2026年高三数学一轮复习之一题多变系列讲义第7题空间几何体的体积(学生版+解析)

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【2024江苏预赛T10】三棱锥中，三条侧棱两两不等，且相互之间夹角都是．若底面的三边长分别为，，，则该三棱锥的体积为______．
根据题意可设，，，不妨设，由余弦定理建立关系式分别求出，，，根据三余弦定理得，即可求得点到平面的距离为，结合的面积由三棱锥的体积公式即可求解.

设，，，不妨设，由余弦定理得:
，
同理得，，
又，，，从而
由于，
得，故，从而，故，
又，从而，解得，，．
由于在平面内的射影为的角平分线，从而根据三余弦定理得:
，则点到平面的距离为，
的面积，
故三棱锥的体积．
故该三棱锥的体积为．
1．如图，在三棱锥中，已知底面是正三角形，，若，分别为和的中点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．16
割补法进行等价转化是求解空间几何体体积常用的方法，其优势在于缩减运算量，本题中根据几何体的特点，也可以利用割补法将三棱锥的体积的计算转化为正四面体的体积从而求解.首先同方法一可求得，，，然后将三棱锥补成边长为3的正四面体，易得，由题意可得即可求解.

设，，，不妨设．
又，，，
从而，即，
由于得，
又，故，从而，
故，又，从而，解得，．
我们将三棱锥补成边长为3的正四面体，由于，
由三棱锥体积公式代入化简可得，故，
故该三棱锥的体积为．
3．在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．正方体的棱长为是的中点，则三棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．2
6．已知正方体的边长为2，，分别是棱，的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为2，则该正三棱台的体积为（ ）
A．52B．C．D．
8．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，侧面与底面所成的二面角的平面角的大小分别为，底面的面积为．若，则关于的正确说法是（ ）．
A．等于B．等于C．等于
D．条件不够，无法确定
9．如图，在六面体中，平面平面，四边形ABCD与四边形是两个全等的矩形，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（ ）
A．288B．376C．448D．600
10．在正四棱锥中，．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在已知正方体中，是棱上的点，且.平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
12．已知三棱柱的棱长均为3，为的中点，在上，且平面，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．