2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03数列中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03数列中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了解答新定义型创新题的基本思路是，解决数列新定义问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc7991" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc7991 \h 2
\l "_Tc19750" 题型一：等分数列 PAGEREF _Tc19750 \h 2
\l "_Tc22265" 题型二：牛顿数列 PAGEREF _Tc22265 \h 3
\l "_Tc27086" 题型三：杨辉三角 PAGEREF _Tc27086 \h 3
\l "_Tc7896" 题型四：斐波那契数列 PAGEREF _Tc7896 \h 5
\l "_Tc31693" 题型五：类周期等差（比）数列 PAGEREF _Tc31693 \h 5
\l "_Tc25250" 题型六：定义新运算 PAGEREF _Tc25250 \h 6
\l "_Tc7990" 题型七：定义新概念 PAGEREF _Tc7990 \h 7
\l "_Tc6069" 题型八：定义新性质 PAGEREF _Tc6069 \h 9
\l "_Tc24375" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc24375 \h 10
\l "_Tc677" 巩固过关 PAGEREF _Tc677 \h 10
\l "_Tc17324" 创新提升 PAGEREF _Tc17324 \h 12
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决数列新定义问题
类比平时研究“熟悉数列”（如等差数列、等比数列）的方式（如分析项与项的关系、推导通项公式等），用同样的研究逻辑分析新数列，降低解题的陌生感。
特殊化研究策略：通过“特殊化”方法（如代入具体数值计算新数列的前几项、分析简单情况下的规律）研究新数列，尝试将新数列的性质与“熟悉数列”的性质关联，借助已知知识解决未知问题。
题型一：等分数列
典例1-1．对于数列，定义，称新数列为数列的一阶差分数列；定义，称新数列为数列的二阶差分数列．若（为常数，），则称数列是二阶等差数列．已知是二阶等差数列，，，，则（ ）
A．2528B．5056C．3578D．7156
典例1-2．规定为数列的一阶差分数列，其中（为正整数）．对正整数，规定为的阶差分数列，其中．若数列有，，且满足（为正整数），则 ．
变式1-1．对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的阶差分，其中.若，则（ ）
A．7B．9C．11D．13
变式1-2．对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列的前n项和为，证明：．
(3)若对恒成立，求λ的取值范围．
题型二：牛顿数列
典例2-1．科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，数列为牛顿数列且，则的值是（ ）
A．8B．2C．D．
典例2-2．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则 .
变式2-1．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则 .
变式2-2．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值．一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的次近似值为 ；设，数列的前项积为．若任意恒成立，则整数的最小值为 ．
题型三：杨辉三角
典例3-1．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ）
A．156B．157C．158D．159
典例3-2．如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）

A．24B．26C．29D．36
变式3-1．（多选）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（ ）
A．第20行中从左到右第14个数与第15个数之比为
B．记第行的第个数为，则
C．第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列，则数列的前项和为
D．第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列，则数列的前项和为
变式3-2．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名．某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的和插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一行构造数列1，2，第二行得到数列1，3，2，第三行得到数列1，4，3，5，2，…，表示第行所有项的和，则 ．
题型四：斐波那契数列
典例4-1．斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．斐波那契数列满足，设，则（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
典例4-2．意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2025项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．（多选）自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
变式4-2．1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用．若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 ．
题型五：类周期等差（比）数列
典例5-1．若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 .
典例5-2．若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．
(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；
(2)若数列满足，求的前项和．
变式5-1．对于数列，若存在正整数，使得对任意正整数，都有（其中为非零常数），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为 ．
变式5-2．数列满足条件：若存在正整数和常数，使得对任意恒成立，则称数列具有性质，也称为类周期数列．
(1)判断数列是否具有性质并说明理由；
(2)数列具有性质，且，前4项成等差，求的前100项和；
(3)若数列既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：为等比数列．
题型六：定义新运算
典例6-1．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．31B．63C．127D．255
典例6-2．定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．
变式6-1．设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则 ；数列的前项和为，则
变式6-2．定义集合与实数间的运算符号*，设 为集合， 为正整数， 且 ，例如 ，.已知 以此类推，令 ，例如 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的通项公式；
(3)设 的前 项和为，试证明 .
题型七：定义新概念
典例7-1．我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列，记的前n项和为，则（ ）
A．20B．15C．12D．10
典例7-2．对于项数为（且）的有穷正整数数列，记，即为中的最小值，设由组成的数列称为的“新型数列”.
(1)若数列为，请写出的“新型数列”的所有项；
(2)若数列满足且其对应的“新型数列”的项数，求的所有项的和.
变式7-1．在一组互不相同的有序数组中定义：在的右边比其大的数的个数称为的“顺序数”，在的右边比其小的数的个数称为的“逆序数”，我们把有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为．
①有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和 ．
② ．
变式7-2．错位重排是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题.现不妨将数字 任意排成一列，如果数字恰好在第个位置上，则称有一个，其中的个数称为数，记为.当时的排列称为排列，并记数字的排列种数为，例如，该种问题就是错位重排问题，也称作问题.
(1)现有一道五选五的选句填空题，需要将选项为的个选项，分别填入题号为的个小题，求每道题都答错的概率(结果保留分数)；
(2)求的通项公式；
(3)设n个数字排位一列且没有的概率，讨论与的大小关系，并说明理由；
(4)证明：为奇数.
题型八：定义新性质
典例8-1．数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”．
①存在等差数列满足“性质Ω”；
②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”；
下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题；B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题；D．①是假命题，②是假命题．
典例8-2．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①为单调数列；②存在实数，对任意都有成立，则称数列具有性质.
(1)若，，判断数列，是否具有性质，并说明理由；
(2)已知离散型随机变量服从二项分布，，，记为奇数的概率为.
（ⅰ）当时，求，；
（ⅱ）求，并证明数列具有性质.
变式8-1．对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（ ）
A．若，则数列不具有性质
B．若，则数列具有性质
C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质
D．若数列和均具有性质，则具有性质
变式8-2．已知数列具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集和是否具有性质；
(2)证明：当时，，，，不可能成等差数列；
(3)证明：当时，，，，，是等比数列．
巩固过关
1．定义：若数列对任意的正整数，都有（为常数），则称为“绝对和数列”，叫作“绝对公和”．已知“绝对和数列”中，，“绝对公和”为3，则其前2009项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．3028
2．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，且，数列的前项和为.则 .
3．若在数列中，对于，，都有（t为常数），则称数列具有性质.已知数列的通项公式为，且具有性质，则的取值范围是 ．
4．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则 ．
5．任取一个大于1的正整数，若是奇数，就将乘以3再加上1；若是偶数，就将除以2．将所得之数反复进行上述两种运算，则经过个步骤后，必将变成1，然后进入循环圈，简称为步“雹程”，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．例如取，根据上述运算规则，先后得出的数为，从而为6步“雹程”．
（1）为 步“雹程”；
（2）若为7步“雹程”，则的最大值为 ．
6．对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
7．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.
(1)证明：数列是“方特数列”；
(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；
(3)证明：当时，数列是“方特数列”.
8．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……
(1)设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；
(2)记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和．
（i）求；
（ii）若成立，求的取值范围．
9．定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列.
(1)若，试举反例说明数列不是数列；
(2)若，证明:数列是数列；
(3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围.
创新提升
1．（多选）已知数列共有项（为不小于5的正整数），且．若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”.记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．中不可能出现连续五项构成等比数列
D．当时，，则的最大值为
2．设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m.记所有这样的不同数列的个数为.例如：当时，所有的不同数列为：与，从而.若，则的通项公式为 .
3．斐波那契数列（Fibnaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，，.若集合为集合的非空子集，则集合中所有元素之和为奇数的概率为 .
4．已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列.
(1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示).
(3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由.
5．若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为．
(1)若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列；
(2)若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比；
(3)若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由．
6．对于给定的正整数，如果正整数能整除，则称是的因子；如果正整数，共同的因子只有1，则称正整数和互素.已知函数表示正整数的因子个数，数列满足以下条件：
①对于任意素数和正整数，都有；
②对于任意的正整数和，若和互素，则.
(1)求，的值，并写出和的关系（无需证明）；
(2)当是偶数时，证明：；
(3)设数列的前项和为，证明：.
重难点专训03数列中的新定义问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc17733" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc17733 \h 1
\l "_Tc7991" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc7991 \h 2
\l "_Tc19750" 题型一：等分数列 PAGEREF _Tc19750 \h 2
\l "_Tc22265" 题型二：牛顿数列 PAGEREF _Tc22265 \h 4
\l "_Tc27086" 题型三：杨辉三角 PAGEREF _Tc27086 \h 7
\l "_Tc7896" 题型四：斐波那契数列 PAGEREF _Tc7896 \h 10
\l "_Tc31693" 题型五：类周期等差（比）数列 PAGEREF _Tc31693 \h 12
\l "_Tc25250" 题型六：定义新运算 PAGEREF _Tc25250 \h 14
\l "_Tc7990" 题型七：定义新概念 PAGEREF _Tc7990 \h 18
\l "_Tc6069" 题型八：定义新性质 PAGEREF _Tc6069 \h 22
\l "_Tc24375" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc24375 \h 26
\l "_Tc677" 巩固过关 PAGEREF _Tc677 \h 26
\l "_Tc17324" 创新提升 PAGEREF _Tc17324 \h 32
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决数列新定义问题
类比平时研究“熟悉数列”（如等差数列、等比数列）的方式（如分析项与项的关系、推导通项公式等），用同样的研究逻辑分析新数列，降低解题的陌生感。
特殊化研究策略：通过“特殊化”方法（如代入具体数值计算新数列的前几项、分析简单情况下的规律）研究新数列，尝试将新数列的性质与“熟悉数列”的性质关联，借助已知知识解决未知问题。
题型一：等分数列
典例1-1．对于数列，定义，称新数列为数列的一阶差分数列；定义，称新数列为数列的二阶差分数列．若（为常数，），则称数列是二阶等差数列．已知是二阶等差数列，，，，则（ ）
A．2528B．5056C．3578D．7156
【答案】C
【详解】由题意可知，，则，故，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故，即，
由累加法可得，当时，．
所以，
故选:C．
【点睛】
典例1-2．规定为数列的一阶差分数列，其中（为正整数）．对正整数，规定为的阶差分数列，其中．若数列有，，且满足（为正整数），则 ．
【答案】
【详解】由已知，，
即为，即，
所以数列从第2项开始向后成等差数列，公差为，
．
故答案为：26.
变式1-1．对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的阶差分，其中.若，则（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】A
【详解】由新定义知，，，
所以，
故选：A
变式1-2．对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列的前n项和为，证明：．
(3)若对恒成立，求λ的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，所以，
所以是公差为1的等差数列，所以.
因为，所以，所以，即.
因为，
所以.
因为，所以.
因为，
所以，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）因为，所以，则，
所以，
故.
（3）由（1），
可化成：
即对恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
所以中最大项为，
所以
题型二：牛顿数列
典例2-1．科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，数列为牛顿数列且，则的值是（ ）
A．8B．2C．D．
【答案】C
【详解】根据题意，
，
所以，
又，
所以为首项是2，公比是的等比数列，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
典例2-2．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则 .
【答案】
【详解】根据题意，，则，
所以，
，
因为，
则，
所以，即，
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则.
故答案为：.
变式2-1．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则 .
【答案】
【详解】，，
，
，
即，又，
数列为等差数列，公差为，首项为1，
.
故答案为：.
变式2-2．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值．一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的次近似值为 ；设，数列的前项积为．若任意恒成立，则整数的最小值为 ．
【答案】
【详解】（1）
，所以
当，所以
当
（2）
因为
所以，为整数，
故答案为：；2
【点睛】关键点点睛：由和，观察得出是本题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
题型三：杨辉三角
典例3-1．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ）
A．156B．157C．158D．159
【答案】B
【详解】设该二阶等差数列为，则；
由二阶等差数列的定义可知，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，
所以
将所有上式累加可得，所以；
即该数列的第13项为.
故选：B
典例3-2．如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）

A．24B．26C．29D．36
【答案】B
【详解】依题意，题中的等比数列为，故该数列前项和，则，
要使数列中只取得整数项，需使是5的正整倍数即可，即使的最末位是1或6即可，
于是新的数列的项依次为：4，6，9，11，14，16，19，21，24，26，29，31，，
故
故选：B.
变式3-1．（多选）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（ ）
A．第20行中从左到右第14个数与第15个数之比为
B．记第行的第个数为，则
C．第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列，则数列的前项和为
D．第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列，则数列的前项和为
【答案】ACD
【详解】对于A，第20行中从左到右第14个数为，第15个数为，之比为，故A正确；
对于B，，所以，，
所以，故B错误；
对于C，，所以，
则数列的前项和为，故C正确；
对于D，，则数列的前项和为，故D正确，
故选：ACD.
变式3-2．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名．某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的和插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一行构造数列1，2，第二行得到数列1，3，2，第三行得到数列1，4，3，5，2，…，表示第行所有项的和，则 ．
【答案】
【详解】由题可知，，即，故是以为首项，3为公比的等比数列，故，即,
故答案为：.
题型四：斐波那契数列
典例4-1．斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．斐波那契数列满足，设，则（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】B
【详解】根据斐波那契数列定义可得，；
因此可得
，
因此，可得.
故选：B
典例4-2．意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2025项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据斐波那契数列的定义知，数列：，
被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，
余数依次排成一列构成以8为周期的周期数列，，
所以数列的前2025项中被3除余1的项数为，
所以所求概率为.
故选：C
变式4-1．（多选）自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】BCD
【详解】A：，
，
，A错误.
B：，B正确.
C：
，C正确.
D：，，
即
，，，D正确.
故选：BCD.
变式4-2．1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用．若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 ．
【答案】
【详解】由数列…各项除以的余数，
可得数列为，所以数列是周期为的数列，
一个周期中项和为，
又因为，
所以的前项的和．
故答案为：
题型五：类周期等差（比）数列
典例5-1．若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 .
【答案】72
【详解】依题意，，
，
，
，
所以的前16项和为.
故答案为：72
典例5-2．若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．
(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；
(2)若数列满足，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)
【详解】（1）由，，相减得，
所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，
由，，得，
所以．
（2）由，，得，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
综上所述，
变式5-1．对于数列，若存在正整数，使得对任意正整数，都有（其中为非零常数），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为 ．
【答案】1090
【详解】，故，由题意得数列从第二项起连续四项成等比数列，
，
则数列前21项的和为．
故答案为：
变式5-2．数列满足条件：若存在正整数和常数，使得对任意恒成立，则称数列具有性质，也称为类周期数列．
(1)判断数列是否具有性质并说明理由；
(2)数列具有性质，且，前4项成等差，求的前100项和；
(3)若数列既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：为等比数列．
【答案】(1)数列具有性质
(2)
(3)见解析
【详解】（1）解：因为，
所以数列具有性质；
（2）解：设数列的前4项为，
因为数列具有性质，
所以，即，解得，
又，
故
；
（3）证明：因为数列既是类周期2数列，也是类周期3数列，
则可设，其中常数，
于是，故，
又，
所以，
所以，
结合，可得，
即，
所以数列是以为公比的等比数列.
题型六：定义新运算
典例6-1．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．31B．63C．127D．255
【答案】C
【详解】根据题意可得：，
因为数列是等比数列，，则化简得，
因为，所以.
所以.
故选：C.
典例6-2．定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，
所以，
消去，得，
当时，，则，
当时，由及，得，
所以，
因为，，
所以为公差为1的等差数列，为公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，
则
．
变式6-1．设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则 ；数列的前项和为，则
【答案】 16 219
【详解】由，且得，
，
所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，
则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
所以，
当为6的整数倍时，；
当不为6的整数倍时，，所以；
当时，
，
故．
故答案为：16；219
变式6-2．定义集合与实数间的运算符号*，设 为集合， 为正整数， 且 ，例如 ，.已知 以此类推，令 ，例如 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的通项公式；
(3)设 的前 项和为，试证明 .
【答案】(1)，.
(2)
(3)见解析
【详解】（1）由题意可知，，，
所以，.
（2）显然数列的通项公式为，集合中有1个元素，中有2个元素，…，中有个元素，
前个集合中的元素个数为，所以集合中的第一个数是数列的第项，为，集合中共有项，
即,
因为，且 且，
设中的元素为中的第项，则，即，
则，
当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
即.
（3）由（2）可知，，
当为偶数时，
，
设，为偶数，
，
两式相减，
得，
所以，此时，为偶数，
单调递增，当时，取得最小值2，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，
，
设
，
两式相减得
所以，
此时，单调递增，当时，取得最小值2，
所以为奇数时，
综上可知，.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，理解与的关系，第二问求是本题的关键.
题型七：定义新概念
典例7-1．我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列，记的前n项和为，则（ ）
A．20B．15C．12D．10
【答案】B
【详解】因为，，，
所以，
可以看出数列的前30项为,
所以，
故选：B.
典例7-2．对于项数为（且）的有穷正整数数列，记，即为中的最小值，设由组成的数列称为的“新型数列”.
(1)若数列为，请写出的“新型数列”的所有项；
(2)若数列满足且其对应的“新型数列”的项数，求的所有项的和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，，
，
，
，
故数列为.
（2）由题可知：当时，关于单调递减，当时，也关于单调递减，
因为，所以当时，关于单调递减，
因为，所以，又因为，所以，所以共21项，且各项分别与中各项相同.
所以的所有项的和为
.
变式7-1．在一组互不相同的有序数组中定义：在的右边比其大的数的个数称为的“顺序数”，在的右边比其小的数的个数称为的“逆序数”，我们把有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为．
①有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和 ．
② ．
【答案】 10
【详解】①对于有序数组，
3的顺序数为2，逆序数为2；5的顺序数为1，逆序数为2；
7的顺序数为0，逆序数为2；2的顺序数为0，逆序数为1；
故；
②对于有序数组，易知后由个数，
所以的顺序数+逆序数，
所以，
所以，
所以．
故答案为：10；．
变式7-2．错位重排是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题.现不妨将数字 任意排成一列，如果数字恰好在第个位置上，则称有一个，其中的个数称为数，记为.当时的排列称为排列，并记数字的排列种数为，例如，该种问题就是错位重排问题，也称作问题.
(1)现有一道五选五的选句填空题，需要将选项为的个选项，分别填入题号为的个小题，求每道题都答错的概率(结果保留分数)；
(2)求的通项公式；
(3)设n个数字排位一列且没有的概率，讨论与的大小关系，并说明理由；
(4)证明：为奇数.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
(4)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，初始条件，
，
，
，
一共有种，因此概率为：.
（2）若有封信时，其装法可分为两个步骤：
第一步：编号为的信，有种装法；
第二步：重装其余的封信，根据第一步装法可分为两类，
第一类，若编号为的信，装入编号为的信封，，但编号为的信装入编号为的信封，这样有种装法；
第二类，若编号为的信，装入编号为的信封，，但编号为的信不装入编号为的信封，这样有种装法；
由分步乘法和分类加法计数原理，所以，
所以有递推公式，
令，则有，
化简得，从而有，而，
由累乘法知．
而，故也符合该式，于是由累加法知，，
所以，所以.
（3）由(Ⅱ)知：，所以，
所以，
又因为个数字排位一列且没有的概率为，
，
所以，
当为奇数时： ，
当为偶数时： ，
所以当为奇数时，个数字排位一列且没有的概率小于，
当为偶数时，个数字排位一列且没有的概率大于.
（4）根据(Ⅱ)的递推关系及(Ⅰ)的结论，均为自然数；
当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，
又也是偶数，故对任意正奇数，有均为偶数.
下面用数学归纳法证明 (其中)为奇数.当时，为奇数；
假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，，
注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，
又为奇数，所以，即结论对也成立；
根据前面所述，对任意，都有为奇数.
题型八：定义新性质
典例8-1．数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”．
①存在等差数列满足“性质Ω”；
②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”；
下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题；B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题；D．①是假命题，②是假命题．
【答案】B
【详解】设等差数列的首项和公差分别为，
若等差数列满足“性质Ω”；
由可得，故，即，故只需要即可满足“性质Ω”；故①是真命题，
设等比数列的首项和公比分别为，则，
因此存在等比数列不满足“性质Ω”；故②是假命题
故选：B
典例8-2．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①为单调数列；②存在实数，对任意都有成立，则称数列具有性质.
(1)若，，判断数列，是否具有性质，并说明理由；
(2)已知离散型随机变量服从二项分布，，，记为奇数的概率为.
（ⅰ）当时，求，；
（ⅱ）求，并证明数列具有性质.
【答案】(1)不具有，具有，理由见解析；
(2)（ⅰ），；（ⅱ），证明见解析.
【详解】（1）由，得，即是递增数列，而随着的增大，无限增大，
不存在正数，对任意都有成立，数列不具有性质；
由，得，又，则，数列是递减数列，
对任意，，即存在实数，对任意都有成立，
所以具有性质.
（2）（ⅰ）当时，，
.
（ⅱ）随机变量的所有可能取值为，
若为奇数的概率为为偶数的概率为，
，
，
两式相减得，当时，，数列单调递减，
因此数列单调递增，且，所以数列具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题第2问，利用二项式定理的展开式求出是关键.
变式8-1．对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（ ）
A．若，则数列不具有性质
B．若，则数列具有性质
C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质
D．若数列和均具有性质，则具有性质
【答案】D
【详解】因，则，由于是个不同的正整数，
因此不可能相等，故数列不具有性质，故A正确；
B，，故当为偶数时，，此时，
故取为个不同的偶数，此时，
则数列具有性质，故B正确；
取，由A选项可知，数列不具有性质；取，
则，由于是个不同的正整数，因此不可能相等，
故数列不具有性质；，则，
故任取为个不同的正整数，
有，则数列具有性质，故C正确；
取，，则当为奇数时，，
故取为个不同的奇数，此时，
故数列具有性质；当为偶数时，，故取为个不同的偶数，
此时，故数列具有性质；，
则，由于为个不同的正整数，
则，，，不可能相等，
此时数列不具有性质，故D错误.
故选：D
变式8-2．已知数列具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集和是否具有性质；
(2)证明：当时，，，，不可能成等差数列；
(3)证明：当时，，，，，是等比数列．
【答案】(1)不具有，具有.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）集合中且，所以不具有性质,
因为都属于，是具有性质.
（2）因为具有性质,
所以与至少有一个属于，又因，
故，又，故，
同理：，即，故
又，，故，即
假设是等差数列，则由已知得公差
则由得：
解得：与假设矛盾
所以当时，不可能成的差数列.
（3）当时，由（2）知即
，，
，，
由得：，又，
即是以为首项，公比为的等比数列.
巩固过关
1．定义：若数列对任意的正整数，都有（为常数），则称为“绝对和数列”，叫作“绝对公和”．已知“绝对和数列”中，，“绝对公和”为3，则其前2009项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．3028
【答案】B
【详解】由题意得为，，，，，，，，；
故最小的．
故选：B
2．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，且，数列的前项和为.则 .
【答案】/
【详解】由得，
则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
3．若在数列中，对于，，都有（t为常数），则称数列具有性质.已知数列的通项公式为，且具有性质，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题得，故只需考虑时，，，
即，因此．
令，则，所以为递增数列，
则．
所以，即的取值范围为．
故答案为：.
4．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则 ．
【答案】2024
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由,得,
所以，，，...，
将这个式子左右两边分别相加可得:
所以.
所以
,
所以.
故答案为：.
5．任取一个大于1的正整数，若是奇数，就将乘以3再加上1；若是偶数，就将除以2．将所得之数反复进行上述两种运算，则经过个步骤后，必将变成1，然后进入循环圈，简称为步“雹程”，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．例如取，根据上述运算规则，先后得出的数为，从而为6步“雹程”．
（1）为 步“雹程”；
（2）若为7步“雹程”，则的最大值为 ．
【答案】 8 128
【详解】（1）当时，先后得出的数为，
则为8步“雹程”．
（2）当为奇数时，，当为偶数时，，
因为为7步“雱程”，
则，从而．
若为奇数，由，得；
若为偶数，则．
当时，因为不是3的倍数，则为偶数，所以，
从而或3．
当时，因为不是3的倍数，则为偶数，所以，
从而或21．
综上分析，，所以的最大值为128．
故答案为：8；128.
6．对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），其中，
故，故的差分数列为等差数列.
（2）由题设有，
故，由累加法可得，
而，所以，
而也满足该式，故.
7．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.
(1)证明：数列是“方特数列”；
(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；
(3)证明：当时，数列是“方特数列”.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，
，
∴数列满足，即数列是“方特数列”.
（2）当时，，
，满足条件；
当时，，
∵数列是“方特数列”，
∴，.
∴，∴且，
综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为.
（3）当时，由（1）知满足条件，
当且时，，
，
∴，
∴，
，
设，∴，
当时，单调递增；当时，单调递减，∴，
∴，
综上所述，当时，数列是“方特数列”.
8．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……
(1)设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；
(2)记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和．
（i）求；
（ii）若成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)（i）；
（ii）
【详解】（1）由题意可知，，
，
所以数列的一个递推关系为，
所以当时，利用累加法可得
，
将代入得，符合，
所以数列的通项公式为.
（2）（i）利用二项式系数的性质得，
所以，
所以，
，
得，
所以，
所以，
（ii）成立，等价于成立，
等价于成立，令，
所以，即，解得，
所以的最大值为，
所以，即的取值范围是.
9．定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列.
(1)若，试举反例说明数列不是数列；
(2)若，证明:数列是数列；
(3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围.
【答案】(1)说明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）数列，当时，，所以不存在使，所以数列不是数列；
（2）由，得
所以数列满足.
又，当或5时，取得最大值，即.
综上，数列是数列.
（3）因为，
所以当即时，，此时数列单调递增
当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是，
所以，的取值范围是
创新提升
1．（多选）已知数列共有项（为不小于5的正整数），且．若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”.记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．中不可能出现连续五项构成等比数列
D．当时，，则的最大值为
【答案】AB
【详解】对于A，，而，故，故A正确；
对于B，
，所以，故B正确；
对于C，如为反比数列且为等比数列，故C错误；
对于D，因为，所以，故，则，
当时，此时，此时，
当时，此时，此时，
当时，此时，此时，
综上，，故D错误.
故选：AB.
2．设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m.记所有这样的不同数列的个数为.例如：当时，所有的不同数列为：与，从而.若，则的通项公式为 .
【答案】
【详解】当，即时，所有的不同数列为：
，
，
，
，以及，共12个，
故；同理可得，，
由题意知，，
，即，
则时，，，
累加得，又，
，也适合该式，
所以.
故答案为：
3．斐波那契数列（Fibnaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，，.若集合为集合的非空子集，则集合中所有元素之和为奇数的概率为 .
【答案】
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1350个奇数，
记中所有偶数组成的集合为，所有奇数组成的集合为，为集合的子集，
集合中含有奇数个元素的子集为，则所有元素之和为奇数的集合可看成.
易知，集合共有个，集合共有个，
所以所有元素之和为奇数的集合共有个.
又集合的非空子集共有个，所以中所有元素之和为奇数的概率为.
故答案为：.
4．已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列.
(1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示).
(3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由.
【答案】(1)或
(2)，其中.
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，故，
否则，这与为等比数列矛盾.
故，而，故，
故，而，故，即或，
故4阶好数列的各项为：或.
（2）设等差数列的公差为，
由，得，即，
因，则，从而，.
若，则为常数列且常数为0，这与矛盾.
当时，因，，则有，
所以，解得.
由得，则.
所以.
当时，同理可得，即.
由得，则，
所以.
综上，，其中.
（3）因为，故.
故，
结合绝对值不等式取等的条件可得.
故，
当时，
，
所以，
所以与不能同时成立，
所以数列不能为阶好数列.
5．若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为．
(1)若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列；
(2)若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比；
(3)若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由．
【答案】(1)有且只有一个常值“配对和”数列：；
(2)1
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）一方面，数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和，
所以若有两个常值“配对和”数列b，b，…，b以及c，c，…，c，则，即，
即只存在一个常值“配对和”数列．
另一方面，由等差数列的性质，为的一个“配对和”数列，
因此，有且只有一个常值“配对和”数列：；
（2）若，且，则递增，
所以的常值“配对和”数列只能是：，
否则必有两项不相等．注意到若，则，
由此可知，即，矛盾．同理，若此时，也矛盾．
因此，时有．同理，当时，也有．
综上，等比数列的公比．
（3）由题意，此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否，
故不妨设的各项按照从小到大顺序依次为：．
注意到数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和．
因此，若假设存在两个“配对和”数列和，
使得和分别是数列的前3项和后3项，
那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故．
由于数列和构成数列，所以存在．
因为此时是数列中最小的项，故且；
同理，存在，其中且．
由此可知，数列的大小排序为：
因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况：
1．一组：由于，故只能写成中的某两个和，
则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！
2．一组：矛盾理由与情况1同理！
3．一组：则只能，
由于可得，
而，故，故，矛盾；
同理：不能一组，故可得不能一组！
同理：不能一组！
而显然不能一组：如不然，则这与矛盾！
同理：也显然不能一组！
则可能情况只能还有以下两种可能：
4．一组：则，作差得矛盾！
5．一组：由于，那么要由两两配对相加得到，这是不可能的，矛盾！
因此各项非零的数列不存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项．
6．对于给定的正整数，如果正整数能整除，则称是的因子；如果正整数，共同的因子只有1，则称正整数和互素.已知函数表示正整数的因子个数，数列满足以下条件：
①对于任意素数和正整数，都有；
②对于任意的正整数和，若和互素，则.
(1)求，的值，并写出和的关系（无需证明）；
(2)当是偶数时，证明：；
(3)设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）注意到，对于任意的正整数，1和总是互素的，
因此恒成立，即.
又，
故.
令，则；令，则；
令，则；令，则；
令，则；令，所以，
所以的前6项分别为1，2，2，3，2，4．
通过计算特殊的和的值，可以发现：.
（2）证明：设，若是的因子，则且
故，即，
因此，偶数的因子除了外，至多有个
故
（3）考虑奇数，设，若是的因子，则且
故，即，又，故
即
结合（2）问结论，有：
故
且，故原命题得证.