2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.4随机事件、频率与概率(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.4随机事件、频率与概率(学生版+解析)，共13页。学案主要包含了全国通用，题型4 频率与概率，方法技巧与总结，解题思路，解答过程，变式1-1，变式1-2，变式1-3等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27457" 【题型1 随机事件与样本空间】 PAGEREF _Tc27457 \h 3
\l "_Tc19638" 【题型2 随机事件的关系与运算】 PAGEREF _Tc19638 \h 4
\l "_Tc15927" 【题型3 互斥事件与对立事件的概率】 PAGEREF _Tc15927 \h 6
\l "_Tc20292" 【题型4 频率与概率】 PAGEREF _Tc20292 \h 7
\l "_Tc13790" 【题型5 频率估计概率在统计中的应用】 PAGEREF _Tc13790 \h 10
1、随机事件、频率与概率
知识点1 频率与概率
1．频率与概率的区别
2．频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
知识点2 随机事件
1．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件
A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
(3)不可能事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件.
2．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生.
知识点3 随机事件的关系与概率
1．互斥事件、对立事件的判断
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
2．互斥事件的概率求法
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(A)求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.
【方法技巧与总结】
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
.
【题型1 随机事件与样本空间】
【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（ ）
A．走到十字路口遇到红灯B．冰水混合物的温度是1°C
C．三角形的内角和为180°D．一个射击运动员每次射击都命中7环
【答案】C
【解题思路】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可.
【解答过程】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象；
选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是0°C，事件冰水混合物的温度是1°C不是必然现象；
选项C，三角形的内角和为180°，这个事件为必然现象；
选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象．
故选：C.
【变式1-1】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④向量的模不小于0．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解题思路】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可.
【解答过程】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
故选：B．
【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）下列现象是随机现象的是（ ）
A．买一张福利彩票，中奖B．在标准大气压下水加热到100∘C，沸腾
C．异性电荷，相互排斥D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
【答案】A
【解题思路】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得.
【解答过程】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是；
对于B，在标准大气压下水加热到100∘C，沸腾是必然事件，B不是；
对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是；
对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是.
故选：A.
【变式1-3】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2c，那么事件“a>c”有可能不发生；
②随机试验的频率与概率相等；
③如果一个事件发生的概率为99.9999%，那么说明此事件必然发生；
④只有不确定事件有概率；
⑤若事件A发生的概率为PA，则0≤PA≤1．
A．⑤B．③⑤C．③④⑤D．②③④⑤
【答案】A
【解题思路】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可.
【解答过程】对于①：
因为a>b,b>c⇒a>c，所以事件“a>c”必然发生，所以①错误；
对于②：
频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误；
对于③：
概率为99.9999%的事件不是必然事件，必然事件的概率是100%，所以③错误；
对于④：
确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误；
对于⑤：
任何事件发生的概率都满足0≤PA≤1，所以⑤正确.
故选：A.
【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：
用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（ ）
A．0.18B．0.21C．0.39D．0.40
【答案】C
【解题思路】根据题意利用频率估计概率进行计算.
【解答过程】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为18+21=39人，
所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率P=39100=0.39．
故选：C.
【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1
C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次
【答案】D
【解题思路】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C.
【解答过程】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为16，故A错误；
B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在16附近摆动，故B错误；
C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；
D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为16，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确．
故选：D．
【题型5 频率估计概率在统计中的应用】
【例5】（24-25高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）.
(1)应收集多少个男生样本数据?
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,12，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率.
【答案】(1)120
(2)0.675
【解题思路】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解.
【解答过程】（1）根据分层抽样的方法，
所以男生样本数据个数为30000−1800030000×300=120；
（2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：0.025+0.1+0.15×2+0.125×1=0.675，
所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率0.675.
【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：
(1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）；
(2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）．
【答案】(1)答案见解析
(2)0.5
【解题思路】（1）根据表中数据计算即可；
（2）对（1）中的四组数据取平均值.
【解答过程】（1）男婴出生的频率分别为1145321840≈0.524,1203123070≈0.521,1029720094≈0.512,1024219982≈0.513；
（2）由题意知0.524+0.521+0.512+0.5134≈0.5，
所以该市男婴出生的概率约为0.5.
【变式5-2】（24-25高一下·江苏苏州·开学考试）为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：

(1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；
(2)求频率分布直方图中a,b的值.
【答案】(1)920
(2)a=120，b=340.
【解题思路】（1）先求出样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率，再利用频率估计所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率即可；
（2）估计频率分布直方图的性质求a,b.
【解答过程】（1）由已知，所选的80名职工中有36名职工一周内路边停车的时间少于8小时，
所以样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率为3680=920，
记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A，
则P(A)=920，
所以从该单位随机选取一名职工，所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率为920；
（2）由频率分布直方图的性质可得2a=880,2b=1280，
所以a=8802=120，b=12802=340.
【变式5-3】（24-25高一下·广东广州·阶段练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
(2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
【答案】(1)0.62
(2)新养殖法更加优于旧养殖法.
【解题思路】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率；
（2）利用平均数进行比较判断即可.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62，
所以事件A的概率估计值为0.62；
（2）由频率分布直方图可得
旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为
x1=(27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+
52.5×0.032+57.5×0.020+62.5×0.012+67.5×0.012)×5
=9.42×5=47.1，
新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为
x2=(37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+ 52.5×0.068+57.5×0.046+
62.5×0.010+67.5×0.008)×5
=10.47×5=52.35，
因为x1