2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.7离散型随机变量及其分布列、数字特征(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.7离散型随机变量及其分布列、数字特征(学生版+解析)，共15页。学案主要包含了全国通用，方法技巧与总结，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28859" 【题型1 离散型随机变量分布列】 PAGEREF _Tc28859 \h 3
\l "_Tc21756" 【题型2 离散型随机变量分布列的性质】 PAGEREF _Tc21756 \h 5
\l "_Tc11753" 【题型3 离散型随机变量的均值】 PAGEREF _Tc11753 \h 6
\l "_Tc28357" 【题型4 离散型随机变量的方差】 PAGEREF _Tc28357 \h 7
\l "_Tc29500" 【题型5 均值与方差中的决策问题】 PAGEREF _Tc29500 \h 8
\l "_Tc21221" 【题型6 离散型随机变量与其他知识综合】 PAGEREF _Tc21221 \h 10
1、离散型随机变量及其分布列、数字特征
知识点1 离散型随机变量及其分布列
1．随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
(2)分布列的表格表示
分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①pi≥0，i=1，2，…，n；
②p1+p2+…+pn=1.
3．离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
4．离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；
第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
知识点2 离散型随机变量的数字特征
1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则称E(X)=x1 p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量X的分布列为
则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为.
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
3．均值与方差的性质
(1)均值的性质
若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)=
E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当a=0时，E(b)=b；
当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；
当b=0时，E(aX)=aE(X).
(2)方差的有关性质
当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).
特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；
当b=0时，D(aX)=a2D(X).
4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
【方法技巧与总结】
1．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数.
2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
3．D(X)=E(X2)-(E(X))2.
4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
【题型1 离散型随机变量分布列】
【例1】（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为13和23.每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列；
(3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率.
【变式1-1】（2025·贵州毕节·一模）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为23，乙每次射击命中目标的概率都为13．
(1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练．求第三次射击就结束训练的概率；
(2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练．若甲先射击，求：
①甲射击一次就结束训练的概率；
②求结束训练时甲射击次数的分布列．
【变式1-2】（2025·湖北黄冈·二模）某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为23和34；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和32−p，其中12r>0，现在小队计划两种方案参加游戏.
方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后；
（ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目X的分布列和期望EX；
（ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小.
【变式5-2】（2025·河北秦皇岛·一模）某大学舞蹈社有4名男生、2名女生，现要举办社团巡礼活动，拟从这6人中抽取2人参加巡礼活动中的相应比赛，比赛有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三项，被选中的人可以根据自身情况选择参加比赛的项数，具体如下：
每参加1项比赛，社团的积分将增加100分.
(1)在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
(2)求该舞蹈社团最终的积分为600分的概率；
(3)现学校对参加比赛的社团提出两种嘉奖方案．
方案一：每个社团奖励“参与奖”400元；
方案二：对参加比赛的社团最后获得的积分以“1积分=1元”奖金进行兑换.
若你是舞蹈社社长，以获得的奖励金额的期望为决策依据，判断哪种方案比较有利.
【变式5-3】（2025·湖北·二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为13，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为12，中奖与否互不影响.
(1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
(2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.
【题型6 离散型随机变量与其他知识综合】
【例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为13，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为12；如果上一局失败，则本局获胜的概率为14，每局比赛均没有平局.
(1)该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；
(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ，求ξ的分布列和期望.
【变式6-1】（2025·山东德州·三模）随着信息技术的迅猛发展，智能化家居让人们的生活越来越幸福，智能门锁就是其中之一．智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6年的为优质品．现用A，B两种不同品牌的智能门锁做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以试验结果中各组的频率作为相应的概率．
(1)现从大量的A，B两种品牌的智能门锁中各随机抽取2件产品，求其中至少有3件是优质品的概率；
(2)通过多年统计发现，A品牌智能门锁每件产品的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位：年）的关系如下表：
若从大量的A品牌智能门锁中随机抽取两件，其利润之和记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【变式6-2】（2025·山西临汾·三模）“政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食堂”2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，其中好评有1200位老人，其余均为非好评．为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，其中好评有3200位老人，其余均为非好评．
(1)完成上面：2×2列联表，并依据小概率值α=0.01的χ2的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换厨师有关联；
(2)现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8位老人，再从这8位老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中好评的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
【变式6-3】（2025·江苏南京·三模）魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为35，小吴每局比赛获胜的概率均为25，若采用三局两胜制，两人共进行了X局比赛，求X的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为12，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为35，若负，则他下一局比赛获胜的概率为12，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
一、单选题
1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）设离散型随机变量X服从两点分布，其分布列如下表，则a=（ ）
A．0.2B．0.3C．0.6D．0.7
2．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则P2X−3EYB．EXDYD．DX