2026年高三数学一轮复习之一题多变系列讲义第10题函数的零点问题-(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变系列讲义第10题函数的零点问题-(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】设函数．
（1）若，则的最小值为______．
（2）若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．
【思路分析】 本题中在上是指数型函数．在上是二次函数，第（1）问求函数的最值，需分类讨论；第（2）问，根据零点个数求参数，须分，两种情况加以讨论，通过验证来实现对x的取值范围的讨论．
【精细解析】（1）当时，，
当时，，无最小值；
当时，．
由二次函数的性质知，时，的最小值为，
∴的最小值为．
（2）当时，无解，有两解，分别为a与，但均小于1，不合题意，故时不成立；
当时，有解，有解或，
要使恰有2个零点，需3个根中有1个不合题意，只有
或．解得或．
综上，实数a的取值范围是．
【题后反思】
本例是分段函数最值和零点问题的探求．由于分段函数是定义域内不同区间内对应关系不同的函数，解题时要把握分类讨论的基本思想．在下面的变式及训练题中，将围绕函数零点问题：求零点（和、范围）、求零点个数、根据零点情况求参数（范围）展开.
【追根溯源】
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2．函数零点的判定定理
3．确定函数零点所在区间的常用方法
函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的3种不同表达形式．确定零点、方程根、函数图像与x轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表述形式，所以常用解法有3种．①解方程法；②利用函数零点的存在性定理；③数形结合法．
同样，判断函数零点个数也是这3种方法．
4．判断函数零点个数的主要方法：
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
5.已知函数有零点（方程有根），求参数取值常用的方法
（1）直接法．直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法．先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决．
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
（4）导数法
【变化角度】变具体含参分段函数为具体函数，根据新含参函数零点个数求参数.
已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为______．
【思路分析】根据函数可化为=a|x|，分段函数涉及一次、二次函数，其图象易于绘制，因此，利用数形结合思想，画出的图像与d的图象；对于“临界”处，应用代数方法探究.
【详解】画出函数的图像如图所示．
函数有4个零点，
即函数的图像与函数的图像有4个交点（根据图像知）．
当时，函数的图像与函数的图像有3个交点，故．
当与相切时，
在整个定义域内，的图像与的图像有5个交点．
此时，由得．
由得，解得或（舍去）．
则当时，两个函数图像有4个交点，故实数a的取值范围是．
【变换角度】变根据含参函数零点个数求参数，为函数在区间存在零点求参数范围.
设函数，若存在实数，使得对任意不为零的实数a，b均有成立，则t的取值范围是______．
【思路分析】本题可以有两种思路．①运用零点存在性定理求解；②运用数形结合求解，画出函数及y=a+b的图象.
【详解】解法一（零点存在性定理）
由题意在区间上对于任意的，均有解．
故在上对于任意的，均有零点．
∵，．故；
ⅰ．若，则t一定要大于1；
ⅱ．若，则．
故在区间上必有零点．
由零点存在性定理可得．
解法二（一“定”一“动”，数形结合）
∵在区间上对于任意的，有解，
即在区间上对于任意以，均有解．
即与在区间上有交点，如图所示，
故．
【变换角度】给出两个含参数的函数，变换问题的提法，将两函数图象的交点问题，转化成根据零点情况求参数.
（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【思路分析】思路一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；思路二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
【变换角度】变根据含参函数零点个数求参数，为探究函数零点个数.
（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：C．
（23-24高一上·广东湛江·期中）
1．设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（23-24高一下·广东东莞·期中）
2．已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ．
（23-24高三下·上海·期中）
3．已知，且，则函数的零点为 .
（23-24高二下·上海·期中）
4．已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为 ．
（2024·江苏徐州·模拟预测）
5．若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
（2024高二上·福建·学业考试）
6．已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
条件
结论
函数y＝f(x)在[a，b]上
y＝f(x)在(a，b)内有零点
(1)图象是连续不断的曲线
(2)f(a)f(b）＜0