2026年甘肃省兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（2）

这是一份2026年甘肃省兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（2），共12页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
数学·押题卷（2）
满分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1．下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．绿眼虫是一种导致水华现象的常见生物，其长度约为0.00005m．将数据0.00005用科学记数法表示正确的是（ ）
A．5×10﹣5 B．0.5×10﹣5 C．5×10﹣6 D．0.5×10﹣4
3．如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE∥BC，若∠C＝70°，则∠FEC＝（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．2（x﹣y）＝2x﹣2y
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x2+2x+3＝（x+1）2+2
5．关于一元二次方程x2﹣3x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ）
A．a+b＞b+cB．a﹣c＞b﹣cC．ab＞bcD．
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间有如下关系（其中x≤12）：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为14.5cm
9．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（低于6分为不合格），绘制的条形统计图如图，若该校八年级有800名学生，请估计该校八年级学生成绩不合格有（ ）
A．80人 B．100人
C．110人 D．120人
10．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠A＝60°，点E为BC的中点，动点P以2cm/s的速度沿A→B→E运动，动点Q以1cm/s的速度沿B→D运动，点P、Q分别从A、B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为xs，△BPQ的面积为y cm2，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，4小题，满分12分）
13．若式子 （x﹣2）0 无意义，则实数x的值为 ．
14．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是 ．
第16题
第15题
第14题
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，点A的坐标是（9，3）．若，则点A1的坐标是 ．
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD＝ ．
三．解答题（共12小题）
17．解方程：． 18．解方程：x2+6x+2＝0．
19．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a+b）（b﹣2a），其中a＝2，b＝3．
20．如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象上A、B两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n）．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．
21．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半径．
23．已知四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，连接AE．
（1）尺规作图：过点B作BF⊥AE于点H，交CD于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）求证：AE＝BF．（请补全下面的证明过程）
证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠ ＝90°，
∴∠ABH+∠CBF＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AHB＝∠EHB＝90°，
∴∠ABH+∠BAE＝90°，
∴ ，
在△ABE与△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝ ．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 的线段长相等．
24．如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷．已知苗圃的（南北）宽AB＝6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE＝76.5°，最小夹角是∠DBE＝29.5°．求遮阳蓬的宽CD和到地面的距离CB．
参考数据：sin29.5°≈，cs29.5°≈，tan29.5°≈，sin76.5°≈，cs76.5°≈，tan76.5°≈．
25．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝10米，AB＝1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面OA的距离为10米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
26．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
（1）求证：△ABE≌△FMN；
（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
27．（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转90°得到的对应点P′在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）图形W是线段AB，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，2），
①如图1，在点P1（﹣1，2），P2（2，4），P3（3，﹣1），P4（4，0）中，线段AB的“关联点”是 ；
②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段AB的“关联点”，求b的取值范围；
（2）图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．已知点M（6，0），N（0，2）．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
2026年兰州市初中学业水平考试
数学·押题卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
【解答】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；
A．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
2．绿眼虫是一种导致水华现象的常见生物，其长度约为0.00005m．将数据0.00005用科学记数法表示正确的是（ ）
A．5×10﹣5B．0.5×10﹣5C．5×10﹣6D．0.5×10﹣4
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：0.00005＝5×10﹣5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE∥BC，若∠C＝70°，则∠FEC＝（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】根据平行线的性质可得∠AED＝∠C＝70°，根据折叠的性质求出∠DEF，进而可计算∠FEC的度数．
【解答】解：∵DE∥BC，∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C＝70°，
由折叠得：∠DEF＝∠AED＝70°，
∴∠FEC＝180°﹣∠AED﹣∠DEF＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．2（x﹣y）＝2x﹣2y
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x2+2x+3＝（x+1）2+2
【分析】根据因式分解的定义，整式乘法的定义，依次判断，即可求解，
【解答】解：A、是分解因式，符合题意；
B、是整式的乘法运算，不符合题意；
C、是整式的乘法运算，不符合题意；
D、不是把多项式化成整式积的形式，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是关键．
5．关于一元二次方程x2﹣3x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】求出方程判别式Δ的值，判断其与0的大小关系，再判断每个选项的说法正确与否即可．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
6．表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ）
A．a+b＞b+cB．a﹣c＞b﹣cC．ab＞bcD．
【分析】根据图示，可得a＜b＜c且﹣2＜a＜﹣1，﹣1＜b＜0，1＜c＜2，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得a＜b＜c且﹣2＜a＜﹣1，﹣1＜b＜0，1＜c＜2，
∵a＜c，
∴a+b＜b+c，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣c＜b﹣c，
∴选项B不符合题意；
∵a＜c，b＜0，
∴ab＞bc，
∴选项C符合题意；
∵a＜b，c＞0，
∴＜，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】连接AC，先证明△ABC≌△ADC（SSS），根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠CAD，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ACE，进一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC＝9，根据AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知EF＝DE＝3，根据CF＝CE﹣EF求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB＝AD＝12，BC＝DC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵CE＝9，
∴AE＝9，
∴ED＝12﹣9＝3，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°，
∴△EFD是等边三角形，
∴EF＝ED＝3，
∴CF＝CE﹣EF＝9﹣3＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．
8．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间有如下关系（其中x≤12）：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为14.5cm
【分析】表格反映了两种量的关系，即x、y，观察表格可知y随x的变化而变化，从而对A作出判断，结合表格可得y＝0.5x+10，据此可判断其它选项，至此问题得解．
【解答】解：A、正确，不符合题意；
B、正确，不符合题意；
C、根据列表可得y＝0.5x+10，正确，不符合题意；
D、当所挂重物为7千克时，弹簧的长度为y＝0.5×7+10＝13.5（cm），故原说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查用表格表示变量间关系的题目，从表格中获取信息是关键．
9．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（低于6分为不合格），绘制的条形统计图如图，若该校八年级有800名学生，请估计该校八年级学生成绩不合格有（ ）
A．80人B．100人C．110人D．120人
【分析】用800乘以样本中不合格所占的比例即可．
【解答】解：估计该校八年级学生成绩不合格有800×＝120（人）．
故选：D．
【点评】此题考查了条形统计图以及用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
10．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点”列方程求解．
【解答】解：∵乙同学的速度是x米/分，
则甲同学的速度是1.2x米/分，
由题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
11．如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE
＝S△OCE+S半弓形BCE
＝S扇形COB
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠A＝60°，点E为BC的中点，动点P以2cm/s的速度沿A→B→E运动，动点Q以1cm/s的速度沿B→D运动，点P、Q分别从A、B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为xs，△BPQ的面积为y cm2，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】菱形ABCD的边长为6cm，∠A＝60°，点E为BC的中点，得∠ABD＝60°，BD＝AB＝6，分两种情况讨论，分别求出解析式即可判断出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6cm，∠A＝60°，点E为BC的中点，
∴∠ABD＝60°，BD＝AB＝6，
当P在AB上运动时，即0≤x≤3，
此时AP＝2x cm，BQ＝x cm，PB＝（6﹣2x）cm，
∴△BPQ的面积为y＝×（6﹣2x）×x＝﹣x2+x（cm2），
当P在BE是运动时，即3＜x≤4.5，
BP＝2x﹣6（cm），
∴△BPQ的面积为y＝×（2x﹣6）×x＝x2﹣x（cm2），
故答案为：B．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二．填空题（共4小题）
13．若式子 （x﹣2）0 无意义，则实数x的值为 2 ．
【分析】根据题意可得：x﹣2＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵式子 （x﹣2）0 无意义，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了零指数幂，熟练掌握a0＝1（a≠0）是解题的关键．
14．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：AD，DA，共2种，
∴所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，点A的坐标是（9，3）．若，则点A1的坐标是 （3，1） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，且，点A（9，3），
∴×9＝3，×3＝1，
即A1点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD＝ ．
【分析】根据已知易得BC＝6，从而可得CP＝4，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而利用三角形内角和定理可得∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，然后利用平角定义可得∠APB+∠DPC＝180°﹣∠B，从而可得∠DPC＝∠BAP，进而可得△ABP∽△PCD，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵BP＝BC＝2，
∴BC＝3BP＝6，
∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，
∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，
∵∠APD＝∠B，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B，
∴∠DPC＝∠BAP，
∴△ABP∽△PCD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键．
三．解答题（共12小题）
17．解方程：．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
①×2，得：2x+4y＝﹣4③，
②+③，得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得：2+2y＝﹣2，
解得：y＝﹣2，
故方程组的解为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握利用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．解方程：x2+6x+2＝0．
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，再利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程x2+6x+2＝0，
配方得：（x+3）2＝7，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a+b）（b﹣2a），其中a＝2，b＝3．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式进行计算，去括号合并得到最简结果；把a与b的值代入计算，即可求出值．
【解答】解：原式＝（2a﹣b）2+（2a+b）（2a﹣b），
＝4a2﹣4ab+b2﹣b2+4a2
＝8a2﹣4ab，
当a＝2，b＝3时，
原式＝32﹣24＝8．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象上A、B两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n）．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．
【分析】（1）根据反比例函数系数k＝xy得出n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n2+n＝﹣2n2+10n3n2﹣9n＝0，解方程求得A、B的坐标，进而即可利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）求得D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵A、B两点在的图象上，而A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n），
∴n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n2+n＝﹣2n2+10n3n2﹣9n＝0，
解得n1＝0，n2＝3
∵的图象与坐标轴没有交点，
∴n1＝0舍去，
∴n＝3，
∴A（3，4），B（﹣2，﹣6），
∴k＝3×4＝12，
设直线AB的解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，反比例函数解析式为：；
（2）设直线AB交x轴于点D，则
当y＝0时，2x﹣2＝0，
∴x＝1，
∴D（1，0），
∴
∴△AOB的面积为5．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得A、B点的坐标是解题的关键．
21．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 85 ，b＝ 87 ；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 七 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【解答】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，
八年级10名学生的成绩中8（7分）的最多有3人，所以众数b＝87，
A同学得了8（6分），大于8（5分），位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
（2）×200+×200＝220（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；
（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．
【点评】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC∥AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE＝90°，再利用（1）的结论可得tan∠ABC＝tan∠ACE＝，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AE⊥DC，
由（1）得：∠EAC＝∠OAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan∠ACE＝，
∴＝＝，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝，
∴OA＝．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．已知四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，连接AE．
（1）尺规作图：过点B作BF⊥AE于点H，交CD于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）求证：AE＝BF．（请补全下面的证明过程）
证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠ C ＝90°，
∴∠ABH+∠CBF＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AHB＝∠EHB＝90°，
∴∠ABH+∠BAE＝90°，
∴ ∠EHB＝∠BAE ，
在△ABE与△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝ BF ．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 垂直 的线段长相等．
【分析】（1）利用基本作图，过B点作AE的垂线即可；
（2）先根据等角的余角相等得到∠EBH＝∠BAE，则可判断△ABE≌△BCF，所以AE＝BF．于是探究得到：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等．
【解答】（1）解：如图，CF为所作；
（2）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴∠ABH+∠CBF＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AHB+∠EHB＝90°，
∴∠ABH+∠BAE＝90°，
∴∠EBH＝∠BAE，
在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等．
故答案为：C，∠EHB＝∠BAE，BF，垂直．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质．
24．如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷．已知苗圃的（南北）宽AB＝6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE＝76.5°，最小夹角是∠DBE＝29.5°．求遮阳蓬的宽CD和到地面的距离CB．
参考数据：sin29.5°≈，cs29.5°≈，tan29.5°≈，sin76.5°≈，cs76.5°≈，tan76.5°≈．
【分析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出DM，再由直角三角形的边角关系求出BM即可．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥BE于点M，
设DM＝x m，则BC＝x m，
在Rt△ADM中，
∵tan76.5°＝，
∴AM＝，
同理BM＝，
∵BM﹣AM＝AB＝6.5m，
∴﹣＝6.5，
解得DM≈4.2（m），
即遮阳蓬到地面的高度CB约为4.2m，
∵tan76.5°＝，DM＝4.2m，
∴AM＝≈1（m），
∴CD＝BM＝AB+AM
＝6.5+1
＝7.5（m），
即遮阳蓬的宽CD约为7.5m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
25．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝10米，AB＝1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面OA的距离为10米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
【分析】（1）依据题意，可得P、B的坐标，再结合待定系数法计算可以得解；
（2）依据题意，由平行线段EF与BC之间的距离为8米，AB＝1米，可得E、F的纵坐标为9，又抛物线为y＝﹣（x﹣5）2+10，令y＝9，可得9＝﹣（x﹣5）2+10，进而求出x后可判断得解．
【解答】解：（1）由题意可得，顶点P为（5，10），
∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+10．
又过点B（10，1），
∴1＝a×52+10．
∴a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+10．
（2）由题意，∵平行线段EF与BC之间的距离为8米，AB＝1米，
∴E、F的纵坐标为9．
又抛物线为y＝﹣（x﹣5）2+10，
∴令y＝9，可得9＝﹣（x﹣5）2+10．
∴x＝或x＝．
∴点E与隧道左壁OC之间的距离为米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
26．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
（1）求证：△ABE≌△FMN；
（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
【分析】（1）首先利用正方形的性质可以得到AB＝AD，∠BAE＝90°，然后利用MF∥AD可以得到∠MFN＝90°，进一步得到∠FMN＝∠MBO，最后利用全等三角形的判定方法即可求解；
（2）通过证明△BOM∽△BAE，可得OM：AE＝BO：BA，可求OM的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，
又∵MF∥AD，
∴四边形AMFD为矩形，
∴∠MFD＝∠MFN＝90°，
∴AD＝MF，
∴AB＝MF，
∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，
∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，
∴∠FMN＝∠MBO，
在△ABE和△FMN中，
∴△ABE≌△FMN（ASA）；
（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，
∴△BOM∽△BAE，
∴OM：AE＝BO：BA，
∵AB＝8，AE＝6，
∴BE＝＝10，
∴OM：6＝5：8，
∴OM＝，
∵△ABE≌△FMN，
∴NM＝BE＝10，
∴ON＝MN﹣MO＝．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质相似三角形的判定与性质，综合性比较强，对于学生的要求比较高．
27．（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 45或135 °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF＝4；则在Rt△AOF中，易得AF＝2，故AD＝2+4．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
同理，当点D在弧BC上时，∠BDC＝135°．
故答案为：45°或135；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，
∴BO＝CO＝4．
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE＝BC＝4，
∴DE＝OF＝2．
在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，
∴OE＝DF＝4．
在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2，
∴AF＝2，
∴AD＝2+4．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转90°得到的对应点P′在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）图形W是线段AB，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，2），
①如图1，在点P1（﹣1，2），P2（2，4），P3（3，﹣1），P4（4，0）中，线段AB的“关联点”是 P2（2，4）、P3（3，﹣1） ；
②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段AB的“关联点”，求b的取值范围；
（2）图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．已知点M（6，0），N（0，2）．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据“关联点”的定义可知P2（2，4）是线段AB的“关联点”；
②当直线y＝x+b经过点P1（3，﹣1）时，可得b的最小值，当直线y＝x+b经过点P2（0，5）时，可得b的最大值，可得b的取值范围为﹣2≤b≤5；
（2）根据“关联点”的定义可知：当线段MN与⊙T的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值；当线段MN与⊙T的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值；列出不等式分别求得t的最小值和最大值即可．
【解答】解：（1）①如图1，∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，2），
∴P2（2，4）绕着点Q（2，2）逆时针旋转90°得到的对应点P′（0，2）在线段AB上，P3（3，﹣1）绕着点B（3，2）顺时针旋转90°得到的对应点P′（0，2）在线段AB上，
∴点P2（2，4）、P3（3，﹣1）为图形线段AB的“关联点”，
故答案为：P2（2，4）、P3（3，﹣1）．
②如图2，当直线y＝x+b经过点P1（3，﹣1）时，可得b的最小值，
当直线y＝x+b经过点P2（0，5）时，可得b的最大值，
把P1（3，﹣1）代入y＝x+b1，得×3+b1＝﹣1，解得：b1＝﹣2；
把P2（0，5）代入y＝x+b2，得b2＝5； 解得：b2＝﹣2；
∴b的取值范围为﹣2≤b≤5；
（2）根据“关联点”的定义可知：当线段MN与⊙T的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值；当线段MN与⊙T的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值；如图3，
则，
解得：4﹣2≤t≤7+，
∴t的取值范围为4﹣2≤t≤7+．
【点评】本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/24 11:14:50；用户：刘老师；邮箱：13119420505；学号：40096498
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
36.6
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
36.6