2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.6事件的相互独立性与条件概率、全概率公式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.6事件的相互独立性与条件概率、全概率公式(学生版+解析)，共15页。学案主要包含了全国通用，题型3 条件概率，题型4 全概率公式，题型5 贝叶斯公式，方法技巧与总结，变式1-1，变式1-2，变式1-3等内容，欢迎下载使用。

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\l "_Tc3366" 【题型1 相互独立事件的判断】 PAGEREF _Tc3366 \h 3
\l "_Tc24831" 【题型2 相互独立事件的概率】 PAGEREF _Tc24831 \h 4
\l "_Tc18154" 【题型3 条件概率】 PAGEREF _Tc18154 \h 4
\l "_Tc2609" 【题型4 全概率公式】 PAGEREF _Tc2609 \h 5
\l "_Tc21745" 【题型5 贝叶斯公式】 PAGEREF _Tc21745 \h 5
\l "_Tc7139" 【题型6 条件概率与其他知识综合】 PAGEREF _Tc7139 \h 6
1、事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
知识点1 事件的相互独立性
1．事件的相互独立性
(1)定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质
若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.
(3)推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
2．求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
知识点2 条件概率与全概率公式
1．条件概率
(1)条件概率的定义
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)性质
设P(A)>0，Ω为样本空间，则
①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
③设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1-P(B|A).
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A).
3．全概率公式及应用
(1)全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式.
(2)全概率公式的意义
全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解.
4．贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有.
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下：
(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知;
(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；
(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B).
5．求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(BA)=.
(2)样本点法：P(BA)=.
(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.
6．利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
【方法技巧与总结】
1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
【题型1 相互独立事件的判断】
【例1】（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1，2，3，4.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间Ω={1,2,3,4}，记事件A={1,2}，事件B={1,3}，事件C={1,4}，则（ ）
A．事件A,B,C两两独立，事件A,B,C相互独立
B．事件A,B,C两两独立，事件A,B,C不相互独立
C．事件A,B,C不两两独立，事件A,B,C相互独立
D．事件A,B,C不两两独立，事件A,B,C不相互独立
【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为x,y，A表示事件“x>4”，B表示事件“y为奇数”，C表示事件“x+y>8”，D表示事件“x+y=7”，则相互独立的事件是（ ）
A．A与CB．B与CC．C与DD．B与D
【变式1-2】（2025·上海奉贤·三模）如果A,B分别是A,B的对立事件，下列选项中不能判断件A与事件B相互独立的是（ ）
A．P(A∩B)=P(A)⋅P(B)B．P(A∩B)=P(A)⋅(1−P(B))
C．P(B|A)=P(A)D．P(B|A)=P(B)
【变式1-3】（2025·广东湛江·一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立D．事件N与事件Y相互独立
【题型2 相互独立事件的概率】
【例2】（2025·山西临汾·三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（ ）
A．13B．19C．364D．964
【变式2-1】（2025·湖南·三模）已知事件A，B是相互独立事件，且PA=23，PB=34，则PAB=（ ）
A．112B．12C．512D．1112
【变式2-2】（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为12，受到妈妈表扬的概率也为12，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A．12B．14C．34D．1
【变式2-3】（2025·山东济南·模拟预测）某AI训练平台使用强化学习算法训练机器人完成迷宫任务．机器人每次训练有以下规则：若上一轮成功，本轮成功率为p；若上一轮失败，本轮成功率降为p2．已知首轮成功率为23，且前两轮都成功的概率为12．则三轮训练中恰好成功两次的概率为（ ）
A．2764B．932C．49D．316
【题型3 条件概率】
【例3】（2025·江西·三模）从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（ ）
A．23B．12C．25D．13
【变式3-1】（2025·甘肃白银·三模）若P(A)=45,P(B∣A)=23,P(B∣A)=34，则PA∣B=（ ）
A．35B．711C．911D．1115
【变式3-2】（2025·河北·三模）除夕夜吃饺子是中华民族的传统习俗，若一盘饺子共有三种馅，其中猪肉三鲜水饺有6个，素三鲜水饺有7个，羊肉大葱水饺有7个，现从盘中夹取3个饺子，在取到的都是同种馅的条件下，取到的都是羊肉大葱水饺的概率是（ ）
A．718B．7228C．338D．757
【变式3-3】（2025·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（ ）
A．310B．13C．35D．110
【题型4 全概率公式】
【例4】（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则PB=（ ）
A．625B．1350C．725D．1225
【变式4-1】（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ）
A．0.35B．0.32C．0.45D．0.36
【变式4-2】（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ）
A．0.0005B．0.4815C．0.5005D．0.4825
【变式4-3】（2025·广东汕头·二模）某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A．0.7B．0.6C．0.5D．0.4
【题型5 贝叶斯公式】
【例5】（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为6%、5%、3%，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、40%、30%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（ ）
A．2147B．2047C．1847D．310
【变式5-1】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：PAB=PBAPAPB站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．0.1%B．0.4%C．2.4%D．4%
【变式5-2】（2025·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患X疾病的人化验结果99%呈阳性，对未患X疾病的人化验结果99.9%呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区X疾病的患病率为0.0004，则这种检验方法在该地区的误诊率为（ ）
A．0.716B．0.618C．0.112D．0.067
【变式5-3】（2025·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A．37150B．975C．1837D．12
【题型6 条件概率与其他知识综合】
【例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为13，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为12；如果上一局失败，则本局获胜的概率为14，每局比赛均没有平局.
(1)该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；
(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ，求ξ的分布列和期望.
【变式6-1】（2025·湖南·模拟预测）近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
(1)列出2×2列联表并根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为34，12，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
【变式6-2】（2025·全国·模拟预测）在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，……，中国制造为世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）：
(1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？
(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2,0.4,0.3,0.1，当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4，0.3，0.4，0.2．则：
①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？
附表及公式：
K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d．
【变式6-3】（2025·河南·模拟预测）某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件A为“摸出红球”，事件B为“摸出画○的球”．
(1)求PA和PAB．
(2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖．
（ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理；
（ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励4a元，二等奖奖励2a元，三等奖奖励a元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过340元，则a的最大值为多少？
一、单选题
1．（2025·甘肃白银·三模）已知随机事件A,B发生的概率分别为PA=0.3，PB=0.6，若PBA=0.4，则PAB=（ ）
A．0.5B．23C．0.12D．0.18
2．（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为13，小刚击中靶心的概率为23，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（ ）
A．29B．727C．79D．2027
3．（2025·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，13，若他恰好射中两个靶子的概率是16，那么他三个靶子都没射中的概率是（ ）
A．13B．25C．38D．58
4．（2025·海南·模拟预测）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2:3，其中甲班的女生占35，乙班中女生占25．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A．38B．625C．712D．1225
5．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，PA=0.4，PB=0.6，则下面结论正确的是（ ）
A．事件A与B一定是对立事件
B．PA∪B=1
C．PAB=0.24
D．若事件A、B相互独立，则PAB=0.16
6．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有60%的学生牙齿健康，大约有30%的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有70%的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（ ）
A．3970B．3170C．2635D．935
7．（2025·全国·模拟预测）已知三台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为5%，2%，4%，加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数目之比为4:5:11，现任取一个零件，记事件A=“零件由第1台车床加工”，B=“零件为次品”，则P(A|B)=（ ）
A．15B．110C．537D．1037
8．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有n个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件Aii=0,1,2，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则PA2∣B是（ ）
A．与n有关的常量B．与n有关的变量
C．与n无关的定值，且为114D．与n无关的定值，且为17
二、多选题
9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知A，B为随机事件，且PA=0.5，PB=0.4，则下列结论错误的是（ ）
A．若A,B互斥，则PA∪B=0.9 B．若A,B相互独立，PA∪B=0.7
C．若PAB=0.5，则PBA=0.3 D．若A,B相互独立，则PAB=0.2
10．（2025·河北·模拟预测）已知有甲､乙两个盒子，甲中有3个白球，2个黑球，乙中有1个白球，3个黑球．从甲中取出一个球放入乙中，再从乙中取出一个球放入甲中．记事件A=“从甲中取出的球为白球”；事件B=“从乙中取出的球为白球”；事件C=“甲中最后有3个白球”．下列说法正确的是（ ）
A．PB|A=25B．PB=725
C．PA|B=34D．PA|C=37
11．（2025·贵州·模拟预测）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（ ）

A．PB=0.76
B．A与B相互独立
C．PA∪B=0.94
D．PAB=1819
三、填空题
12．（2025·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为35，乙在每局比赛中获胜的概率为25，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ．
13．（2025·浙江宁波·一模）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 .
14．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)= .
四、解答题
15．（2025·上海金山·三模）有两个罐子，A罐中放有3个白球和2个黑球，B罐中放有5个白球．
(1)若从A罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率；
(2)若从A罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率；
(3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记A罐中黑球的个数为X，求X的分布和数学期望．
16．（2025·全国·模拟预测）随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为23，乙胜丁的概率为35，甲胜丁的概率为34，且各场比赛的结果相互独立．
(1)求甲获得冠军的概率；
(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为23．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率．
17．（2025·广东·模拟预测）为了研究生活习惯 M 与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示．
(1)根据小概率值α=0.050的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关？
(2)常用LBA=PBAPBA表示在事件A发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是有习惯M者”，B表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计LBA的值．
附：χ2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d，
18．（2025·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作A,B,C三幅不同的湘绣作品，已知A,B,C三幅作品通过设计图案环节的概率依次为34,23,45，通过刺绣环节的概率依次为23,34,35.
(1)求A,B,C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
(2)若已知A,B,C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为A的概率；
(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，A,B,C三幅作品成为成品作品的件数为X.求随机变量X的分布列及数学期望EX.
19．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为α0