③的最小值为；
④的解集为.
其中，所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数的零点、函数图象的应用、解正弦不等式
【分析】对于①：利用函数的奇偶性的定义直接判断；
对于②：令，直接解得；
对于③：利用图像法直接判断；
对于④：直接解不等式即可判断.
【详解】对于①：因为函数的定义域为，且，所以是偶函数.故①正确；
对于②：在，令，解得：，，，.所以有4个零点.故②正确；
对于③：因为是偶函数，所以只需研究的情况. 如图示，作出（）和的图像如图所示：

在上，有，所以，即的最小值大于.故③错误；
对于④：当时，可化为：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为.故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】（1）函数奇偶性的判断，通常用定义法；
（2）解三角不等式（方程），利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值.
重难点题型4 利用函数的奇偶性，求参数的范围
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由题意可得为偶函数，则恒成立，从而可求出的值.
【详解】因为为偶函数，为偶函数，
所以为偶函数，
所以恒成立，
所以恒成立，所以.
故选：A.
4．（2025·全国·模拟预测）若函数是奇函数，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称即可求解.
【详解】，需满足或，
由于为奇函数，故定义域关于原点对称，故，解得，
当时，，
满足是奇函数，故，
故选:C
5．（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、对数的运算、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数定义，列式运算得解.
【详解】由题，可得，即，
，
，即
因不恒为0，故.
故选：B.
6．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，再根据可得，进而可得.
【详解】由奇函数性质可得，的定义域关于原点对称，
又定义域为，即且，，故，解得.
又，故，
此时为奇函数，故.
故选：D
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义可得，结合对数的运算性质计算即可求解.
【详解】因为为R上的奇函数，所以，
即，
整理得，解得.
故选：C
8．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值．
【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得，
即，整理得，所以.
故选：A
9．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、由奇偶性求参数
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
10．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
11．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
12．（2025·吉林·模拟预测）若函数是定义域为的偶函数，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】整理可得，根据偶函数性质列式求解即可得结果.
【详解】因为，
可知均为偶函数，为奇函数，
若函数是定义域为的偶函数，
则，可得，所以.
故答案为：.
13．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出，再检验即可求解．
【详解】由题意知，得，
令，解得或，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以，解得，即，
令，其定义域为，
，满足题意，
故答案为：4．
14．（2025·山东济宁·一模）已知函数是奇函数，则实数 ．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数性质求实数的值，并根据奇函数的定义求解.
【详解】因为，可知函数的定义域为，
且函数是奇函数，则，
解得，则，
又因为
，
即，可知函数是奇函数，
所以符合题意.
故答案为：1.
15．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知函数为奇函数，则的值为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】求出函数的定义域，再由奇函数的性质求出并验证即得.
【详解】函数中，，方程的根为，
由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为，
，即函数为奇函数，
所以的值为.
故答案为：
16．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.
【详解】函数是奇函数，，
当时，，，
而当时，，则，
当时，，，
而当时，，则，
所以，.
故答案为：
重难点题型5 对称性与周期性
1．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A．B．
C．的最小正周期为2D．是曲线的一条对称轴
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行分析判断.
【详解】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则.
令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误.
对于B选项，因为是奇函数，则.
由可得.
用代替可得，又因为，所以，即.
那么.
同理.
.
.
令，则，所以B选项正确.
对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误.
对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误.
故选：B.
2．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用
【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值.
【详解】由为奇函数，得，
所以图象的对称中心为，令
由的图象关于直线对称，得，
由得，所以，
则的一个周期为4，则
则．
故选：B.
3．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、由抽象函数的周期性求函数值
【分析】根据题意结合奇函数的定义可得2为的一个周期，进而可得结果.
【详解】因为为定义在上的奇函数，则，
又因为，则，
可得，可知2为的一个周期，
所以.
故选：B.
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．5B．C．2D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值
【分析】利用赋值法，整理等式可得函数周期性，利用周期性，可得答案.
【详解】由题意得，用代替x，得.
两式相加，得，所以，所以函数是以6为周期的周期函数.
因为，所以，又因为，所以.
又因为，即，解得，
所以.
故选：D.
5．（2025·山西晋中·三模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、特殊角的三角函数值、由函数的周期性求函数值
【分析】由题可得，进而得的周期为4，然后结合条件可得.
【详解】定义在上的奇函数满足，
则，于是，
即的周期为4，则．
故选：C.
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据双对称关系求周期，然后即可得解.
【详解】因为为奇函数，所以，
用代替得，
又为定义在上的奇函数，所以，
所以，是以4为周期的周期函数，
因为，所以.
故选：D
7．（2025·河北石家庄·三模）（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用
【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可.
【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ，
又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；
对于 C，由，令，得，则，
，故C正确；
对于D，由，则，又，是周期为4的函数，
则，
而的值无法确定，故D错误.
故选：AC.
8．（2025·广西北海·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可.
【详解】为奇函数，故，即①，
又为偶函数，故②，
则由①②可得，，
则，则的一个周期为4，
在①中令有，
又当时，，则，则，
所以，
故A正确；
由②可得，，则，
即函数是定义在上的偶函数，
因时，，则是上的增函数，
则是上的减函数，
因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误；
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，
由题意得与的图象如下：
当时，，
当时，，
当时，，
结合图象可知，函数在上存在1个零点，
当时，，
当时，，
由此可得与的图象有5个交点，
所以有5个零点，故D正确．
故选：ACD．
9．（2025·宁夏银川·二模）（多选题）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．
C．D．
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】利用函数奇偶性的定义推导出，进一步可推导出，结合函数周期性的定义可判断A选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD选项.
【详解】因为是偶函数， 所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以，
所以，所以的周期为，故A错误；
又当时，，
所以，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
10．（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由函数的周期性求函数值、对数的运算
【分析】根据已知得出函数的周期为4，进而得出，然后根据解析式求出即可得出答案.
【详解】由已知可知，函数为周期函数，且周期为4.
所以，.
又当时，，
所以，，.
故答案为：.
11．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 .
【答案】0
【难度】0.85
【知识点】由函数的周期性求函数值、求分段函数解析式或求函数的值、函数奇偶性的应用
【分析】利用的奇偶性和周期性求得，即可得解.
【详解】由题知，是奇函数且是周期为4的周期函数，
又当时，
则
，
故.
故答案为：0
12．（2024·贵州贵阳·二模）函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】结合函数的对称性可得函数的周期性，再由奇函数的性质可得，即可得解.
【详解】由为奇函数，为偶函数，
则有，，
故，
即，
即有，
故函数周期为，故，
由，则有，即，
故.
故答案为：.
重难点题型6 类周期函数（值域倍增与值域倍减）
1．已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解.
【详解】当时，则，
所以，即，
当时，则，
所以，即，
则，
当时，则，
所以，即，
画出的图象如下：

由图象可知，当时，方程在区间内有实数解，
所以实数的取值范围为
2．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解．
【详解】因为当，时，，
所以，
因为，
当，时，即时，
所以，即，
当，，即，时，，
当，，即，时，，
所以，
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，,当时，，
当时,
因为对任意，，都有，
则，解得：，
故答案为：
3．已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得当时，，
且，令，解得或，结合图像即可得到结果.
【详解】由得，
因为当时，，所以；
当时，，；
当时，，；
且，如图令，得或；
若对任意，都有，结合图像则的取值范围是.
故选：B.
4．（2021·全国高一专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.
【详解】
当时，，故，
因为，
故当时，，，
同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.
所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，
故若对任意，都有，则，
令，或，
结合函数的图象可得，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
5．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数满足，且当时，
当时，可得；
当时，可得，
所以在区间上，可得，
作函数的图象，如图所示，
所以当时，，
故选：B.

6．（2020·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
可结合图像大致特点，当函数区间由右移，函数值逐渐减小，当函数区间由左移，函数值逐渐增大，则确定应是比2大的一个值，再由可推出通式，令可解得，再由图像可确定的临界值应为，即可求解
【详解】
由题可知
，
则可得一般规律：，可画出大致函数图像，如图：
由图可知，当时，，则，，
此时，由图像可知，要对任意，都有，则的最大值只能取，故
故答案为：
【点睛】
本题考查由函数的递推式找出一般函数图像规律，数形结合思想，属于难题
7．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，解得，
所以要使对任意，都有，则，，
故选：B．
【点睛】
易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
8．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题先求出的分段函数表达式，分析图象变化规律，确定范围，代入给定区间表达式即可求出.
【详解】当时，，又，故当时，，，即，令，
则，同理，当时，，
令，则，整理得，
当时，，画出大致图象，函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一个最小值2倍，由图可知，要使对任意，都有，
，令，解得或（舍去），故m的最大值是.
故选：D
9．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题先求出的分段函数表达式，分析图象变化规律，确定范围，代入给定区间表达式即可求出.
【详解】当时，，又，故当时，，，即，令，
则，同理，当时，，
令，则，整理得，
当时，，画出大致图象，函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一个最小值2倍，由图可知，要使对任意，都有，
，令，解得或（舍去），故m的最大值是.
故选：D
10．（2019·新疆·乌市八中高二阶段练习（理））已知定义在上的函数满足，当时，，则在区间上满足的实数x的值为（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义求出在上的表达式，然后解方程可得．
【详解】∵，∴，
∴当时，，∴，
∴，
∴当时，，∴，
由得，，
故选：B.
11．（2019·陕西汉中市·高三月考（文））定义在 上的函数 满足 ，且当 时，，则函数 在 上的零点个数为
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】
由f（x+2）＝3f（x），得到函数在其他区间的解析式，作出函数的图象，将问题转化为直线与函数在上的图象的交点的个数，即可求出零点个数．
【详解】
设，则.因为时， ，所以.因为，所以当时，
同理可得当时，；
当时，，此时最大值为x=-3时，f(x)=,
因为函数 在 上的零点个数等价于直线与函数 在上的图象的交点的个数，
结合的图象（如图），
直线与函数在上的图象有7个交点，即函数在上有7个零点.
故选C.
【点睛】
本题主要考查函数零点的个数及函数解析式的求解方法，考查了数形结合思想，利用f（x+2）＝3f（x）求解解析式是解决本题的关键．
12．（2020·全国高三专题练习（理））定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
由分段函数根据单调性求得在的最小值，根据求出，的最小值，将问题转化为解不等式即可得出结果.
【详解】
根据已知，当时，，
则当时，在处取到最小值，
当时，在处取到最小值，
所以在时在处取到最小值,
又因为，
可知当时，在时取到最小值，且，则.
为使当时，恒成立，需，
当时，可整理为，解得；
当时，可整理为，解得.
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于难题.
13．（2020·江苏）已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的最大值为___________.
【答案】
【分析】
直接利用关系式可得出当时，，结合题意可得且解出不等式即可求出结果.
【详解】
当时，，由可得，
当时，；
当时，，…，
当时，，
因为，，且对任意的，恒成立，
所以且，解得，
故实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查的知识要点：直接利用关系式的应用，定义域的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题.
14．（2019·浙江高二期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意的，都有，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．
【详解】
解：，，
时，，
时，；
时，；
时，；
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则．
故答案为．
【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
重难点题型7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性
1．（2023·广东广州·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A．116B．115C．114D．113
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】由可得函数的周期为，
再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.
【详解】由，得，
即，
所以，
所以函数的周期为，
又为偶函数，
则，
所以，
所以函数也为偶函数，
又，
所以，，
所以，
又，即，所以，
又，，
，
所以
故选：.
2．（2021·全国·模拟预测）已知定义在的函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．不是周期函数
B．是奇函数
C．对任意，恒有为定值
D．对任意，有
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的奇偶性、函数基本性质的综合应用、由函数的周期性求函数值
【分析】利用已知两个等式进行变形，由此可推出函数为周期是4的偶函数，从而可判断选项，再利用周期性可得的值，即可判断
【详解】，∴
，∴
∴，∴
∴，∴是周期为4的函数
∴，∴为偶函数
在中，令，有
故是定值
当时，即为，故D不正确
故选：C
【点睛】本题考查了函数的周期性与对称性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
3．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误.
【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确；
对于B,令可得，所以，
即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确；
对于C,令，则由可得，
即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确；
对于D,由于是偶函数，所以满足，即，
可得，也即，所以是的一个周期，即D错误.
故选：ABC
4．（2024·河北保定·三模）（多选题）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则
A．B．是奇函数（ ）
C．是奇函数D．恒成立
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数基本性质的综合应用、求函数值、抽象函数的奇偶性
【分析】采用赋值法逐项分析，取，可判断A；根据奇函数的概念结合条件可判断BC；取，若存在，则，可判断D.
【详解】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确；
取，则，所以，即B错误；
因为，所以，所以，即C正确；
取，已知函数在上单调递增，则，又，
若存在，则，所以，即D正确.
故选：ACD.
5．（20-21高一上·福建三明·期中）（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】利用取特殊值方法求解选项A,B,利用抽象函数的关系式结合函数的单调性和奇偶性求解选项C,D.
【详解】对A，令可得，，解得，A正确；
对B，令可得，，
再令可得，，解得，B错误；
对C，因为，，所以,C错误；
对D，令，则，
所以，即，
所以函数为奇函数，D正确；
故选:AD.
6．（2021·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线与函数的图像有1个交点
D．函数的值域为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】利用对数函数的性质综合解题、函数基本性质的综合应用
【分析】根据已知条件中函数是偶函数且时，有以及时，，画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【详解】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示，
根据图象可知选项A中，正确；
对于选项B，函数在定义域上不是周期函数，所以B不正确；
对于选项C，根据函数图象可知与的图象有个交点，所以C正确；
对于选项D，根据图象，函数的值域是，所以D正确.
故选：ACD.
7．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 .
【答案】.
【难度】0.65
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、函数基本性质的综合应用、求函数值
【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由函数满足，
取，可得，
令，可得，
即
则

.
故答案为：.
8．（2022·四川乐山·一模）若函数同时满足：（i）为奇函数；（ii）定义域为，值域为；（iii）对任意且，总有，则称函数具有性质.写出一个具有性质的函数 .
【答案】（答案不唯一）.
【难度】0.65
【知识点】简单复合函数的导数、函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用
【分析】根据（i）可知是偶函数，根据（iii）结合函数单调性的定义可知在上单调递增，写出一个符合性质（i）（ii）（iii）的函数即可.
【详解】由可得，
不妨设，则，可得，
所以在上单调递增，
因为为奇函数，所以是偶函数，且定义域为，值域为，
作函数的图象如图所示：
图象关于轴对称，是偶函数，满足（i）为奇函数；
满足（ii）定义域为，值域为；在上单调递增，满足（iii），
所以具有性质，写出一个具有性质的函数可以是，
故答案为：（答案不唯一）.
重难点题型8 函数性质的综合应用
1．（2023·四川绵阳·一模）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①的一个周期为2 ②
③的一条对称轴为 ④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】由题意，根据函数的对称性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判④的正误.
【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，
因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，
对于①，，
，则函数的周期，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，，故③正确；
对于④，，则，
，则，
由，则，故④正确.
故选：C.
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】比较函数值的大小关系、函数基本性质的综合应用
【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.
【详解】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即；
由可得，
显然可得.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
3．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知定义在上的函数为增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若实数、满足不等式，则当时，的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求平方和型目标函数的最值、函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、奇偶函数对称性的应用
【分析】推导出函数为奇函数，且在上为增函数，由得出，由此将问题转转化为在约束条件下求的最大值，作出不等式组所表示的平面区域，将代数式转化为点到平面区域内的动点的距离的平方，数形结合可得出结果.
【详解】函数的图象关于点成中心对称，则函数的图象关于原点对称，所以，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，
由，得，
，，则有，
不等式组所表示的平面区域如下图所示的：
联立，得，可得点，同理可得点，
代数式可视为点到平面区域内的动点的距离的平方，
由图象可知，当点与点或点重合时，取最大值.
故答案为：.
【点睛】本题考查抽象函数单调性与奇偶性的应用，将问题转化为线性规划下非线性目标函数的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于难题.
4．（2022·辽宁·三模）已知，，其中，则下列判断正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①关于点成中心对称；
②在上单调递增；
③存在，使；
④若有零点，则；
⑤的解集可能为.
【答案】①③⑤
【难度】0.4
【知识点】函数零点的定义、函数基本性质的综合应用
【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得
，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．
【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．
对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．
对于③，令，则当时，，
则．
所以，
令，则成立．故③正确．
对于④，若有零点，则，得，从而得，
故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．
对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．
综上可得①③⑤正确．
故答案为①③⑤
【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．
序号
题型
重难点题型1
函数的单调性及其应用
重难点题型2
利用函数的单调性，求参数的范围
重难点题型3
函数的奇偶性及其应用
重难点题型4
利用函数的奇偶性，求参数的范围
重难点题型5
对称性与周期性
重难点题型6
类周期函数（值域倍增、值域倍减）
重难点题型7
抽象函数的单调性、奇偶性与周期性
重难点题型8
函数性质的综合应用