专题6.2 等差数列及其前n项和（练习+答案）——2026届高三数学一轮复习

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析5
【课程标准】5
【考情分析】5
【2026考向预测】5
三、知识点•逐点夯实6
知识点1、等差数列的有关概念6
知识点2、等差数列的有关公式6
知识点3、等差数列的常用性质6
知识点4、等差数列的前n项和公式与函数的关系6
知识点5、等差数列前n项和的最值7
知识点6、其它衍生等差数列7
四、重点难点•分类突破7
考点1 等差数列基本量的计算7
考点2 等差数列的判定与性质8
考点3 等差中项的应用10
考点4 等差数列前n项和的性质10
考点5 等差数列的前n项和的最值问题11
考点6 等差数列的综合应用12
五、必考题型•分层训练14
A、基础保分14
B、综合提升15
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
9．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
10．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个.
11．（2022·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
12．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足，
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求．
13．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
14．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
15．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
16．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
17．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
18．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
20．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）理解等差数列的概念．
（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算．
（2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
三、知识点•逐点夯实
知识点1．等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母表示，定义表达式为 （常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有 ．
知识点2．等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是 ．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和 ．
知识点3．等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4），…也成等差数列，公差为．
（5）若，是等差数列，则也是等差数列．
（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
（7）若项数为偶数，则；；．
（8）若项数为奇数，则；；．
（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
知识点4．等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
知识点5．等差数列的前n项和的最值
公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
特别地
若，则有 （所有正项或非负项之和）；若，则有 （所有负项或非正项之和）．
知识点6．其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为 ．
②等长度截取为等差数列，公差为 ．
③算术平均值为等差数列，公差为 ．
【解题方法总结】
（1）等差数列中，若，则．
（2）等差数列中，若，则．
（3）等差数列中，若，则．
（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．
四、重点难点•分类突破
考点1 等差数列基本量的计算
例1、（2025·江苏徐州·模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．23B．25C．30D．35
例2、（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ．
【变式训练1】、（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式训练2】、（2025·广东广州·三模）已知等差数列的前n项和为，则 ．
考点2 等差数列的判定与证明
例3、（2025·福建厦门·三模）已知数列的前项和为，，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，
（i）求数列的前项和；
（ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式.
例4、（2025·河南许昌·三模）在数列中，，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项和，并比较与的大小．
【变式训练3】、（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式及前n项和；
(3)记，求数列的前n项和．
【变式训练4】、（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
考点3 等差中项的应用
例5、（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ）
A．B．C．16D．9
例6、（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 .
【变式训练5】、（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6】、（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则 ．
考点4 等差数列的前n项和的性质
例7、（2025·山西·模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则 .
例8、（2025·海南海口·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．25B．26C．27D．28
例9、（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ．
【变式训练7】、（2025·贵州黔南·三模）记为等差数列的前项和，若，则 .
【变式训练8】、（2025·北京海淀·三模）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ）
A．51B．66C．D．6
【变式训练9】、（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
考点5 等差数列前n项和的最值问题
例10、（2023·云南·三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
例11、（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12B．13C．14D．25
【变式训练10】、（2023·青海西宁·二模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为 .
【变式训练11】、（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
考点6 等差数列的综合应用
例12、（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式以及；
(2)记数列的前项和为，求满足的的最小值；
(3)若数列满足：，求数列的前14项和．
例13、（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
【变式训练12】、（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
【变式训练13】、（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
五、分层训练
一、单选题
1．（2025·山东德州·三模）已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A．2B．8C．16D．32
2．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2025·云南·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，则 .
6．（2025·广东汕尾·模拟预测）已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则 ．
7．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则 .
三、解答题
8．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项和.
9．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为 ．
11．（2024·四川雅安·一模）记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为 ．
12．（2024·河北·模拟预测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
13．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度
2024年新I卷，第19题,17分
等差数列通项公式的基本量计算
一般
2024年新Ⅱ卷，第12题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
较难
2024年全国甲卷，第4题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
利用等差数列的性质计算
等差数列前n项和的基本量计算
简单
2023年新I卷，第7题,5分
由递推关系证明数列是等差数列
等差数列前n项和的性质
一般
2023年新I卷，第20题,12分
等差数列通项公式的基本量计算利用等差数列的性质计算
等差数列前n项和的基本量计算
一般
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分
利用定义求等差数列通项公式
等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和
一般
2022年新I卷，第17题,10分
利用等差数列通项公式求数列中的项
简单
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分
等差数列通项公式的基本量计算
简单