2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题4.4三角函数的图象与性质(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题4.4三角函数的图象与性质(学生版+解析)，文件包含2026年高考数学复习举一反三讲义全国通用专题51平面向量的概念及线性运算教师版docx、2026年高考数学复习举一反三讲义全国通用专题51平面向量的概念及线性运算学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19735" 【题型1 三角函数图象的识别及应用】 PAGEREF _Tc19735 \h 3
\l "_Tc15285" 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 PAGEREF _Tc15285 \h 5
\l "_Tc553" 【题型3 根据三角函数的值域（最值）求参数】 PAGEREF _Tc553 \h 7
\l "_Tc9559" 【题型4 三角函数的奇偶性与对称性问题】 PAGEREF _Tc9559 \h 9
\l "_Tc4061" 【题型5 三角函数的周期性问题】 PAGEREF _Tc4061 \h 11
\l "_Tc27911" 【题型6 求三角函数的单调区间、比较大小】 PAGEREF _Tc27911 \h 12
\l "_Tc29832" 【题型7 根据三角函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc29832 \h 14
\l "_Tc24957" 【题型8 三角函数的零点问题】 PAGEREF _Tc24957 \h 17
\l "_Tc12005" 【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc12005 \h 19
1、三角函数的图象与性质
知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcsx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcsx+b(sinx±csx)+c的三角函数，可先设t=sinx±csx，化为关于t的二次函数求值域(最值).
知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acs(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=
kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），
求x即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).
知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【方法技巧与总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acs(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
【题型1 三角函数图象的识别及应用】
【例1】（2025·甘肃白银·模拟预测）函数fx=sinπx+sin3πx3+x2−x的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解题思路】根据函数的对称性，并代入特值可得解.
【解答过程】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项，
但满足f1−x=sinπ1−x+sin3π1−x3+1−x2−1−x =sinπx+sin3πx3+x2−x=fx，
因此fx的图象关于直线x=12对称，可排除AB，
又f12=sinπ2+sin3π23+122−12=5120排除A，B，即可求解.
【解答过程】由题意，函数fx=5xcsxex+sinx的定义域为(−∞,+∞)，关于原点对称，
且f−x=5−xcs−xe−x+sin−x=−5xcsxex−sinx=−fx所以函数fx是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当x∈0,π2时，fx>0排除A，B;
故选：D．
【变式1-3】（2025·四川·一模）函数fx=14csπx⋅ex−e−x，x∈−4,4的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解题思路】根据条件，得到f(x)为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合csπx与ex−e−x在x∈72,4上的正负值，即可求解.
【解答过程】因为定义域关于原点对称，又f−x=14cs(−πx)⋅e−x−ex=−14csπx⋅ex−e−x=−f(x)，
即fx=14csπx⋅ex−e−x为奇函数，所以选项A和B错误，
又当x=72时，csπx=cs7π2=0，当x∈72,4时，πx∈(7π2,4π)，此时csπx>0，
又易知当x>0时，ex−e−x>0，所以x∈72,4时，fx>0，结合图象可知选项C错误，选项D正确，
故选：D.
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】
【例2】（2024·广东湛江·二模）函数fx=4sin5x−π6在0,π5上的值域为（ ）
A．−2,2B．−2,4C．−23,4D．−23,2
【答案】B
【解题思路】先求得5x−π6的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【解答过程】因为x∈ 0,π5，所以5x−π6∈−π6,5π6，所以sin5x−π6∈−12,1，
故fx=4sin5x−π6在0,π5上的值域为−2,4.
故选：B.
【变式2-1】（24-25高一下·北京海淀·期中）函数y=tanx+π4的定义域为（ ）
A．xx∈R,x≠3π4+kπ,k∈ZB．xx∈R,x≠π4+kπ,k∈Z
C．xx∈R,x≠3π4+2kπ,k∈ZD．xx∈R,x≠π4+kπ2,k∈Z
【答案】B
【解题思路】由正切函数的定义域可得.
【解答过程】y=tanx+π4的定义域满足x+π4≠π2+kπ,k∈Z，解得x≠π4+kπ,k∈Z.
故函数定义域为{x|x∈R,x≠π4+kπ,k∈Z}
故选：B.
【变式2-2】（2025·山西·模拟预测）设函数fx=sin2x在区间π6,7π12的最小值和最大值分别为m和M，则M−m=（ ）
A．2B．32C．2−32D．1+32
【答案】B
【解题思路】由正弦函数的性质，即可得到结果.
【解答过程】若x∈π6,7π12，则2x∈π3,7π6，
由正弦函数的性质可知，
当2x=76π时，函数取得最小值，即m=−12，
当2x=π2时，函数取得最大值，即M=1，
所以M−m=32.
故选：B.
【变式2-3】（2025·河南·三模）函数f(x)=2sin(2x+φ)0