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高考数学二轮复习专题06 双变量问题(2份打包,解析版+原卷版)
展开专题06 双变量问题
【方法技巧与总结】
破解双参数不等式的方法:
一是转化,即由已知条件入手,寻找双参数满足的关系式,并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式;
二是巧构函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.
【题型归纳目录】
题型一:双变量单调问题
题型二:双变量不等式:转化为单变量问题
题型三:双变量不等式:极值和差商积问题
题型四:双变量不等式:中点型
题型五:双变量不等式:剪刀模型
题型六:双变量不等式:主元法
【典例例题】
题型一:双变量单调问题
例1.已知函数,其中.
(Ⅰ)函数的图象能否与轴相切?若能,求出实数,若不能,请说明理由;
(Ⅱ)求最大的整数,使得对任意,,不等式恒成立.
【解答】解:(Ⅰ).
假设函数的图象与轴相切于点,
则有,即.
显然,,代入方程中得,.
△,方程无解.
故无论取何值,函数的图象都不能与轴相切;
(Ⅱ)依题意,
恒成立.
设,则上式等价于,
要使对任意,恒成立,即使在上单调递增,
在上恒成立.
(1),则,在上成立的必要条件是:.
下面证明:当时,恒成立.
设,则,
当时,,当时,,,即,.
那么,当时,,;
当时,,,恒成立.
因此,的最大整数值为 3.
例2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,且存在两个极值点,,证明:.
【解答】解:(1)的定义域为,,
若,则,所以在单调递增;
若,当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增;
证明:(2)因为存在两个极值点且,,
所以的两个极值点,满足,
所以,不妨设,则,
则,
要证,只需证,
设,则,
知在单调递减,又(1),
当时,,故,即,
所以.
例3.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设.如果对任意,,,求的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)的定义域为,.
当时,,故在单调递增;
当时,,故在单调递减;
当时,令,解得.
则当时,;时,.
故在单调递增,在单调递减.
(Ⅱ)不妨假设,而,由(Ⅰ)知在单调递减,
从而,,
等价于,,①
令,则
①等价于在单调递减,即.
从而
故的取值范围为,.(12分)
例4.已知函数,.
(1)当为自然对数的底数)时,求的极小值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若,证明:对于任意,.
【解答】解:(1)当时,,,
当时,;时,;当时,.
所以,时,取得最小值.
(2),,
时,,在单调递减.
(3)证明:时,,,,
当时,;当时,;
当时,.
即时,在和上单调递减,
在上单调递增.
由(2)知,当时,在上单调递减,
所以,当时,对任意,(b)(a),
即对任意,.
题型二:双变量不等式:转化为单变量问题
例5.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)已知,若存在两个极值点,,且,求的取值范围.
【解答】解:(1)的定义域是,,
令,△,
若,则△,恒成立,即,
则在上单调递减,
若,令,解得:,,
故时,,即,
,时,,即,
,时,,,
故在递减,在,递增,在,递减,
时,令,解得:,,
故时,,即,在递减,
综上:时,在单调递减,
时,在递减,在,递增,在,递减.
(2)若存在两个极值点,,且,
则,,由,可得,
则,
令,
,
,且与在上符号一致,
,
所以单调递增,所以(1),即,
所以,
故的取值范围是.
例6.已知函数,.
(1)当时,
①求的极值;
②若对任意的都有,,求的最大值;
(2)若函数有且只有两个不同的零点,,求证:.
【解答】解:(1)①时,,,
令,解得:,令,解得:,
故在递减,在,递增,
故的极小值是,没有极大值;
②对任意都有,
即恒成立,由,故,故,
由①知在,单调递增,故,可得,即,
当时,的最小值是(e),故的最大值是;
(2)证明:要证,只需证明即可,
由题意,是方程的两个不相等的实数根,
,,消去,整理得:,
不妨设,令,则,
故只需证明当时,,即证明,
设,则,
于是在单调递增,从而(1),
故,故.
例7.设函数.
(1)当时,求的单调区间是的导数);
(2)若有两个极值点、,证明:.
【解答】解:(1)当时,,则,
,,显然递减,且(1),
故当时,,时,,
故在递增,在递减;
(2)证明:,,
由题意知有2个不相等的实数根,
即有2个不相等的实数根,,
则,令,则,
令,解得:,令,解得:,
故在递增,在递减,
故(1),而时,,
故的取值范围是,,
由,得,
故,
令,则,,,
故不等式只要在时成立,令,
,,
故在上单调递增,即,
故在上单调递减,即,
故原不等式成立.
例8.已知函数,.
(1)讨论函数的极值点;
(2)若,是方程的两个不同的正实根,证明:.
【解答】解:(1),,
令,△,
当时,△,,无极值点,
当时,令,解得:,
当,,时,,递增,
,时,,递减,
故极大值点是,极小值点是;
综上:时,无极值点,
时,极大值点是,极小值点是;
(2)由,即,
令,
,令,得,
当时,,当时,,
在递减,在,上递增,
又有2个零点,
,即,解得:,
且,两式相减得:,
设,,,要证明,
即证明,,
,即证明,
令,,在上单调递减,
(1),
即.
例9.已知,函数.
(Ⅰ)若,求的取值范围;
(Ⅱ)记,(其中为在上的两个零点,证明:.
【解答】解:(Ⅰ),
当时,,在上递增,
又,故符合题意,
当时,在递减,在递增,
,故,
又,,解得:,
当时,,在上单调递增,
当时,,,
,不符合题意,
综上:.
(2)证明:令,则且,
记且,由于,
故在和上递减,在上递增,
且当时,,当时,,
当时,,
当时,,
根据题意可知,,且,
先证,即证,即证,显然成立;再证,
,,只需证,,,
只需证,即证,
又,只需证,亦即,即,
由知,,
,故,即得证.
题型三:双变量不等式:极值和差商积问题
例10.已知函数.
(1)若,证明:当时,;当时,.
(2)若存在两个极值点,,证明:.
【解答】证明:(1)当时,,定义域为,
,在定义域上恒成立,
所以在上单调递减,
当时,(1),
当时,(1),原命题得证.
(2),
若存在两个极值点,则,解得,
由韦达定理可知,,,
,
原命题即证:,
不妨设,原命题即证:,
由知,,即证:,不妨令,
原命题即证:,记,
则,
当时,,在上单调递减,
(1),原命题得证.
例11.已知函数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若存在两个极值点,,证明:.
【解答】(1)解:因为,则,
当时,,所以(1),
则在处的切线方程为;
(2)解:函数的定义域为,且,令,且,
①当时,恒成立,此时,则在上单调递减;
②当时,判别式△,
当时,△,即,所以恒成立,此时函数在上单调递减;
当时,令,解得,
令,解得或,
所以在,上单调递增,
在和,上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,
在和,上单调递减.
(3)证明:由(2)可知,,,,
则
,
则,故问题转化为证明即可,
即证明,则,
即证,即证在上恒成立,
令,其中(1),
则,故在上单调递减,
则(1),即,故,
所以.
例12.已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)设,是函数的两个极值点,证明:恒成立.
【解答】解:(1)的定义域为,
,
①当时,令,得,令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
②当时,令,得或,
令,得,所以在,,上单调递增,在上单调递减,
③当时,则,所以在上单调递增,
④当时,令,得或,,得,
所以在,上单调递增,在,上单调递减,
综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减,
当时,在,,上单调递增,在上单调递减,
当时,在上单调递增,
当时,在,上单调递增,在,上单调递减.
(2)证明:,则的定义域为,
,
若有两个极值点,,
则方程的判别式△,且,,
解得,又,所以,即,
所以
,
设,其中,,
由,解得,又,
所以在区间内单调递增,在区间,内单调递减,
即的最大值为,
所以恒成立.
题型四:双变量不等式:中点型
例13.已知函数.
①讨论的单调性;
②设,证明:当时,;
③函数的图象与轴相交于、两点,线段中点的横坐标为,证明.
【解答】解:①函数的定义域为,,
当时,则由,得,
当时,,当,时,,
在单调递增,在,上单调递减;
当时,恒成立,在单调递增;
②设函数,
则,
,
当时,,而,,
故当时,;
③由①可得,当时,函数的图象与轴至多有一个交点,
故,从而的最大值为,且,
不妨设,,,,,则,
由②得,,
又在,上单调递减,,于是,
由①知,.
例14.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)如果方程有两个不相等的解,,且,证明:.
【解答】解:(1),
①当时,,,单调递增;
②当时,,,单调递减;
,,单调递增,
综上,当时,在单调递增;
当时,在单调递减,在单调递增.
(2)由(1)知,当时,在单调递增,至多一个根,不符合题意;
当时,在单调递减,在单调递增,则(a).
不妨设,
要证,即证,即证,即证.
因为在单调递增,即证,
因为,所以即证,即证,
令
.
.
当,时,,单调递减,又,
所以,时,,即,
即,
又,所以,所以.
例15.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,若函数的两个极值点,恰为函数的两个零点,
且的取值范围是,,求实数的取值范围.
【解答】解:(1)函数的定义域为,
又,
对于方程,△,
①若△,即时,则恒成立,
所以在上单调递增;
②若△,即时,令,解得,或,
当和,时,,
当,时,,
所以在和,上单调递增,
在,上单调递减.
综上所述,当时,的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,的单调递增区间为和,,
单调递减区间为,;
(2)由(1)可知,当时,,,
又,故,
由,可得,
两式相减,可得,
所以,
令,所以,则,
所以在上单调递减,
由的取值范围为,,可得的取值范围为,
所以,
又因为,
故实数的取值范围是.
题型五:双变量不等式:剪刀模型
例16.已知函数在点处的切线方程为.
(1)求,;
(2)函数图象与轴负半轴的交点为,且在点处的切线方程为,函数,,求的最小值;
(3)关于的方程有两个实数根,,且,证明:.
【解答】解:(1)将代入切线方程中,得,
所以,又,解得或,
又,所以,
若,则(舍去);所以,则;
(2)由 (1)可知,,,所以,
令,有或,
故曲线与轴负半轴的唯一交点为,
曲线在点处的切线方程为,则,
因为,所以,
所以
若,,
若,所以,
若,,
所以在上单调递增,,
函数在上单调递增.所以;
(3)证明:,设的根为,则,
又单调递减,由(2)知恒成立.
又,所以,
设曲线在点处的切线方程为,则,
令,
当时,,当时,,
故函数在上单调递增,又,
所以当时,,当时,,
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,即,设的根为,则,
又函数单调递增,故,故.
又,所以.
例17.已知函数,是的极值点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线为直线.
求证:曲线上的点都不在直线的上方;
(Ⅲ)若关于的方程有两个不等实根,,求证:.
【解答】(Ⅰ)解:;由题意知,;;
(Ⅱ)证明:设曲线在,处切线为直线;
令;;
;
在上单调递增,在,上单调递减;
;
,即,即上的点都不在直线的上方;
(Ⅲ)由(Ⅱ)设方程的解为;则有,解得;
由题意知,;
令,;;
在上单调递增;;
的图象不在的下方;
与交点的横坐标为;
则有,即;
;
关于的函数在上单调递增;
.
例18.已知函数,.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅲ)若方程为实数)有两个实数根,且,求证:.
【解答】解:(Ⅰ)由已知得:由得:
又当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时取得极大值,极大值为(1),无极小值.(3分)
(Ⅱ)设,,则,,
曲线在点处的切线方程为:,
即曲线在点处的切线方程为:(6分)
(Ⅲ)设,令
即,则
由于在单调递减,故在单调递减,又,
当时,当,时,,
在单调递增,在,单调递减,
,,即,都有;
设方程的根为,.
在单调递减,且,
设曲线在点原点处的切线方程为:,则易得,
,有,即,
设方程的根为,则,
在单调递增,且,
,
即.
题型六:双变量不等式:主元法
例19.已知函数.
(1)求函数的单调区间和最小值;
(2)当时,求证:(其中为自然对数的底数);
(3)若,求证:(b).
【解答】解:(1) (1分)
令得:,
,;令得:;(2分)
在,上为增函数;在,上为减函数.(4分)
(2)由(1)知:当时,有(b),(6分)
,即:,.(8分)
(3)将(a)(b)变形为:
(a)(b)(7分)
即只证:(a)
设函数(8分)
,
令,得:.
在,上单调递增;在,上单调递减;
的最小值为:,即总有:.(12分)
,即:,(13分)
令,,则
(a)(b),
(a)(b)成立.(14分)
例20.已知函数(其中且为常数,为自然对数的底数,.
(Ⅰ)若函数的极值点只有一个,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,若(其中恒成立,求的最小值的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)函数的定义域为,
其导数为.由或,
设,,
当时,;当时,.
即在区间上递增,在区间上递减,
,
又当时,,当时,且恒成立.
当或时,方程无根,函数只有一个极值点.
当时,方程的根也为,此时的因式恒成立,
故函数只有一个极值点.
当时,方程有两个根、且,,
函数在区间单调递减;,单调递增;单调递减;,单调递增,此时函数有、1、三个极值点.
综上所述,当或时,函数只有一个极值点.
(Ⅱ)依题意得,令,则对,都有成立.
,当时,函数在上单调递增,
注意到,
若,,有成立,这与恒成立矛盾;
当时,因为在上为减函数,且,
函数在区间上单调递增,在上单调递减,
,
若对,都有成立,则只需成立,
,
当时,则的最小值,
,函数在上递增,在上递减,
,即的最小值的最大值为;
综上所述,的最小值的最大值为.
例21.设函数.
(Ⅰ) 求的极值;
(Ⅱ)设,若对任意的,都有成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,证明:.
解:(Ⅰ)函数,则,
令,解得:,且当时,,时,
因此:的极小值为
(Ⅱ)
令,则
注意到:,若要,必须要求,即,亦即
另一方面:当时,恒成立;
故实数的取值范围为:
构造函数,,,
,,,在上是单调递增的;
故(b)(a),即:
另一方面,构造函数,
,在上是单调递减的
故(b)(a)即:
综上,.
【过关测试】
1.已知函数
(1)当时,证明函数有两个极值点;
(2)当时,函数在上单调递减,证明
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】【分析】
(1)构造函数求导,利用零点存在性定理,判断根的分布,进而可得函数的单调性,即可得极值.
(2)分离参数,转化为恒成立,构造函数,利用放缩法和分类讨论即可求解.
(1)定义域为
当时,
令
∵时,,单调递减,时,,单调递增
所以使
此时时,,单调递增,
时,,单调递减
时,,单调递增
∴是函数的两个极值点.
(2)∵在上单调递减
∴恒成立,∴恒成立
①时,令
∵,∴
∴在单调递减,∴
又∵∴,∴
②时,,∵,∴
∴,∴
又∵,∴
令
令,∴
∴单调递减,∵
使,即
时,单调递增
时,单调递减
∴∴∴,∴
综上
【点睛】
本题考查导数的综合应用,极值点,不等式的证明,参数的取值范围,利用导数判断函数的单调性是基本操作,导函数符号对函数单调性的影响,以及零点存在性定理,适当的放缩,把双变量问题通过放缩变成单变量问题.
2.已知函数,其中,为的导函数.
(1)当,求在点处的切线方程;
(2)设函数,且恒成立.
①求的取值范围;
②设函数的零点为,的极小值点为,求证:.
【答案】(1)(2)①;②详见解析
【解析】【分析】
(1)利用导数的几何意义即可求解.
(2)①先对函数求导,得到,推出,求导,得到,解对应不等式,得到单调性,求出其最小值,再根据恒成立,即可得出结果;
②先设,求导得.
设,对其求导,判定单调性,从而得到函数单调性,得到是函数的极小值点,得到,再由①得时,,推出所以,得到,得到函数在区间上单调递增,再由题意,即可得出结论成立.
(1)时,,,,,
所以函数在处的切线方程,即.
(2)①由题设知,,
,,
由,得,所以函数在区间上是增函数;
由,得,所以函数在区间上是减函数.
故在处取得最小值,且.
由于恒成立,所以,得,所以的取值范围为;
②设,则.
设,则,
故函数在区间上单调递增,由(1)知,,
所以,,故存在,使得,
所以,当时,,,函数单调递减;
当时,,,函数单调递增.
所以是函数的极小值点.因此,即.
由①可知,当时,,即,整理得,所以.
因此,即.
所以函数在区间上单调递增.
由于,即,即,
所以.
又函数在区间上单调递增,所以.
3.已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)任取两个正数,当时,求证:.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】【分析】
(1)根据函数解析式求出定义域以及导数,对参数进行讨论,根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性;
(2)求出,运用分析法将需要证明成立的不等式转化,再利用换元法写出表达式,利用导数研究函数的单调性,进而证明原不等式成立.
(1).
当时,,令,得;令,得.
所以在上单调递增,在上单调递减.
当,即时,令,得或;令,得.
所以在,上单调递增,在上单调递减.
当,即时,恒成立,所以在上单调递增.
当,即时,令,得或;令,得.
所以在,上单调递增,在上单调递减.
综上所述,
当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时, 在上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
(2)证明:由题意得,.
要证,只需证,
即证,即证.令,
所以只需证在上恒成立,
即证在上恒成立.
令,则,
令,则.
所以在上单调递减,即在上单调递减,
所以,所以在上单调递增,
所以.
所以.
4.已知函数(,).
(1)求函数的极值;
(2)若函数的最小值为0,,()为函数的两个零点,证明:.
【答案】(1)极小值为,无极大值(2)证明见解析
【解析】【分析】
(1)首先求函数的导数,分和两种情况讨论函数的单调性,再求函数的极值;
(2)首先由函数的最小值,确定,再结合零点存在性定理确定,,
可得,再通过构造函数求函数的最小值.
(1)(),,
若时,则恒成立,在上单调递增,故没有极值;
若,则当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
有极小值,极小值为,无极大值.
(2)证明:由(1)可知,当时,有最小值,,
由函数的最小值为0,得,
由题知,
,,
,
,,
,(),
令,则,
令,则在上单调递增,
又,在上,,,单调递减,
在上,,,单调递增,
,
得证.
5.已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若有两个极值点,证明
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】【分析】
(1)求出,对a分类讨论得出函数的单调性即可;
(2)化简进而即证:对任意的恒成立,通过求导进而得证.
(1)解:
当时,
当时,,则
令,则,或,,则,
综上:当时,在上单调递增,
当时,在和上单调递增,
在上单调递减.
(2)有两个极值
是方程的两个不等实根,则
要证:,即证:
不妨设,即证:
即证:对任意的恒成立
令,,则
从而在上单调递减,故,所以
6.已知对于不相等的正实数a,b,有成立,我们称其为对数平均不等式.现有函数.
(1)求函数的极值;
(2)若方程有两个不相等的实数根,.
①证明:;
②证明:.
【答案】(1)极大值为,无极小值(2)①证明见解析;②证明见解析
【解析】【分析】
(1)利用导数求单调区间,由单调区间即可求出极值;
(2)由和可得,由已知条件所给的不等式即可证得①;
由①可得,则,令,构造函数,利用二次求导根据单调性即可证得②.
(1)函数的定义域为,,
则当时,;时,.
即在上递增,上递减,
故的极大值为,无极小值.
(2)结合(1)由,;,,可得,
①由题意可得,从而,
即,
结合参考的公式可得:,故,
且,即,从而有.
②由①可得,令,则,
所以,则,
则,∴递减,
又∵,∴,
故递增,∴,即,
即.
7.已知函数(),且有两个极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使成立,若存在求出的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)不存在;理由见解析
【解析】【分析】
(1)求导之后,根据导函数在上有两个变号零点,列式即可求解(2),假设存在,由(1)知,则,不妨设,代入,消元得,构造函数()可知上述方程无实解,故不存在实数a,使成立
(1)由题设,知函数的定义域为,且,
因为函数有两个极值点,所以在上有两个不等的实数根,
即在上有两个不等的实数根,
则有,
解得,即所求实数的取值范围是.
(2)由题意,得,
又由(1)知,
所以
.
要使成立,只需.
由(1)知,则只需,即.(※)
由于,所以不妨设,
则(※)式成立,等价于成立.
设(),则,
所以函数在区间上单调递减,且,所以
所以无实数解,即(※)式不成立,
所以不存在实数a,使成立.
8.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数的图像与x轴交于A,B两点,线段中点的横坐标为,证明:.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】【分析】
(1)先写出函数定义域,然后求出,
并按,讨论,最后判断即可.
(2)由(1)可得,设,,,计算,
化简,计算,
换元并构建函数,利用导数判断函数的单调性,最后可证结果.
(1)的定义域为,.
①若,则,所以在单调递增.
②若,则由得,
且当时,,当时,.
所以在单调递增,在单调递减.
(2)由(1)可知:当时,函数在上单调递增,
故图像与x轴至多有一个交点,不符合题意,从而.
当时,在单调递增,在单调递减,
不妨设,,,则.
由,
两式相减得:,
即:,
又
令,,
则,从而函数在上单调递减,
故,从而,又,所以.
9.设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若有两个零点,
①求a的取值范围;
②证明:.
【答案】(1)当时,在为增函数,
当时,在上是减函数,在上为增函数;
(2);详见证明过程.
【解析】【分析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)利用(1)中的结论求出的范围,根据,构造函数,
利用导数研究函数的单调性,得到,即可证明,
令,,得到,得到,可知,
最后根据函数的单调性证明结论成立即可.
(1)的定义域为,且,
当时,成立,所以在为增函数,
当时,
①当时,,所以在上为增函数,
②当时,,所以在上为减函数;
综上:当时,在为增函数,
当时,在上是减函数,在上为增函数,
(2)结合(1),当时,取得极小值,
又∵函数有两个零点,∴,可得,
综上所述,;
下面证明结论成立:不妨设,
设,,
可得,,∴在上单调递增,
∴,即,,,
∴当时, ,
又∵,,∴,
又∵当时,单调递增,∴,即,
设,,则,两式相比得,
即,∴,
又∵,
令,则,
令,则,
则在内单调递减,即,即,
故,故在上单调递减,
∴,∴,即;
综上所述,.
10.已知函数.
(1)试讨论的极值;
(2)设,若,,使得,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】【分析】
(1)先讨论的单调性,再确定极值(2),,
使得等价于,分别求出与,即可求解
(1)函数的定义域为,.
当时,,所以在上为增函数,此时函数不存在极值.
当时,由,解得,故在上单调递增.
由,解得,故在上单调递减.
此时函数在处取得极大值.无极小值.
综上所述,当时,函数不存在极值.
当时,函数在处取得极大值,无极小值.
(2)由(1)知当时,在上为增函数,
故无最大值,此时不符合题意;当时,.
易知在上单调递减,所以.
因为,,使得,
所以,即
解得,所以实数a的取值范围是.
11.已知函数分别是函数的两个零点,
求证:.
【答案】证明见解析
【解析】【分析】
因为,只需证.令,
即证. 令,则,
所以函数在上单调递减,,即证.由上述分析可知.
【详解】因为, 分别是函数的两个零点,
所以
两式相减,得,所以.
因为, 所以.
要证,即证.
因,故又只要证.
令,则即证明.
令,,则.
这说明函数在区间上单调递减,所以,
即成立.
由上述分析可知成立.
12.已知函数
(1)当,研究的单调性;
(2)令,若存在使得,求证.
【答案】(1)在上单调递减,在上单调递增 (2)证明见解析
【解析】【分析】
(1)求出导函数,由的正负确定单调区间;
(2)求出,,由导数确定的单调性,函数的变化趋势,从而得出的范围,
由的关系,设,把都用表示,则可表示的函数,
同样利用导数得出新函数是增函数,得出,再由对数函数的性质得证不等式成立.
(1),,
在上单调递增,且,所以时,,时,,
在上单调递减,在上单调递增;
(2),(),
时,递增,时,,递减,时,,
存在使得,则,
令,,
,令,
则,在上单调递增,
,,
,,
.
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