备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题6-双变量问题

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2024高考数学二轮复习重难点专题06双变量问题【方法技巧与总结】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.【题型归纳目录】题型一：双变量单调问题题型二：双变量不等式:转化为单变量问题题型三：双变量不等式:极值和差商积问题题型四：双变量不等式:中点型题型五：双变量不等式:剪刀模型题型六：双变量不等式:主元法 【典例例题】题型一：双变量单调问题例1．已知函数，其中．（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．【解答】解：（Ⅰ）．假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．显然，，代入方程中得，．△，方程无解．故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；（Ⅱ）依题意，恒成立．设，则上式等价于，要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，在上恒成立．（1），则，在上成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．设，则，当时，，当时，，，即，．那么，当时，，；当时，，，恒成立．因此，的最大整数值为 3．题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例2．设函数．（1）当时，求的单调区间是的导数）；（2）若有两个极值点、，证明：．【解答】解：（1）当时，，则，，，显然递减，且（1），故当时，，时，，故在递增，在递减；（2）证明：，，由题意知有2个不相等的实数根，即有2个不相等的实数根，，则，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（1），而时，，故的取值范围是，，由，得，故，令，则，，，故不等式只要在时成立，令，，，故在上单调递增，即，故在上单调递减，即，故原不等式成立．例3．已知函数，．（1）讨论函数的极值点；（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．【解答】解：（1），，令，△，当时，△，，无极值点，当时，令，解得：，当，，时，，递增，，时，，递减，故极大值点是，极小值点是；综上：时，无极值点，时，极大值点是，极小值点是；（2）由，即，令，，令，得，当时，，当时，，在递减，在，上递增，又有2个零点，，即，解得：，且，两式相减得：，设，，，要证明，即证明，，，即证明，令，，在上单调递减，（1），即．题型三：双变量不等式:极值和差商积问题例4．已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，．（2）若存在两个极值点，，证明：．【解答】证明：（1）当时，，定义域为，，在定义域上恒成立，所以在上单调递减，当时，（1），当时，（1），原命题得证．（2），若存在两个极值点，则，解得，由韦达定理可知，，，，原命题即证：，不妨设，原命题即证：，由知，，即证：，不妨令，原命题即证：，记，则，当时，，在上单调递减，（1），原命题得证．例5．已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．【解答】解：（1）的定义域为，，①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，②当时，令，得或，令，得，所以在，，上单调递增，在上单调递减，③当时，则，所以在上单调递增，④当时，令，得或，，得，所以在，上单调递增，在，上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在，，上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在，上单调递减．（2）证明：，则的定义域为，，若有两个极值点，，则方程的判别式△，且，，解得，又，所以，即，所以，设，其中，，由，解得，又，所以在区间内单调递增，在区间，内单调递减，即的最大值为，所以恒成立．题型四：双变量不等式:中点型例6．已知函数．①讨论的单调性；②设，证明：当时，；③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．【解答】解：①函数的定义域为，，当时，则由，得，当时，，当，时，，在单调递增，在，上单调递减；当时，恒成立，在单调递增；②设函数，则，，当时，，而，，故当时，；③由①可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，故，从而的最大值为，且，不妨设，，，，，则，由②得，，又在，上单调递减，，于是，由①知，．例7．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．【解答】解：（1），①当时，，，单调递增；②当时，，，单调递减；，，单调递增，综上，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增．（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则（a）．不妨设，要证，即证，即证，即证．因为在单调递增，即证，因为，所以即证，即证，令．．当，时，，单调递减，又，所以，时，，即，即，又，所以，所以．例8．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为，又，对于方程，△，①若△，即时，则恒成立，所以在上单调递增；②若△，即时，令，解得，或，当和，时，，当，时，，所以在和，上单调递增，在，上单调递减．综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，，单调递减区间为，；（2）由（1）可知，当时，，，又，故，由，可得，两式相减，可得，所以，令，所以，则，所以在上单调递减，由的取值范围为，，可得的取值范围为，所以，又因为，故实数的取值范围是． 题型五：双变量不等式:剪刀模型例9．（2021春•道里区校级期中）已知函数，是的极值点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．【解答】（Ⅰ）解：；由题意知，；；（Ⅱ）证明：设曲线在，处切线为直线；令；；；在上单调递增，在，上单调递减；；，即，即上的点都不在直线的上方；（Ⅲ）由（Ⅱ）设方程的解为；则有，解得；由题意知，；令，；；在上单调递增；；的图象不在的下方；与交点的横坐标为；则有，即；；关于的函数在上单调递增；．题型六：双变量不等式:主元法例10．已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)任取两个正数，当时，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性；（2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立.(1).当时，，令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.当，即时，恒成立，所以在上单调递增.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；(2)证明：由题意得，.要证，只需证，即证，即证.令，所以只需证在上恒成立，即证在上恒成立.令，则，令，则.所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以.所以.