2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题6.2等差数列及其前n项和(六类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题6.2等差数列及其前n项和(六类重难点题型精练)(学生版+解析)，共43页。试卷主要包含了在等差数列中，，，则的公差为等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 等差数列基本量的求解
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
2．（2025·江苏南通·模拟预测）设为等差数列，且，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列中，且，，成等比数列，则（ ）
A．7B．11C．18D．1
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．23B．25C．30D．35
5．在等差数列中，，，则的公差为（ ）
A．1B．2C．4D．8
6．（2025·浙江金华·三模）已知等差数列的前n项和为，，则公差 .
7．（2025·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则 ．
8．（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ．
9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，则 .
10．（2025·云南·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，则 .
重难点题型2 等差数列的性质及应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南·一模）已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是等差数列，公差，且，，成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．27B．28C．54D．55
6．（2025·山东聊城·三模）记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ）
A．0B．6C．12D．18
7．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．124B．138C．156D．162
8．（2025·吉林长春·模拟预测）已知在等差数列中，是正整数，且，设为数列的前n项和，若，则 ．
9．（2025·山东青岛·二模）记等差数列的前项和为，且，则 ．
10．（2025·河北邯郸·二模）已知等差数列的前项和为，且，则公差 ．
11．等差数列，前n项和分别为与，且，则 ．
重难点题型3 等差数列前n项和的性质及应用
1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是等差数列，公差，且，，成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖南·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则 .
3．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列满足公差．
(1)求；
(2)记数列的前项和为，若，求数列中的最小项．
6．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)若时，有，求的最小值．
7．（2025·河南·一模）已知数列的各项均不为0，其前项和为，且.
(1)若，求；
(2)若，求.
8．在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
重难点题型4 等差数列的单调性与最值
1．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12B．13C．14D．25
3．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（ ）
A．20B．64C．45D．50
5．（2025·河北石家庄·三模）（多选题）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列
B．当且仅当时，取得最大值
C．
D．是等比数列
6．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选题）已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列中有最大项B．数列中有最小项
C．若，则D．若，，则取最小值时
7．（2025·福建泉州·一模）（多选题）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则B．若不是递增数列，则
C．若，则D．若的最小值为3，则
8．（多选题）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．
C．D．数列是递减数列
9．已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为 .
10．（2014·江西·高考真题）在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 .
重难点题型5 等差数列的判断及证明
1．（24-25高三下·广东·开学考试）在数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列.
(2)求的通项公式.
(3)若，求数列的前项和.
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，.
(1)证明：数列也为等差数列；
(2)若，数列是以数列的公差为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和，证明：.
3．（2024·全国·模拟预测）数列的前项和满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，证明：数列的前项和满足．
4．（2023·河南·模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
5．（2023·安徽合肥·模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
6．（2023·辽宁沈阳·一模）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
重难点题型6 含有绝对值的等差数列求和
1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
2．在公差为的等差数列中，已知，且.
(1)求；
(2)若，求.
3．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和．
4．（23-24高三上·江苏淮安·月考）已知是等差数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式与前项和；
(2)若，求数列的前项和.
序号
题型
重难点题型1
等差数列基本量的求解
重难点题型2
等差数列的性质及应用
重难点题型3
等差数列的前n项和的性质及应用
重难点题型4
等差数列的单调性及最值
重难点题型5
等差数列的判断及证明
重难点题型6
含绝对值的等差数列求和
专题6.2等差数列及其前n项和
目录●重难点题型分布
重难点题型1 等差数列基本量的求解
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
2．（2025·江苏南通·模拟预测）设为等差数列，且，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算
【分析】由等差数列的通项公式求解出基本量，计算求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由于，
，，
解得，，
所以.
故选：C
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列中，且，，成等比数列，则（ ）
A．7B．11C．18D．1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】等比中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】由题设结合等差数列通项公式与等比中项的应用列式求出公差d，并得到通项公式即可求解．
【详解】设正项等差数列公差为，
又，所以，，
因为，，成等比数列，
所以，则，解得或（舍去），
则，故．
故选：A
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．23B．25C．30D．35
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】根据等差数列奇数项前项和的性质，求出及即可得解.
【详解】由，得，
可得，
，
故选：C
5．在等差数列中，，，则的公差为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算
【分析】由等差数列的通项公式列方程求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，
解得，所以数列的公差为2.
故选：B.
6．（2025·浙江金华·三模）已知等差数列的前n项和为，，则公差 .
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】根据等差数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
7．（2025·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和
【分析】根据等差数列的通项公式及等差数列奇数项和的性质求积.
【详解】因为，解得，
所以，解得，
所以，
故答案为：
8．（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算
【分析】利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为，
则，
故.
故答案为：
9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】由基本量法可得首项与公差的关系，从而可求的值.
【详解】设公差为，故，
整理得，而，
故答案为：.
10．（2025·云南·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和
【分析】根据等差数列的通项转化已知可得，根据前项和可得的值.
【详解】由，可得，
所以，则，
故.
故答案为：.
重难点题型2 等差数列的性质及应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
3．（2025·湖南·一模）已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项
【分析】根据等差数列通项公式和等比中项公式即可计算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
则由题，即或（舍去），
所以.
故选：B
4．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是等差数列，公差，且，，成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用
【分析】利用等比中项的性质可求公差与首项的关系，再利用等差数列的性质可求.
【详解】∵成等比数列，∴，
整理得，又∴
∴
故选：C．
5．（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．27B．28C．54D．55
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、由Sn求通项公式
【分析】利用等差数列的通项公式及性质求出和，再将转化为，即可求解.
【详解】设数列的公差为，
数列是等差数列，，
解得，即，①
，，解得，
代入①中得，，
，，即，
，即，解得.
故选：A.
6．（2025·山东聊城·三模）记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ）
A．0B．6C．12D．18
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用
【分析】由等差数列的性质可得，再由等比中项的性质可得，结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由可得，即，
又，，成等比数列，所以，即，
化简可得，解得或（舍），
则，所以，
则.
故选：C
7．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．124B．138C．156D．162
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和
【分析】利用等差数列的等差中项性质来解题即可.
【详解】．
又．
故选：C．
8．（2025·吉林长春·模拟预测）已知在等差数列中，是正整数，且，设为数列的前n项和，若，则 ．
【答案】5
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和可得，再由正整数的条件推得是正整数即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由，，即，
由，得数列是递增的，而，又是正整数，
则是正整数，于是是正整数，而，即是正偶数，
是正奇数，且，因此，，，，符合题意，
所以.
故答案为：5
9．（2025·山东青岛·二模）记等差数列的前项和为，且，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项
【分析】利用通项与前项和的关系，把等式转化为的递推关系，利用等差数列公式即可求解.
【详解】由代入已知可得：，
可得是公差为2的等差数列，因为，所以，
即，
所以，
故答案为：.
10．（2025·河北邯郸·二模）已知等差数列的前项和为，且，则公差 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】利用等差数列的前项和公式与通项公式即可求解.
【详解】由题意得，解得．
故答案为：.
11．等差数列，前n项和分别为与，且，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、等差数列前n项和的二次函数特征、利用an与sn关系求通项或项
【分析】根据题意结合等差数列前n项和的形式特征设，再根据前n项和与通项公式之间的关系求，代入结合等差中项分析运算.
【详解】∵数列，均为等差数列，
∴，
∵，即，
根据等差数列前n项和为，可设，
对于数列，则有：
当时，则；
当时，则；
显然当时，也满足，
故，
同理可得：，
故.
故答案为：.
重难点题型3 等差数列前n项和的性质及应用
1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是等差数列，公差，且，，成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用
【分析】利用等比中项的性质可求公差与首项的关系，再利用等差数列的性质可求.
【详解】∵成等比数列，∴，
整理得，又∴
∴
故选：C．
2．（2025·湖南·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】590
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和
【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由求和公式求解.
【详解】设公差为，
由可得解得，
故，
故答案为：590
3．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，，
所以我们对进行变形，得到，
因为，所以，即，故D正确.
故选：D
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解.
【详解】因为是等差数列，
所以，又，
所以，
故选：C.
5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列满足公差．
(1)求；
(2)记数列的前项和为，若，求数列中的最小项．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和
【分析】（1）求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）先求出，进而可求出数列的通项，再根据函数性质即可得解.
【详解】（1）为等差数列，
，
又，
，
，
，
；
（2），
，
当时，，
当时，，
所以当时，最小，
即数列中的最小项为．
6．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)若时，有，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组求出首项和公差，即可得到结果.
（2）利用等差数列的前项和公式计算可得结果.
（3）根据（1）、（2）可得，解不等式可得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
故．
（3）因为，
所以，
整理得，解得或，
因为，，所以正整数的最小值为．
7．（2025·河南·一模）已知数列的各项均不为0，其前项和为，且.
(1)若，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）令可得，根据可得结果.
（2）分析可得数列的奇数项、偶数项均成公差为2的等差数列，求可得，通过等差数列求和公式可得结果.
【详解】（1）令，可得，
∵，∴，
∵，
∴.
（2）由题意得，.
当时，，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴数列的奇数项、偶数项均成公差为2的等差数列，
∴，
∴.
当时，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴.
8．在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而求得，，即可求得，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可得，然后分与，结合等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）在等比数列中，，且，
所以，，即，则，
因为2是与的等比中项，所以，，
因为数列是递减数列，则，则，所以，，，
所以，，
所以，；
（2）因为，
当时，，.
当时，，
.
综上所述，.
重难点题型4 等差数列的单调性与最值
1．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用、数列不等式能成立（有解）问题
【分析】设等差数列的公差为，根据成等比数列，利用等比中项求得和公差，再由等差数列前n项和公式结合条件求解即可.
【详解】设数列的公差为，
因为，成等比数列，
所以， 解得，
所以，
故.
由，得，解得.
∵，∴的最大值为.
故选：D.
2．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12B．13C．14D．25
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数
【分析】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断.
【详解】由可得，由等差数列的性质可得：，
因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列，
故，即取最小值时，的值为14.
故选：C.
3．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、基本不等式求和的最小值
【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解.
【详解】，解得，
由于为正项等差数列，则，解得，
，等号成立当且仅当，
所以的最大值为8.
故选：C.
4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（ ）
A．20B．64C．45D．50
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、基本不等式求和的最小值
【分析】由等差数列的性质可得，再利用基本不等式可求的最大值.
【详解】因为，故，故，
故，而，故，
故，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：B.
5．（2025·河北石家庄·三模）（多选题）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列
B．当且仅当时，取得最大值
C．
D．是等比数列
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、求等差数列前n项和的最值、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项
【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项.
【详解】由题意可知，，则，
故数列为递减数列，故A正确；
因二次函数的对称轴为，且开口朝下，
则当或时，取得最大值，故B错误；
当时，，
则，
又，符合上式，故，故C正确；
令，则，则是等比数列，故D正确.
故选：ACD
6．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选题）已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列中有最大项B．数列中有最小项
C．若，则D．若，，则取最小值时
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值
【分析】AB选项，根据首项和公差即可判断最大项及是否有最值；结合等差数列前n项和性质来判断CD选项.
【详解】对于A，因为，且，故中无最大项，A错误；
对于B，，，故，，，则为中的最小项（当时，，均为中的最小项），B正确；
对于C，若，则可知，，即，则可知，故，C正确；
对于D，，则可知，则，又，则可知，则，即，故，故最小，D错误.
故选：BC.
7．（2025·福建泉州·一模）（多选题）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则B．若不是递增数列，则
C．若，则D．若的最小值为3，则
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数
【分析】A选项，根据等差数列前项和公式判断；B选项，利用得到，然后根据增减性列不等式即可；C选项，列不等式，然后解不等式即可；D选项，将的最小值为3转化为恒成立，然后分和两种情况分析即可.
【详解】若为等差数列，则，
所以，解得，，故A正确；
，则，，
当时，，
所以，
因为不是递增数列，所以或，则，故B正确；
若，则，
整理得，又，所以，故C错；
因为的最小值为3，所以恒成立，
即，当时，成立，
当时，，则，故D正确.
故选：ABD.
8．（多选题）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．
C．D．数列是递减数列
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、前n项和与n的比所组成的等差数列
【分析】利用等差数列的通项公式及已知得，结合等差数列的前n项和公式、等差数列的定义和性质判断各项的正误.
【详解】设的公差为，又，则，
所以，即，A、B对；
，C错；
由，则，
所以数列是递减的等差数列，D对.
故选：ABD
9．已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为 .
【答案】7
【难度】0.85
【知识点】求等差数列中的最大（小）项、二次函数法求等差数列前n项和的最值
【分析】根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值.
【详解】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得
则.又，∴当时，取得最大值.
方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，
∴，解得，
则，
令
解得，又，
∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当取得最大值时，.
故答案为：7.
10．（2014·江西·高考真题）在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数
【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解.
【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值，
所以数列是递减数列，
又，所以 ，
解得，
所以d的取值范围为.
故答案为：
重难点题型5 等差数列的判断及证明
1．（24-25高三下·广东·开学考试）在数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列.
(2)求的通项公式.
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.85
【知识点】判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明.
（2）由（1）的结论与等差数列通项公式即可得到结果.
（3）利用分组求和与等差等比前n项和公式即可求得结果.
【详解】（1）证明：因为，所以，
所以.
因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
（2）解：由（1）可得，
则，故.
（3）解：由（2）可得，
则
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，.
(1)证明：数列也为等差数列；
(2)若，数列是以数列的公差为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和
【分析】（1）通过计算为定值可证明等差数列；
（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求，根据的结构即可证明不等式.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵数列是公差为的等差数列，
∴，
∴，
∴数列是以为公差的等差数列；
（2）∵，
∴，，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴，
∴①，
∴②，
∴②①得，
，
∵且为正整数，
∴，，
∴（当时取等）.
3．（2024·全国·模拟预测）数列的前项和满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，证明：数列的前项和满足．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】判断等差数列、求等差数列前n项和、裂项相消法求和
【分析】（1）由等式，分别写出将替换后和两边同加后关于的式子，利用其相等得到关于两项的递推关系式，证明即可；
（2）求出数列的通项公式，并对该通项放缩后，采用裂项相消法求其前项和，证明即可.
【详解】（1）由题意（*），
两边同加项，得：，
由（*）式可得：
，
所以，
得，
即成立，
当时，，得；
综上，恒成立，所以是以2为公差的等差数列．
（2）由第（1）问及题意，
得等差数列中，，公差为，
其前项和为：
，
，
当时，成立；
当时，
则，
即
易知，，
其中
，
所以；
综上所述，对于，恒成立．
4．（2023·河南·模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用整理化简可得，再结合得到数列为等差数列，即可求出数列的通项公式，将数列的通项公式代入，计算即可得结论；
（2）利用数列的通项公式即可得数列的通项公式；
（3）先利用错位相减法求出，再将恒成立转化为，构造，计算的正负确定其单调性，进而可得最值.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，，
所以，
整理得，①
所以，②
由①-②得，所以数列为等差数列，
因为，所以数列的公差为，
所以.
设，
则，
因为（常数），
所以数列是等差数列；
（2）设数列的公比为，
结合（1）及已知得，
解得，所以；
（3）由（1）（2）得，，
所以，①
又②
①-②，得，
所以，
由，解得.
设，则，
故，
因为，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则，即的取值范围为.
5．（2023·安徽合肥·模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以为公比为的等比数列，
又，
所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
6．（2023·辽宁沈阳·一模）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【难度】0.65
【知识点】数量积的坐标表示、判断等差数列、裂项相消法求和
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算可得，进而可得，结合等差数列的定义分析证明；
（2）利用裂项相消法分析证明.
【详解】（1）由题意可得：，
则，可得，
故数列是以首项，公差的等差数列.
（2）由（1）可得：，
则，
∵，故.
重难点题型6 含有绝对值的等差数列求和
1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和
【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解；
（2）结合（1）得到，再分和两种情况即可．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为，所以．
又因为，则，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，.
2．在公差为的等差数列中，已知，且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)当时，，
当时，；
(2)65
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和
【分析】（1）根据基本量进行计算；（2）先判断前10项为正数，再计算即可.
【详解】（1）由，，
，解得或，
当时，，
当时，；
（2）由， ，
所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，
所以==.
3．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可；
（2）由错位相减法可得结果；
（3）分和两种情况求和计算结果.
【详解】（1）设公差为，公比为，
，故，，
，故，
联立，解得或（舍去），
故，；
（2），
设数列的前项和为，
则，①
，②
两式①-②得：，
所以；
（3）令，设数列的前项和为，
则，
由，解得，
当时，，则，
当时，，
则
，
综上：.
4．（23-24高三上·江苏淮安·月考）已知是等差数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式与前项和；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解，
（2）根据当时，，；当时，，，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得.
所以数列的通项公式为，
数列的前项和.
（2）由得，所以当时，，；
由得，所以当时，，.
所以，当时，；
当时，
.
所以，.
序号
题型
重难点题型1
等差数列基本量的求解
重难点题型2
等差数列的性质及应用
重难点题型3
等差数列的前n项和的性质及应用
重难点题型4
等差数列的单调性及最值
重难点题型5
等差数列的判断及证明
重难点题型6
含绝对值的等差数列求和