2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点09双变量问题(学生版+解析)

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\l "_Tc27668" 【题型1 双变量单调性问题】 PAGEREF _Tc27668 \h 2
\l "_Tc13212" 【题型2 双变量的最值（取值范围）问题】 PAGEREF _Tc13212 \h 3
\l "_Tc11783" 【题型3 双变量问题转化为单变量问题】 PAGEREF _Tc11783 \h 4
\l "_Tc28787" 【题型4 与极值点有关的双变量问题】 PAGEREF _Tc28787 \h 5
\l "_Tc26140" 【题型5 与零点有关的双变量问题】 PAGEREF _Tc26140 \h 5
\l "_Tc6282" 【题型6 双变量的恒成立问题】 PAGEREF _Tc6282 \h 7
\l "_Tc10355" 【题型7 双变量的不等式证明问题】 PAGEREF _Tc10355 \h 8
\l "_Tc7886" 【题型8 与切线有关的双变量问题】 PAGEREF _Tc7886 \h 9
\l "_Tc13930" 【题型9 导数中双变量的新定义问题】 PAGEREF _Tc13930 \h 10
1、双变量问题
导数是高中数学的重要考查内容，是高考常考的热点内容，而导数中的双变量问题在高考中占有很重要的地位.从近几年的高考情况来看，双变量问题主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式证明等问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解.
知识点1 导数中的双变量问题
1．导数中的双变量问题
导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
知识点2 导数中的双变量问题的解题策略
1．转化为同源函数解决双变量问题
此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
2．整体代换解决双变量问题
(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.
(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题：一般是根据x1，x2是方程f'(x)=0的两个根，确定x1，x2的关系,再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.
3．构造函数解决双变量问题的答题模板
第一步：分析题意，探究两变量的关系；
第二步：合二为一，变为单变量不等式；
第三步：构造函数；
第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；
第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.
【题型1 双变量单调性问题】
【例1】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知fx=alnx+12x2a>0若对于任意两个不等的正实数x1、x2，都有fx1−fx2x1−x2>2恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．0,1B．1,+∞C．0,3D．1,2e
【变式1-1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数f(x)=ex−ax2的定义域为12,2，且对∀x1,x2∈12,2,x1≠x2,fx1−fx2x1−x21.
(1)讨论函数fx的极值点情况；
(2)设a=2，若对任意x1,x2∈(0,+∞)，x1≠x2，有fx1−fx2x1−x2>b恒成立，求实数b的取值范围.
【变式1-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数fx=ax−xlnx的图象在x=1处的切线与直线2x−y=0平行．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若∀x1,x2∈0,+∞，且x1>x2时，fx1−fx2>mx12−x22，求实数m的取值范围．
【题型2 双变量的最值（取值范围）问题】
【例2】（2025·云南·三模）设函数f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1,x2，使得fx1=gx2，则x1ex1−x2的最大值为（ ）
A．−1B．−2C．−eD．−3
【变式2-1】（2025·河北·二模）若存在x1∈1,+∞，x2∈e,+∞使得x1x2=ex1⋅lnx2成立，则4x1−x2的最大值为（ ）
A．4ln2−2B．4ln2−4C．8ln2−2D．8ln2−4
【变式2-2】（2025·山东烟台·三模）已知函数fx=lnx+ax−axa1且b>−1，关于x的方程fx+xex+b+12a−3x2=0在0,+∞上仅有一个实根x0．
（ⅰ）证明：a=ex0+x0；
（ⅱ）求4a−b的最大值．
【题型3 双变量问题转化为单变量问题】
【例3】（2025高三下·全国·专题练习）已知函数fx=aex−x3a∈R有三个极值点x1，x2，x3（x11x1x2.
【题型8 与切线有关的双变量问题】
【例8】（24-25高二下·湖南·期中）已知Pt,t2，过点P可作曲线fx=x−lnx的两条切线，切点为x1,fx1，x2,fx2．求x1x2fx1−fx2x1−x2−1的取值范围（ ）
A．−1,0B．−1,0C．−2,−1D．−2,−1
【变式8-1】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数fx=k+4klnx−x+1x，k∈4,+∞，曲线y=fx上总存在两点Mx1,y1，Nx2,y2，使得曲线在M，N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（ ）
A．45,+∞B．1,+∞C．85,+∞D．165,+∞
【变式8-2】（2025·四川成都·模拟预测）若函数fx=alnx−12x2+a+12x>0有两个零点x1,x2，且x1ex1，证明：x1+x2>e+1e−1．
【变式9-1】（2025·四川成都·模拟预测）定义运算：mnpq=mq−np，已知函数f(x)=lnxx−11a,g(x)=1x−1．
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值；
(2)证明：1+1221+1321+142…1+1n2