2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03图形类解三角形问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03图形类解三角形问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共37页。试卷主要包含了解决图形类解三角形问题的方法，三角形的中线问题，三角形的角平分线问题，三角形的垂线问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc209043148" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc209043148 \h 3
\l "_Tc209043149" 题型一：平面四边形模型（含可求解六要素的三角形） PAGEREF _Tc209043149 \h 3
\l "_Tc209043150" 题型二：平面四边形模型（不含可求解六要素的三角形） PAGEREF _Tc209043150 \h 7
\l "_Tc209043151" 题型三：两次使用余弦定理 PAGEREF _Tc209043151 \h 11
\l "_Tc209043152" 题型四：解三角形的中线问题 PAGEREF _Tc209043152 \h 15
\l "_Tc209043153" 题型五：解三角形中的角平分线问题 PAGEREF _Tc209043153 \h 18
\l "_Tc209043154" 题型六：解三角形中的垂线问题 PAGEREF _Tc209043154 \h 21
\l "_Tc209043155" 题型七：三角形的外心和外接圆问题 PAGEREF _Tc209043155 \h 24
\l "_Tc209043156" 题型八：三角形的内心和内切圆问题 PAGEREF _Tc209043156 \h 28
\l "_Tc209043157" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc209043157 \h 32
\l "_Tc209043158" 巩固过关 PAGEREF _Tc209043158 \h 32
\l "_Tc209043159" 创新提升 PAGEREF _Tc209043159 \h 40
一、解决图形类解三角形问题的方法：
（1）余弦定理迭代运用法
此方法聚焦三角形边角的定量关系，通过两次或多次套用余弦定理，建立边与角的方程组来突破难点。核心是利用余弦定理“用边表角”或“用角表边”的双向转化特性，尤其适用于已知两边及夹角求第三边、或已知三边求多个内角的复杂场景。例如在非特殊三角形中，若已知两条中线长度及夹角，可通过对两个小三角形分别应用余弦定理，联立方程求解原三角形的边长。
（2）等积转化法
以“面积守恒”为核心逻辑，通过同一三角形不同面积表达式的等价转换简化问题，常与相似性质结合使用。其本质是利用“同底等高面积相等”“分割面积和等于整体面积”等性质，将边、高的关系转化为面积等式。典型应用包括：由中线构造等积三角形求面积比、利用直角三角形的双高（如斜边上的高）建立边长关系，或通过面积桥证明线段比例。
（3）正余弦定理协同法
作为解三角形的基础工具组合，通过正弦定理的“边角比例转换”与余弦定理的“边角定量计算”形成互补。正弦定理擅长处理“已知两角一边”“已知两边及一对角”的情境，余弦定理则适用于“已知两边及夹角”“已知三边”的场景，二者结合可覆盖绝大多数斜三角形的边角求解问题，尤其在涉及多三角形嵌套的复杂图形中效果显著。
（4）辅助线构造相似法
遵循“条件集中”原则，通过添加辅助线构造相似三角形，结合余弦定理实现边长比例的精准求解。辅助线添加需紧扣已知条件：有中点可连中位线（构造相似比1:2的三角形），有角平分线可作平行线（构造等腰三角形与相似三角形），或延长中线至等长构造全等进而推导相似关系。通过相似的对应边成比例特性，可将未知边与已知边建立关联，再用余弦定理补充定量计算。
（5）向量与余弦定理融合法
借助平面向量的工具性，将几何关系转化为向量运算，再结合余弦定理破解难题。核心是利用向量的数量积公式，其本质与余弦定理同源但表达更灵活。适用场景包括：利用向量分解表示未知边、通过向量垂直的数量积为零建立等式，或结合向量基本定理将边角关系转化为向量系数的方程组。
（6）坐标解析法
通过建立平面直角坐标系实现“几何问题代数化”，是数形结合的典型应用。操作关键在于合理定位顶点坐标（如将直角顶点置于原点、让一边与坐标轴重合），再利用距离公式（求边长）、斜率公式（判垂直/平行）、中点公式（找对称点）等工具挖掘几何性质。例如在直角三角形中，通过坐标表示顶点后，可直接用勾股定理验证边长关系，或通过坐标运算求截面面积。
二、三角形的中线问题
如图，中，为的中线，则有以下两种方法：
①向量法：,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”，也可同样的原理进行求解
三、三角形的角平分线问题
如图中，平分，则有以下两种方法：
①角平分线定理：
证明方法：（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
②等面积法：
四、三角形的垂线问题
如图中，平分，则有以下三个结论：
①等面积法：；②
③
题型一：平面四边形模型（含可求解六要素的三角形）
典例1-1．如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（ ）

A．1B．C．D．
典例1-2．在平面四边形中，，，，，则 .

变式1-1．平面四边形中，，，，，，则的面积为 .
变式1-2．在四边形中，，，，．
(1)求的周长
(2)求四边形的面积．
题型二：平面四边形模型（不含可求解六要素的三角形）
典例2-1．如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且

(1)求BO的长；
(2)若，求的值．
典例2-2．如图，在平面四边形ABCD中，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求三角形ABD的面积．
变式2-1．如图，在平面四边形中，，，，，则 .
变式2-2．在①， ②面积，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，________，，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
题型三：两次使用余弦定理
典例3-1．如图，已知平面四边形ABCD中，，，．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
典例3-2．如图，在四边形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四边形的面积.
变式3-1．在中，D为边上一点，满足，且.
(1)证明：.
(2)若，求.
变式3-2．在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点，
(1)若，求的长；
(2)若，求
题型四：解三角形的中线问题
典例4-1．在中，，BC边上的中线，则下列说法错误的有（ ）
A．为定值B．
C．D．的最大值为
典例4-2．三角形三内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长.
变式4-1．记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.
(1)求证：；
(2)若，求的面积.
变式4-2．设的内角、、的对边分别为、、，已知、
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
题型五：解三角形中的角平分线问题
典例5-1．（多选）已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分．则（ ）
A．B．C．D．
典例5-2．已知 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为 ．
变式5-1．已知的内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若，为的角平分线，且，求的面积．
变式5-2．在中，平分，则的最小值为 ．
题型六：解三角形中的垂线问题
典例6-1．记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求.
典例6-2．在中，内角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边上的高.
变式6-1．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，
(1)求角B；
(2)若AC边上的高，求.
变式6-2．已知的内角，，所对的边分别为，，，，．
(1)求角；
(2)设是的高，求的最大值．
题型七：三角形的外心和外接圆问题
典例7-1．（多选）记是的外接圆，且，，，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．圆O的周长为
典例7-2．已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ．
变式7-1．在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为 ．
变式7-2．已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)在中，O为的外心，角A所对边的长为a，若的外接圆半径为1，且，求面积的最大值.
题型八：三角形的内心和内切圆问题
典例8-1．已知中，为的内心，，则周长的最大值为（ ）
A．4B．6C．16D．18
典例8-2．在锐角三角形中，角的对边分别为，已知.
(1)比较与的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，且，求的内切圆半径.
变式8-1．（多选）在直角中，且．若的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（ ）
A．B．
C．D．
变式8-2．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
巩固过关
1．四边形四个顶点在一个平面上，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．14D．
2．已知中，内角的对边分别为，为的外心，，，且有．若．则下列结论正确的是（ ）
A．B．内切圆半径
C．D．
3．四边形内接于半径为的圆，如图所示，其中，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．四边形的面积为D．
4．如图，已知平面凸四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，那么的最大值是 ．
5．在中，角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)求；
(3)若，边上的中线，求边的长.
6．如图，平面四边形中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求；
(2)求内切圆半径的取值范围．
7．已知，，分别为角，，的对边，.
(1)求；
(2)若，，点在边上，且是的角平分线，求.
8．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求；
(2)设BC边上的高等于，求.
创新提升
1．已知凸四边形满足，则其内切圆半径的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知四边形ABCD满足，且其外接圆半径为，四边形ABCD的周长记为L，若的面积，则当L取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A．10B．15C．D．
3．三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（ ）.
A．B．
C．D．
4．已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)若，求的面积.
重难点专训03 图形类解三角形问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc209043147" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc209043147 \h 1
\l "_Tc209043148" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc209043148 \h 3
\l "_Tc209043149" 题型一：平面四边形模型（含可求解六要素的三角形） PAGEREF _Tc209043149 \h 3
\l "_Tc209043150" 题型二：平面四边形模型（不含可求解六要素的三角形） PAGEREF _Tc209043150 \h 7
\l "_Tc209043151" 题型三：两次使用余弦定理 PAGEREF _Tc209043151 \h 11
\l "_Tc209043152" 题型四：解三角形的中线问题 PAGEREF _Tc209043152 \h 15
\l "_Tc209043153" 题型五：解三角形中的角平分线问题 PAGEREF _Tc209043153 \h 18
\l "_Tc209043154" 题型六：解三角形中的垂线问题 PAGEREF _Tc209043154 \h 21
\l "_Tc209043155" 题型七：三角形的外心和外接圆问题 PAGEREF _Tc209043155 \h 24
\l "_Tc209043156" 题型八：三角形的内心和内切圆问题 PAGEREF _Tc209043156 \h 28
\l "_Tc209043157" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc209043157 \h 32
\l "_Tc209043158" 巩固过关 PAGEREF _Tc209043158 \h 32
\l "_Tc209043159" 创新提升 PAGEREF _Tc209043159 \h 40
一、解决图形类解三角形问题的方法：
（1）余弦定理迭代运用法
此方法聚焦三角形边角的定量关系，通过两次或多次套用余弦定理，建立边与角的方程组来突破难点。核心是利用余弦定理“用边表角”或“用角表边”的双向转化特性，尤其适用于已知两边及夹角求第三边、或已知三边求多个内角的复杂场景。例如在非特殊三角形中，若已知两条中线长度及夹角，可通过对两个小三角形分别应用余弦定理，联立方程求解原三角形的边长。
（2）等积转化法
以“面积守恒”为核心逻辑，通过同一三角形不同面积表达式的等价转换简化问题，常与相似性质结合使用。其本质是利用“同底等高面积相等”“分割面积和等于整体面积”等性质，将边、高的关系转化为面积等式。典型应用包括：由中线构造等积三角形求面积比、利用直角三角形的双高（如斜边上的高）建立边长关系，或通过面积桥证明线段比例。
（3）正余弦定理协同法
作为解三角形的基础工具组合，通过正弦定理的“边角比例转换”与余弦定理的“边角定量计算”形成互补。正弦定理擅长处理“已知两角一边”“已知两边及一对角”的情境，余弦定理则适用于“已知两边及夹角”“已知三边”的场景，二者结合可覆盖绝大多数斜三角形的边角求解问题，尤其在涉及多三角形嵌套的复杂图形中效果显著。
（4）辅助线构造相似法
遵循“条件集中”原则，通过添加辅助线构造相似三角形，结合余弦定理实现边长比例的精准求解。辅助线添加需紧扣已知条件：有中点可连中位线（构造相似比1:2的三角形），有角平分线可作平行线（构造等腰三角形与相似三角形），或延长中线至等长构造全等进而推导相似关系。通过相似的对应边成比例特性，可将未知边与已知边建立关联，再用余弦定理补充定量计算。
（5）向量与余弦定理融合法
借助平面向量的工具性，将几何关系转化为向量运算，再结合余弦定理破解难题。核心是利用向量的数量积公式，其本质与余弦定理同源但表达更灵活。适用场景包括：利用向量分解表示未知边、通过向量垂直的数量积为零建立等式，或结合向量基本定理将边角关系转化为向量系数的方程组。
（6）坐标解析法
通过建立平面直角坐标系实现“几何问题代数化”，是数形结合的典型应用。操作关键在于合理定位顶点坐标（如将直角顶点置于原点、让一边与坐标轴重合），再利用距离公式（求边长）、斜率公式（判垂直/平行）、中点公式（找对称点）等工具挖掘几何性质。例如在直角三角形中，通过坐标表示顶点后，可直接用勾股定理验证边长关系，或通过坐标运算求截面面积。
二、三角形的中线问题
如图，中，为的中线，则有以下两种方法：
①向量法：,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”，也可同样的原理进行求解
三、三角形的角平分线问题
如图中，平分，则有以下两种方法：
①角平分线定理：
证明方法：（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
②等面积法：
四、三角形的垂线问题
如图中，平分，则有以下三个结论：
①等面积法：；②
③
题型一：平面四边形模型（含可求解六要素的三角形）
典例1-1．如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（ ）

A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，，
即，，
又在中，，，，
由正弦定理得，，即，
解得.
故选：B.
典例1-2．在平面四边形中，，，，，则 .

【答案】
【详解】由题意，在中，由正弦定理得，
即，
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，
，解得.
故答案为：.
变式1-1．平面四边形中，，，，，，则的面积为 .
【答案】
【详解】因为，，，
所以四点共圆，
在中，，，，
由正弦定理得，即，
解得，所以，
故，即为直径，故，，
由勾股定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
由于为钝角，故，所以舍去，
故，
所以的面积为
故答案为：
变式1-2．在四边形中，，，，．
(1)求的周长
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以 因为，所以．
又因为，所以，
所以，
因为，故，所以，，
且
，
由正弦定理，所以，
则，
故，
所以的周长为.
（2）连接，
因为，，，
所以，，所以，且，
所以四边形为等腰梯形，所以，，
则，
又因为，即，设，
所以四边形的面积
.
题型二：平面四边形模型（不含可求解六要素的三角形）
典例2-1．如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且

(1)求BO的长；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，，所以，，
在中，，
在中，，
因为，解得，所以BO的长为；
（2）由（1）知，设,，，
在中，，
在中，，
所以，
若，则与全等，所以，
所以，所以，
不成立，所以
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以的值为.
典例2-2．如图，在平面四边形ABCD中，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求三角形ABD的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，，则由余弦定理得
，
所以，
在中，，，，所以由正弦定理得
，得,
，得；
（2）在中，，由余弦定理得
，
在中，，，则余弦定理得
,
因为，所以，
化简得，解得，
所以，
因为，所以，
所以的面积.
变式2-1．如图，在平面四边形中，，，，，则 .
【答案】/
【详解】设，在中，由正弦定理可得①，
由可得，则，，
在中，由正弦定理可得②，
①②两式相除，得，即，
整理得，故.
故答案为：
变式2-2．在①， ②面积，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，________，，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【详解】选择①：
设，则，，
在中，即，所以，
在中，，即，所以，
所以，则，
所以，则，又，所以，
所以.
选择②：
，所以，
由余弦定理可得
，
所以.
题型三：两次使用余弦定理
典例3-1．如图，已知平面四边形ABCD中，，，．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理可得
，
因为，为三角形内角，
所以，
在中，由正弦定理得
解得
（2）在中，，由余弦定理，得，
在，，，由余弦定理，得，
由于，即，所以，
根据
得，即
又，所以，，
则的面积为．
典例3-2．如图，在四边形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，又，得到，
又，
又，，且，
所以，，
得到.
（2）延长交于，设，，
在中，由正弦定理得到，由（1）知，，
所以①，由余弦定理得到②，
由①②解得或，
当时，，此时，
又，所以，不合题意，故，，
在中，由，，得到，，
所以，又，
故.
变式3-1．在中，D为边上一点，满足，且.
(1)证明：.
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由知，
所以，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）知，设，则，
由知，又因为，
设，则，，
在中，，
在等腰中，，
所以，整理得，
所以，
故.
变式3-2．在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点，
(1)若，求的长；
(2)若，求
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
在中，由余弦定理可得，
所以，化简得，
解得，
因为是的中点，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以，
因为，所以，
由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得
，
所以；
（2）因为，，所以，
因为，所以，
设，所以，
即，解得，
所以，
在中，由余弦定理可得
.
题型四：解三角形的中线问题
典例4-1．在中，，BC边上的中线，则下列说法错误的有（ ）
A．为定值B．
C．D．的最大值为
【答案】C
【详解】由题意，
对于A,
，A正确；
对于B，
，B正确；
对于C，
若，则，，
，C错；
对于D，
显然是锐角，
又，即,,时，取得最大值，
又是锐角，所以的最大值为，D正确．
故选：C．
典例4-2．三角形三内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）在中，由正弦定理得，.
因为,，所以，
所以，即，
又，，则，
所以.
（2）由（1）得，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
当且仅当，即，时，等号成立，

此时，
故.
变式4-1．记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.
(1)求证：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由，得
即，
因为，
由正弦定理得，，
则，即.
（2）在中，由余弦定理得，①
因为为的中点，所以，
则，
即，
即，②
联立①②，得，解得，
所以，
所以的面积为.

变式4-2．设的内角、、的对边分别为、、，已知、
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及正弦定理得:
，
即，
因为，则，即，
可得，故．
（2）在中，由余弦定理可得，
所以，
因为为边上的中线，所以，
所以．
，故
题型五：解三角形中的角平分线问题
典例5-1．（多选）已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】对于A，在中，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，因为，则，则，故B正确；
对于C，由于，，则，
由于，，则，
则，
在中，由余弦定理：，即，故C不正确；
对于D，由于，则，，
由于，解得（负数舍去）；
因为在线段上，且满足平分．则在中，由等面积可得：
，
即，解得：，故D正确.
故选：ABD
典例5-2．已知 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】4
【详解】如图，由题意得：，
可得：，
由基本不等式，可得，解得．
当且仅当时取等号，即当时，的最小值为4.
故答案为：4．
变式5-1．已知的内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若，为的角平分线，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以．
（2）因为为的平分线，则，
因为，
则，
即，化简得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理可得，解得（负值舍），
所以的面积．
变式5-2．在中，平分，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图，记，

在中，，则，
在中，，则，
∵平分，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴或，
当时，为等腰三角形，∴，，
∴；
当时，，即，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立.
∵，∴的最小值为．
故答案为：．
题型六：解三角形中的垂线问题
典例6-1．记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得，
且，
即，
即，
即，
其中为斜三角形，所以，即，
则，即，所以.
（2）
因为，
在中，由余弦定理可得，
又，，所以，
且，所以，
即，解得，所以，
则.
典例6-2．在中，内角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边上的高.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以.
（2）因为，，，由余弦定理得，
即，即，
解得或（舍）.
设边上的高为，所以，即，
解得，即边上的高为.
变式6-1．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，
(1)求角B；
(2)若AC边上的高，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
可得，
整理得，
且，则，
可得，整理得，
因为，则，
可得，所以.
（2）因为边上的高，可得，
又因为，
两式联立可得，
由正弦定理可得，
结合（1）中可得.
变式6-2．已知的内角，，所对的边分别为，，，，．
(1)求角；
(2)设是的高，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及，得，
又，，所以，得，
因为，所以．
（2）解法一 由余弦定理得，则，
得，当且仅当时取等号，
所以，
得，故的最大值为．
解法二 由正弦定理得，
故，．
因为，所以，，
所以
，当时等号成立,
故，得，
故的最大值为.
题型七：三角形的外心和外接圆问题
典例7-1．（多选）记是的外接圆，且，，，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．圆O的周长为
【答案】BCD
【详解】对于A，因为，所以
即，即，故A错误；
对于B，因为是的外心，所以在的中垂线上，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，
解得，故，，
所以的面积为，故C正确；
对于D，由余弦定理可得，解得，
由正弦定理，，
所以圆的半径为，其周长为，故D正确.
故选：BCD
典例7-2．已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ．
【答案】3
【详解】，
又，
则，
则，
设D为BC中点，则有，
∴，
由可得，
∴，
所以，所以，即
又，所以，
故．
故答案为：.
变式7-1．在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】因为 ，故由 得
，由正弦定理得 ，又 ，故
，因为 ，所以 ，故 ，所以 ．
因为 ，
所以 ． 在 中余弦定理得， ，
所以 ． 所以 的面积为 ．
故答案为：
变式7-2．已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)在中，O为的外心，角A所对边的长为a，若的外接圆半径为1，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
的最小正周期为，，，所以.
（2）已知角所对边的长为，再设角所对边的长为．
因为的外接圆半径为，所以，
因为，所以，
所以，化简得，
过点作交于点，
设，则，
则
即，
所以
，
所以，当时取“等号”
∴面积的最大值为．
题型八：三角形的内心和内切圆问题
典例8-1．已知中，为的内心，，则周长的最大值为（ ）
A．4B．6C．16D．18
【答案】B
【详解】因为O是的内心
所以，
由于，
所以，故.
中，由余弦定理，得，
所以（当且仅当时，取“=”）
即，即周长的最大值为6.
故选：.
典例8-2．在锐角三角形中，角的对边分别为，已知.
(1)比较与的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，且，求的内切圆半径.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，可得：,
,
假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减，
可知，则，
此时可得，这与假设相矛盾，即假设不成立；
又假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减，
可知，则，
此时可得，这与假设相矛盾，即假设也不成立；
综上可得：
（2）
由（1）得，，即在等腰三角形中，取底边的中点为，
则，则，
因为在锐角三角形中，，所以，则；
（3）在等腰三角形中，因为，
所以，
再由
，
则
可解得：，，
因为，，所以，则，
又由，，可得，
所以高，根据等面积法可知：
.
变式8-1．（多选）在直角中，且．若的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】如图，设的内切圆的圆心为，与相切于点，内切圆半径为，
设角所对的边为，由于，则，
又，所以，则，
又，则，即，
由，
则，解得，则，
解得或，故A错误；
易得四边形为正方形，则，
所以，
当时，，
当时，，故B正确；
由，
当时，，，
则，故C错误；
由，可得，
当时，，，
则，
当时，，，
则，故D正确.
故选：BD.

变式8-2．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）选择条件①：.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理，得.
因为，所以.
选择条件②：因为，所以，即.
由正弦定理得，即.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.因为，所以.
（2）连接，
因为点是内心，所以.
因为，所以，
所以，所以.
由余弦定理得，即，解得，
所以.
巩固过关
1．四边形四个顶点在一个平面上，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．14D．
【答案】B
【详解】设，
由题意，，所以，
由余弦定理得，
由勾股定理有，
从而将代入，得,
将代入，得，
即，解得或（舍去），
所以.
故选：B.
2．已知中，内角的对边分别为，为的外心，，，且有．若．则下列结论正确的是（ ）
A．B．内切圆半径
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，
所以，即即，
解得，又，所以，所以A正确；
对于B，，
由余弦定理得，
故，故的周长，
设内切圆为，由得，所以B错误；
对于C，如图，分别取的中点，连接，则，
所以，，
所以，所以C正确；
对于D，，
由，可知，
得，解得：，故，所以D正确．
故选：ACD．
3．四边形内接于半径为的圆，如图所示，其中，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．四边形的面积为D．
【答案】ACD
【详解】对于A，连接，在中，，，
，，解得，
，即，故A正确；
对于B，，
由正弦定理得，
该外接圆的半径为，故B错误；
对于C，，
，
四边形的面积，故C正确；
对于D，连接，，，
解得，，
则，故D正确．
故选：ACD．
4．如图，已知平面凸四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，那么的最大值是 ．
【答案】
【详解】设，则，
在中，由余弦定理有，
所以，
由正弦定理有，
在中，由余弦定理有
，
当时，即时，的最大值为，
故答案为：.
5．在中，角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)求；
(3)若，边上的中线，求边的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【详解】（1）证明：由正弦定理得：，
即.
（2）因为，
即.
则，
因为，
所以.
（3）因为，由余弦定理知：，
，
即，
，
故，
解得：或.
6．如图，平面四边形中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求；
(2)求内切圆半径的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，则由正弦定理得，
整理得，所以由余弦定理得，
又，则．
（2）在中，，，，
由余弦定理得，得，
所以结合（1）得，即，得，
在中，由
由（1）知，
则.
又由正弦定理有，
所以，，
又，
所以
，
又，则，则，
所以，
所以．
7．已知，，分别为角，，的对边，.
(1)求；
(2)若，，点在边上，且是的角平分线，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
可化为.
所以
由正弦定理可得，
由余弦定理可得：，所以：.
（2）三角形如图所示.
由是的角平分线得，
法一：，
又，
所以.
法二：因为，
所以.
.
8．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求；
(2)设BC边上的高等于，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理，
得，
所以，
因为，所以，即.
（2）法一：设BC边上的高与BC边交于点D，则，且.
设，则.
中，，中，.
中，由余弦定理，得.
法二：设，则.
中，，中，.
，
所以.
创新提升
1．已知凸四边形满足，则其内切圆半径的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连接，在中，由余弦定理得，
则，
在中，由余弦定理得，
则，
则，即，
则四边形的面积为
，
即，
则，
则，
则，当且仅当时等号成立，
则，设四边形的内切圆半径为，
又，
则，即内切圆半径的最大值为.
故选：C.
2．已知四边形ABCD满足，且其外接圆半径为，四边形ABCD的周长记为L，若的面积，则当L取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A．10B．15C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
由余弦定理，代入上式可得，
不妨设,则由可得或（舍），所以，
在中，由可得；
由可得，
所以，即,当且仅当时，取等号.
又，所以.
同理可求，当且仅当时，取等号.
所以当L取最大值时，四边形ABCD的面积为.
故选：A
3．三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由余弦定理得，，代入，
可得，
化简得，
两边同时除以得，，
一方面，，
其中，，当时等号成立；
另一方面，由均值不等式，有，当且仅当时等号成立，
依题可得：，此时且，
，，，，
，，
由余弦定理，，又，，
联立解得，，
设边上的高为，则，
故，即边上的高为.
故选：B.
4．已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线，
所以，
解得或（舍），
所以；
（2）由题意，在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，解得或（舍去），
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（3）方法一：在中，由正弦定理可得，
即，所以，
因为为钝角，所以，
因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
因为
，
所以；
方法二：在中，由，
可得，所以，
所以，所以，
又由于，从而，即，
所以，
，
所以.