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2023届初三升高一数学衔接讲义 第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)
展开2023年初高中衔接素养提升专题讲义
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
【知识点透析】
1、一元二次根的判别式
一元二次方程,用配方法将其变形为:,把叫做一元二次方程的根的判别式,表示为:
(1) 当Δ=时,方程有两个不相等的实数根:
(2) 当Δ=时,因此,方程有两个相等的实数根:
(3) 当Δ=时,因此,方程没有实数根.
【知识点精讲】
【例1】已知关于的一元二次方程,根据下列条件,分别求出的范围:
(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根
(3)方程有实数根; (4) 方程无实数根.
【解析】:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
【变式1】((2022秋·重庆开州·八年级统考期中)使得关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为( )
A.35 B.30 C.26 D.21
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集,根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围,再通过根的判别式确定a的取值范围,最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可.
【详解】解:整理不等式组得:
由①得:,
由②得:x<4
∵不等式组有且只有4个整数解,
∴不等式组的4个整数解是:3,2,1,0,
∴,
解得:,
∵有实数根,
∴
解得:a≤9,
∵方程是一元二次方程,
∴a≠5
∴,且a≠5,
满足条件的整数有:6、7、8、9;
∴6+7+8+9=30,
故选:B.
【变式2】.已知关于x的一元二次方程:x2﹣(2k+1)x+4(k)=0.
(1)求证:这个方程总有两个实数根;
(2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长.
【解答】(1)证明:Δ=(2k+1)2﹣4×1×4(k)
=4k2﹣12k+9
=(2k﹣3)2,
∵无论k取什么实数值,(2k﹣3)2≥0,
∴△≥0,
∴无论k取什么实数值,方程总有实数根;
(2)解:∵x,
∴x1=2k﹣1,x2=2,
∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,
当a、b为腰,则a=b=4,即2k﹣1=4,解得k,此时三角形的周长=4+4+2=10;
当b、c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在.
综上所述,△ABC的周长为10.
【例2】已知实数、满足,试求、的值.
【解析】:可以把所给方程看作为关于的方程,整理得:
由于是实数,所以上述方程有实数根,因此:
,
代入原方程得:.综上知:
【变式1】(2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末)已知,,满足,,,则的值为( )
A. B.5 C.6 D.
【答案】B
【分析】首先把,,,两边相加整理成,分解因式,利用非负数的性质得出、、的数值,代入求得答案即可.
【详解】解:,,,
,
,
,,,
.
故选:B.
【变式2】((2022秋·江苏扬州·八年级统考期中)新定义,若关于的一元二次方程:与,称为“同类方程”.如与是“同类方程”.现有关于的一元二次方程:与是“同类方程”.那么代数式能取的最大值是_________.
【答案】
【分析】根据“同类方程”的定义,可得出a,b的值,从而解得代数式的最大值.
【详解】∵与是“同类方程”,
∴,
∴,
∴,
解得:,
∴
∴当时,取得最大值为2023.
故答案为:.
2、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的两个根为:
所以:,
韦达定理:如果一元二次方程的两个根为,那么:
【知识点精讲】
【例3】若是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
【解析】:由题意,根据根与系数的关系得:
(1)
(2)
(3)
(4)
常见的一些变形结论:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
,,,
,,
等等.韦达定理体现了整体思想.
【例4】.已知关于x的方程.
(1)若,方程两根分别为,,求和的值;
(2)若方程有一正数,有一负数根,求实数m的取值范围.
【答案】.(1), (2)
【解析】(1)由,,借助韦达定
理求解.
(2)借助韦达定理表示方程有一正数,有一负数根的等价条件,进而求解.
【详解】
(1)当时,即:
因此:
(2)
【变式1】已知两不等实数a,b满足,,求的值.
【解析】:是一元二次方程的不等实根
则有
原式=
【变式2】(2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末)设m是不小于﹣1的实数,使得关于x的方程x2+2(m﹣2)x+m2﹣3m+3=0有两个实数根x1,x2.
(1)若,求m的值;
(2)令T=+,求T的取值范围.
【答案】(1)1 (2)0<T≤4且T≠2
【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数,确定m的取值范围,根据根与系数的关系,用含m的代数式表示出两根的和、两根的积.
(1)变形x12+x22为(x1+x2)2-2x1x2,代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程,解方程根据m的取值范围得到m的值;
(2)化简T,用含m的式子表示出T,根据m的取值范围,得到T的取值范围.
(1)
∵关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个实数根,
∴Δ=4(m-2)2-4(m2-3m+3)≥0,解得m≤1,
∵m是不小于-1的实数,
∴-1≤m≤1,
∵方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1,x2,
∴x1+x2=-2(m-2)=4-2m,x1•x2=m2-3m+3.
∵x12+x22=2,∴(x1+x2)2-2x1x2=2,
∴4(m-2)2-2(m2-3m+3)=2,
整理得m2-5m+4=0,解得m1=1,m2=4(舍去),
∴m的值为1;
(2)
T=+,==
====2-2m.
∵当x=1时,方程为1+2(m﹣2)+m2﹣3m+3=0,
解得m=1或m=0.
∴当m=1或m=0时,T没有意义.
∴且
∴0<2-2m≤4且.
即0<T≤4且T≠2.
【变式3】.已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(2)若是整数,求使的值为整数的所有的值.
【答案】(1)不存在k;理由见解析;(2).
【详解】
(1)假设存在实数k,使成立.
∵一元二次方程的两个实数根
∴,
又,是一元二次方程的两个实数根
∴∴
,但 .
∴不存在实数k,使成立.
(2)∵
∴要使其值是整数,只需能整除4,
∴,,,
注意到,要使的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.
所以的值为
【变式4】(2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习)设一元二次方程的两根分别为a,b,根据一元二次方程根与系数的关系可知:,记,那么______.
【答案】100
【分析】根据得到,代入计算即可.
【详解】∵一元二次方程的两根分别为a,b,
∴,
∴,
∴,,
,
∴,
故答案为:100.