2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点24立体几何中的动态、轨迹问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点24立体几何中的动态、轨迹问题(学生版+解析)，文件包含2026年高考数学复习举一反三训练全国通用重难点19数列的单调性周期性最值性质及其应用教师版docx、2026年高考数学复习举一反三训练全国通用重难点19数列的单调性周期性最值性质及其应用学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc14629" 【题型1 动点保持平行的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc14629 \h 2
\l "_Tc2911" 【题型2 动点保持垂直的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc2911 \h 3
\l "_Tc6115" 【题型3 距离（长度）有关的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc6115 \h 3
\l "_Tc21869" 【题型4 角度有关的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc21869 \h 4
\l "_Tc28030" 【题型5 翻折有关的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc28030 \h 5
\l "_Tc1390" 【题型6 轨迹所围图形的周长、面积问题】 PAGEREF _Tc1390 \h 6
1、立体几何中的动态、轨迹问题
立体几何中的“动态、轨迹”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，是高考中的重点、难点问题，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化，复习时要加强这方面的训练.
知识点1 立体几何中的轨迹问题
1．立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材，去探究符合一定条件的点的运动轨迹，处于解析几何和立体几何的交汇处，要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力，以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
知识点2 立体几何中的动态、轨迹问题的解题策略
1．动点轨迹的判断方法
动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.
2．立体几何中的轨迹问题的常见解法
(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.
(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.
(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.
(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.
(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.
【题型1 动点保持平行的动态轨迹问题】
【例1】（2025·江西·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M满足C1M=3MC，若在正方形A1B1C1D1内有一动点P满足BP//平面AMD1，则动点P的轨迹长为（ ）
A．4B．17C．5D．42
【变式1-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是23，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1内的动点，且MN//平面ABC1，则点N的轨迹的长度为（ ）
A．6B．2C．2D．4
【变式1-2】（2025·北京昌平·二模）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP//平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．22B．2C．1D．2
【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若D1F//平面A1EC1，则动点F的轨迹长度为（ ）
A．3B．5C．22D．2
【题型2 动点保持垂直的动态轨迹问题】
【例2】（2025·甘肃·模拟预测）在所有棱长为4的正四棱锥P−ABCD中，M是底面正方形ABCD内一点（含边界），若PM⊥MD，则点M的轨迹长度是（ ）
A．2πB．2πC．22D．22π
【变式2-1】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知正四面体ABCD的棱长为2，点E是BC的中点，点P在正四面体表面上运动，并且总保持PE⊥BC，则动点P的轨迹周长为（ ）
A．4B．33C．4+3D．2+23
【变式2-2】（2024·湖南长沙·三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,M是棱CC1的中点，空间中的动点P满足DP⊥BM，且D1P=1，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．55B．3C．2πD．25π5
【变式2-3】（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，Q是DD1中点，点P在正方体的内切球的球面上运动，且CP⊥AQ，则点P的轨迹长度为（ ）
A．5πB．25πC．5π4D．5π
【题型3 距离（长度）有关的动态轨迹问题】
【例3】（2025·山西忻州·模拟预测）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为4，体积为1203，点N在正六边形A1B1C1D1E1F1内及其边界上运动，若AN=29，则动点N的轨迹长度为（ ）
A．πB．2π3C．4π3D．8π3
【变式3-1】（2025·湖南·三模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，PD⊥平面ABCD，点M是平面ABCD内的动点，且满足线段MC的长度是点M到PD的距离的2倍，则点M的轨迹的长度为（ ）
A．2πB．4πC．6πD．8π
【变式3-2】（2025·四川南充·二模）三棱锥A−BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P为△BCD内部及边界上的动点，AP=22，则点P的轨迹长度为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【变式3-3】（24-25高一下·安徽铜陵·期末）截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥O−ABC，满足OA⊥OB,OB⊥OC,OA⊥OC,OA=3，点P在△ABC内部（含边界）运动，且OP=6，则点P的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ）
A．3π2B．2π2C．π2D．π
【题型4 角度有关的动态轨迹问题】
【例4】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线QB1与直线DB1的夹角为30°，则点Q的轨迹长度为（ ）
A．π2B．πC．2πD．3π
【变式4-1】（2025·全国·模拟预测）已知正四棱锥P−ABCD的体积为423，底面ABCD的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点P在球O的球面上，点E为底面ABCD上一动点，PE与PO所成角为π6，则点E的轨迹长度为（ ）
A．2πB．43πC．6π3D．263π
【变式4-2】（2025·海南海口·一模）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则点P的轨迹长度为（ ）
A．π+42B．42πC．23D．32+π
【变式4-3】（2025·上海徐汇·二模）三棱锥P−ABC各顶点均在半径为22的球O的表面上，AB=AC=22,∠BAC=90°，二面角P−BC−A的大小为45°，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥O−ABC的体积为83；②点P形成的轨迹长度为26π.
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
【题型5 翻折有关的动态轨迹问题】
【例5】（2024·广西南宁·一模）在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°．将菱形沿对角线AC折叠成大小为30°的二面角B′−AC−D．若点E为B′C的中点，F为三棱锥B′−ACD表面上的动点，且总满足AC⊥EF，则点F轨迹的长度为（ ）
A．4+6−22B．4+6+22C．4+6−2D．4+6+2
【变式5-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E（点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
①平面AB1E⊥平面B1EC；②AB1与CF的夹角为定值π3；
③三棱锥B1−AED体积最大值为233；④点F的轨迹的长度为π2.
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
【变式5-2】（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿着对角线BD折起，使点A到达点P的位置，得到三棱锥P−BCD，点M∈平面BCD，且PM=3，若PC=5，则点M的轨迹长度为 .
【变式5-3】（24-25高一下·吉林·期末）已知菱形ABCD的各边长为4，∠D=60°．如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S−ABC，此时SB=6．若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S−ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F轨迹的面积为 ．
【题型6 轨迹所围图形的周长、面积问题】
【例6】（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，BB1=4BE，点P是长方体表面上的动点，若BD1⊥EP，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）
A．32B．3C．6D．26
【变式6-1】（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，P为正方体表面上的动点，且D1P⊥CE.设动点P的轨迹为曲线W，则（ ）
A．W是平行四边形，且周长为22+25
B．W是平行四边形，且周长为32+25
C．W是等腰梯形，且周长为22+25
D．W是等腰梯形，且周长为32+25
【变式6-2】（2024·浙江台州·一模）已知球O的半径为3，P是球O表面上的定点，S是球O表面上的动点，且满足2SO+SP⋅OP=0，则线段OS轨迹的面积为（ ）
A．32πB．35πC．62πD．65π
【变式6-3】（2025·河南·三模）设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱A1B1的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果AM⊥BD1，则点M的轨迹所围成图形的面积为32；
②如果B1M∥平面AEC1，则点M的轨迹所围成图形的周长为352；
③如果EM∥平面D1B1BD，则点M的轨迹所围成图形的周长为2+2；
④如果EM⊥BD1，则点M的轨迹所围成图形的面积为334．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M∈平面A1BCD1，且MAMB=2，则点M的轨迹的长度为（ ）
A．6πB．3πC．23πD．3π2
2．（2025·广西·三模）如图，在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内的一个动点，当PB1+PD=2+10时，点P的轨迹长度是（ ）
A．6πB．4πC．23πD．22π
3．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=90∘且SA=AB=AC=2，若在△SBC内（包括边界）有一动点P，使得AP与平面SBC所成角的正切值为62，则点P的轨迹长为（ ）
A．4π3B．πC．2π3D．6
4．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将边长为2的正方形ABCD沿着对角线BD折起，使点A到达点P的位置，得到三棱锥P−BCD，点M∈平面BCD，且PM=3,若PC=5,则点M的轨迹长度为（ ）
A．32π4B．3π2C．32π2D．32π
5．（2025·江西·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M在正方体内（包含表面）运动，若CM⋅AC1=−32，则动点M的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．316B．38C．34D．32
6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥A−BCD，该三棱锥为鳖臑，O1，O2为半圆柱的圆心，半径为2，BD=4，∠AO2C=60∘，动点Q在△ACD内运动（含边界），且满足BQ=10，则点Q的轨迹长度为（ ）
A．2πB．3πC．22πD．23π
7．（2024·上海·三模）已知OA是圆柱OO1下底面的一条半径，OA=1，OO1=10，P为该圆柱侧面上一动点，PB垂直下底面于点B，若PB=∠AOB，则对于下述结论：①动点P的轨迹为椭圆；②动点P的轨迹长度为22π；以下说法正确的为（ ）
A．①②都正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①②都错误
8．（2025·北京·二模）设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线AA1的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（ ）
A．32B．22+πC．62D．42+π
二、多选题
9．（2025高三·全国·专题练习）如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AB=AA1=BD=2，点G是棱A1D1的中点，若动点P满足PA1=PB，点P的轨迹截该四棱柱所得形状为Ω，则（ ）
A．Ω为平行四边形B．Ω为梯形
C．PA1+PD1的最小值为22D．PG+PD1的最小值为2
10．（2025·江苏苏州·三模）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为侧面BCC1B1内的动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．使三棱锥F−AD1E体积取得最大值的点F唯一
B．存在点F，使得直线C1F与C1E的夹角为π4
C．D1E⊥AF时，点F的轨迹是线段
D．D1E//平面A1C1F时，点F的轨迹长为2133
11．（24-25高二下·湖北·阶段练习）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M为CC1的中点，点P为正方形A1B1C1D1上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面BDA1的点P的轨迹长度为22
B．满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为2
C．存在点P，使得平面AMP经过点B
D．不存在点P满足PA+PM=52
三、填空题
12．（2025·山东滨州·二模）在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC=22，点D为△PAB内（包含边界）一点，且BD⊥CD，则点D的轨迹的长度为 ．
13．（2025·山东威海·三模）在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=4,∠ACB=90°．若Q为侧面PAB内的动点，CQ=22，当该三棱锥的体积最大时，Q的轨迹与AB,PB所围成区域的面积为 ．
14．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形且∠DAB=π3，AA1⊥底面ABCD，AA1=3，点P是四棱柱ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，且直线AP与CC1所成的角为π6，则点P的轨迹长度为 .
四、解答题
15．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E为棱DD1的中点，F是正方形CDD1C1内（含边界）的一个动点，且B1F//平面A1BE，求动点F的轨迹长度.
16．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知AD//BC//FE，平面ABF⊥平面ADEF，AB⊥AF，AF⊥AD，AD=2BC=2EF=2AF=2，点P为梯形ADEF内（包括边界）一个动点，且BP//平面CDE．
(1)求点P的轨迹长度；
(2)当线段BP最短时，直线BP与平面BCEF所成角θ的正弦值为36，求三棱锥P−CDE的体积．
17．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，长方体ABCD−EFGH，底面是正方形， P为AH中点，AB=23,AE=2.

(1)求四棱锥F−ABCD的体积；
(2)正方体ABCD内（包括边界）是否存在点M，使三棱锥P−AMB体积是四棱锥F−ABCD体积的18？若存在，请指出满足要求的点M的轨迹，并在图中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由.
18．（24-25高一下·四川遂宁·期末）如图1，在矩形ABCD中，已知AB=22,BC=2，E为AB的中点，将ΔADE沿DE向上翻折，得到四棱锥A1−BCDE（图2）.
(1)若N为A1C的中点，求证：BN//平面A1DE；
(2)求证：DE⊥A1C；
(3)在翻折过程中，当二面角A1−CD−B为π4时；在平面ABCD内有一动点R满足：直线A1R与底面ABCD所成角正弦值为33，求动点R的轨迹长度.
19．（2025·广东揭阳·三模）如图，三棱锥A−BCD中，点B在平面ACD的射影H恰在CD上，M为HC中点，∠BAH=π6，AB=2，S△ABM=S△ABD=1.
(1)若CD⊥平面BAH，证明：M是CD的三等分点；
(2)记D的轨迹为曲线W，判断W是什么曲线，并说明理由；
(3)求CD的最小值.