2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训06双变量问题的处理(高效培优专项训练)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训06双变量问题的处理(高效培优专项训练)(原卷版+解析)，共7页。试卷主要包含了消元法，构造函数法，换元法，变换主元法等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc208353427" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc208353427 \h 2
\l "_Tc208353428" 题型一：构造函数法 PAGEREF _Tc208353428 \h 2
\l "_Tc208353429" 题型二：比值法/差值法换元 PAGEREF _Tc208353429 \h 3
\l "_Tc208353430" 题型三：消元法 PAGEREF _Tc208353430 \h 4
\l "_Tc208353431" 题型四：变更主元法 PAGEREF _Tc208353431 \h 5
\l "_Tc208353432" 题型五：双变量应用（处理零点问题） PAGEREF _Tc208353432 \h 6
\l "_Tc208353433" 题型六：双变量应用（恒能成立问题） PAGEREF _Tc208353433 \h 7
\l "_Tc208353434" 题型七：双变量应用（证明不等式） PAGEREF _Tc208353434 \h 8
\l "_Tc208353435" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc208353435 \h 9
\l "_Tc208353436" 巩固过关 PAGEREF _Tc208353436 \h 9
\l "_Tc208353437" 创新提升 PAGEREF _Tc208353437 \h 11
导数双变量问题的常用解法
导数领域中，不少问题会涉及两个变量（如与、与等）。由于直接处理双变量问题难度较大，因此将双变量转化为单变量，就成为解决这类问题的核心突破口。
一、消元法
若两个变量恰好是某一元二次方程的根，便可借助根与系数的关系（韦达定理）完成消元。通过韦达定理能求出相关表达式，此时可考虑用其中一个变量表示另一个变量，从而实现变量数量的简化。
二、构造函数法
针对等价形式的双变量不等式问题，可先设定一个中间量（例如令某一特定式子为t），再对不等式进行适当变形，使变形后的等式两边不仅各自只含一个变量，还具备完全相同的表达式结构。此时将这个相同的结构定义为一个新函数，问题通常就能转化为研究该新函数的单调性问题。
三、换元法
这是解决双变量问题最核心、也最常用的方法。具体操作是先将原式进行齐次化处理，把式子转化为类似或的形式；完成齐次化后，令或作为单一变量，以此达到减少变量数量的目的。
四、变换主元法
当题目中有多个变量时，可选择其中一个变量作为主元，将其他变量视为常数，将问题转化为关于主元的函数问题进行求解。
在解决多变量问题时，需仔细分析题目条件，灵活选用合适方法，将复杂的多变量问题转化为熟悉的单变量问题进行求解。
题型一：构造函数法
典例1-1．若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例1-2．已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
变式1-1．已知函数，，且．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
变式1-2．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
题型二：比值法/差值法换元
典例2-1．已知函数.
(1)求出的极值点；
(2)证明：对任意两个正实数，且，若，则.
典例2-2．已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，证明：.
变式2-1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数在其定义域内有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，其中，求实数的取值范围.
变式2-2．已知函数，．其中为自然对数的底数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
题型三：消元法
典例3-1．已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例3-2．已知函数，在定义域上有两个极值点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证:
变式3-1．已知函数，．
(1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值．
(2)设函数．
（i）证明：函数有两个极值点，；
（ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围
变式3-2．设向量.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.
题型四：变更主元法
典例4-1．已知函数，．
（1）若，，求实数的值．
（2）若，，求正实数的取值范围．
典例4-2．已知函数，．
(1)若直线与的图象相切，求实数k的值；
(2)设，比较与的大小，并说明理由．
变式4-1．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
题型五：双变量应用（处理零点问题）
典例5-1．已知函数 有两个极值点 且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明: .
典例5-2．已知.
(1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围.
变式5-1．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个零点，且，证明：.
变式5-2．已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
题型六：双变量应用（恒能成立问题）
典例6-1．，且，不等式恒成立，则的取值范围为 .
典例6-2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对于任意，，都有恒成立，求m的取值范围.
变式6-1．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ．
变式6-2．已知函数
(1)求在区间的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调区间与极值；
(3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围．
题型七：双变量应用（证明不等式）
典例7-1．已知函数，，设.
(1)若，求的最大值；
(2)求在上的最小值；
(3)若有两个不同的零点，求证：.
典例7-2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)当时，若关于的方程有两个实根和，求证：．
变式7-1．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的方程有两个根和，求证：．
变式7-2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，为函数的两个零点，求证：．
巩固过关
1．已知，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1B．
C．D．
3．已知函数．
(1)求函数在上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的，均有，求的取值范围．
4．已知函数，
(1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值；
(3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．
5．设函数．
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个极值点且，证明：．
6．已知函数
(1)若函数f（x）在处取得极值，求m；
(2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围.
7．已知函数.且函数有两个零点，
(1)求实数a的取值范围；
(2)设的两个零点，且，求证：.
8．已知函数，其中
(1)若，证明f（x）在 上存在唯一的零点.
(2)若，设为在上的零点，证明：在 上有唯一的零点，且
创新提升
1．已知实数满足，则满足条件的最小正整数为（ ）．
A．1B．3C．5D．7
2．已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若有2个极值点，求证：.
3．已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)当时，有两个不同的零点，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
4．已知函数.
(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若；求证：；
(3)设，是函数的两个极值点，求证：.