2026年甘肃兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（5）

这是一份2026年甘肃兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（5），共43页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学·押题卷（5）
满分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1．2024年代表着希望，自然，生机，则2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．﹣
2．如图，射线AB，AC分别交直线m于点E，D，当∠CAB＝60°，∠1＝40°时，∠2的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
第2题
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72°B．70°C．60°D．45°
第4题
5．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
6．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）
第7题
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）（a﹣b） D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）
7．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示．l1和l2分别表示两人到小亮家的距离S（km）和时间t（h）的关系，下列结论：
①小明和小亮两家相距3.5km； ②小亮比小明早到0.1小时：
③小明步行的速度为每小时5km； ④小明和小亮在距离学校0.75km处相遇．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
9．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ）
A．（80﹣2x）（36﹣x）＝260×6 B．36×80﹣2×36x﹣80x＝260x6
C．（36﹣2x）（80﹣x）＝260 D．（80﹣2x）（36﹣x）＝260
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作⊙O，与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E，则的长为（ ）
A．3πB．2πC．D．
11．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A．B．C．D．
12．如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6 B．8
C．10 D．12
填空题（每小题3分，4小题，满分12分）
13．计算（π﹣2）0﹣|﹣3|的结果为 ．
14．如图是印有十二生肖鼠、牛、虎、兔、龙的5张卡片（除正面图案外，其余都相同），将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，记录下生肖后放回，再随机抽取一张，则抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的概率是 ．
15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A'B'CD'E，已知OA＝10cm，OA'＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A'B'C'D'E'的周长比是 ．
第16题
第15题
第14题
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题(本大题共12个小题，共计75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．计算：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240．
18．解不等式组，并写出满足条件的非正整数解．
19．解方程：x2﹣6x＝1．
20．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于点A（2，n），B（6，1）．
（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）求△ABO的面积．
21．某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：cm）数据统计如下：
A.16名学生的身高：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176；
B．16名学生身高的平均数、中位数、众数：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 ；（填“甲组”或“乙组”）
（3）该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169，169，173，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当，CD＝4时，求BF的长．
23．已知△ABC，在BC上方求作一点P，使PB＝PC，且S△PBC＝S△ABC．
24．小刚和小强要测量建筑物AB的高度，小刚站在建筑物对面的教学楼前地面上一点C处，测得建筑物顶端A的仰角为58°，小强站在建筑物对面的教学楼二楼上的点D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，此时两人的水平距离EC为5m，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，E在同一条水平直线上，教学楼二楼上的点D所在的高度DE为10m，根据测得的数据，计算建筑物AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60．
25．公园里，一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置OA，喷水口A距离水面的距离OA＝1.25米，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下．为了方便研究，以O为坐标原点，OA方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系．测得喷出的水流在离OA水平距离为0.75米的B处达到距水面的最大高度，同时经过距OA水平距离为2米，距水面的高度为0.75米的C点．
（1）若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
（2）如果水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？
26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．G为CD边中点，DF∥AC交BG延长线于点F，且BF＝2AB，BF交AC于点E，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CFDE是矩形；
（2）若四边形CFDE是正方形，且BC＝8，求AB的长．
27．课堂上，小颖和同学们以“图形的旋转与面积”为主题开展以下数学活动．
问题提出
（1）如图①，正方形ABCD的边长为a．将对角线AC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC，连接BE，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，易证△ABC≌△CFE，从而得到△BCE的面积为 ；（用含a的代数式表示）
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，BC＝m，将对角线AC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC，连接BE，求△BCE的面积；（用含m的代数式表示）
问题解决
（3）如图3，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，△ABC的面积为40，将边BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，补全图形并求△BCD的面积．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A（3，0），B（5，0），
①在点P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，线段AB的融合点是 ；
②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A（a，0），B（a+1，0），直线l过点T（0，﹣1），记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．

2026年兰州市初中学业水平考试
数学·押题卷（5）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．2024年代表着希望，自然，生机，则2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．﹣
【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．如图，射线AB，AC分别交直线m于点E，D，当∠CAB＝60°，∠1＝40°时，∠2的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【分析】计算出∠3的度数即可得到答案．
【解答】解：标记∠3，∠4，如解图所示．
∵∠4＝∠1＝40°，∠CAB＝60°．
∴∠3＝80°，
∴∠2＝∠3＝80°．
故选：C．
【点评】本题主要考查相交线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相交线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用分式的加减法则计算即可．
【解答】解：原式＝+
＝
＝
＝
＝，
故选：D．
【点评】本题考查分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72°B．70°C．60°D．45°
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝∠BCD＝×（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝108°﹣36°＝72°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
5．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
【分析】先根据分式的运算法则化简分式，再结合m2﹣3m＝2代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝，
∵m2﹣3m＝2，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，关键是分式运算法则的运用．
6．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4）
B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）（a﹣b）
D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）
【分析】分解每个多项式，根据分解结果得结论．
【解答】解：A．2x2﹣4x＝2x（x﹣2）≠2x（x﹣4），故选项A分解错误；
B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），故选项B分解正确；
C．a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≠（a+b）（a﹣b），故选项C分解错误；
D．x3﹣81x＝x（x+9）（x﹣9）≠x（x2+9）（x2﹣9），故选项D分解错误；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
7．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD，可判断①正确；
利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，利用8字形可得∠AGB＝∠ACB＝60°，可判断②正确；
证明△BCF≌△ACH，得BF＝AH，可判断③正确；
由CF＝CH和∠ACH＝60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形，可判断④正确．
【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠BFC＝∠AFG，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形；故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
8．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示．l1和l2分别表示两入到小亮家的距离S（km）和时间t（h）的关系，下列结论：
①小明和小亮两家相距3.5km；
②小亮比小明早到0.1小时：
③小明步行的速度为每小时5km；
④小明和小亮在距离学校0.75km处相遇．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据函数图象，根据路程、速度、时间的关系逐项解答即可．
【解答】解：从图象可知，小明和小亮两家相距3.5km，小亮比小明早到0.1小时，
故①②正确，符合题意；
小明步行的速度为＝5（km/h），
故③正确，符合题意；
小亮的速度为＝15（km/h），
设两人在出发后t小时相遇，
则15t＝3.5+5t，
解得t＝0.35，
此时两人距学校的距离为6﹣0.35×15＝0.75（km），
故④正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是读取图中信息，用路程、速度、时间的关系解答．
9．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ）
A．（80﹣2x）（36﹣x）＝260×6
B．36×80﹣2×36x﹣80x＝260x6
C．（36﹣2x）（80﹣x）＝260
D．（80﹣2x）（36﹣x）＝260
【分析】根据题意和图形，可以列出相应的分式方程，本题得以解决，注意每块草坪的面积都为260平方米．
【解答】解：由题意可得，
（80﹣2x）（36﹣x）＝260×6，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作⊙O，与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E，则的长为（ ）
A．3πB．2πC．D．
【分析】连接OD、OE、OA，根据等腰三角形的性质对称∠B＝∠C＝30°，AO⊥BC，利用圆周角定理得出∠BOD＝∠COE＝60°，即可得出∠DOE＝60°，解直角三角形求得半径，然后利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OD、OE、OA，
在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵OB＝OC，
∴AO⊥BC，
在Rt△ABO中，∠B＝30°，AB＝6，
∴OB＝AB＝3，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BOD＝∠COE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：＝．
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，求得圆心角和圆的半径是解题的关键．
11．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正方形的面积求出正方形的边长，即可得出CP的长，从而求得点P在数轴上所对应的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为2，
∴正方形ABCD的边长为，
即CD＝CP＝，
∵点C表示的数为﹣1，点P在点C的左边，
∴点P表示的数为﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，求出CP的长是解题的关键．
12．如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝10；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．
【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝10．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，
设BE的长度为t，
则BA＝t+2，
∴（t+2）2+t2＝100，
即：t2+t﹣48＝0，
∴（t+8）（t﹣6）＝0，
由于t＞0，
∴t+8＞0，
∴t﹣6＝0，
∴t＝6．
∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
13．计算（π﹣2）0﹣|﹣3|的结果为 ﹣2 ．
【分析】根据零指数幂与绝对值的性质解答即可．
【解答】解：原式＝1﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查的是零指数幂与绝对值，零指数幂：a0＝1（a≠0）．
14．如图是印有十二生肖鼠、牛、虎、兔、龙的5张卡片（除正面图案外，其余都相同），将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，记录下生肖后放回，再随机抽取一张，则抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的概率是 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将印有十二生肖鼠、牛、虎、兔、龙的5张卡片分别记为A，B，C，D，E，
列表如下：
共有25种等可能的结果，其中抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的结果有1种，
∴抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A'B'CD'E，已知OA＝10cm，OA'＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A'B'CD'E'的周长比是 1：2 ．
【分析】根据已知可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．
故答案为：1：2．
【点评】此题考查了位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键．
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的是 ①③ （填序号）．
【分析】过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，如图所示，根据正方形性质得∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN是正方形，由矩形性质得EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得ED＝EF，推出矩形DEFG是正方形，故①正确；根据正方形性质得AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，由此推出CG平分∠DCF，故③正确；进而求得，故②错误；当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误．
【解答】解：过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG是正方形，故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴CG平分∠DCF，故③正确；
∴，故②错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
三．解答题（共12小题）
17．计算：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240．
【分析】先算括号内的式子和乘方，再算乘除法，然后算加减法即可．
【解答】解：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240
＝2×2+4÷（﹣2）﹣1
＝4+（﹣2）+（﹣1）
＝1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．解不等式组，并写出满足条件的非正整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非正整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
则不等式组的非正整数解为0．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19．解方程：x2﹣6x＝1．
【分析】本题方程的二次项系数为1，一次项系数为﹣6，适合用配方法解方程．
【解答】解：原方程化为x2﹣6x+9＝10，
（x﹣3）2＝10，即x﹣3＝±
∴．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
20．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于点A（2，n），B（6，1）．
（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）求△ABO的面积．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；
（3）根据直线解析式求出点C坐标，再根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，n），B（6，1）在双曲线y＝图象上，
∴m＝2n＝6，
∴m＝6，n＝3，
∴A（2，3），B（6，1），
∴双曲线解析式为：y＝，
∵A（2，3），B（6，1）在直线y＝kx+b图象上，
∴，解得，
∴直线解析式为：y＝﹣．
（2）根据函数图象可知，关于x的不等式的解集为：2＜x＜6．
（3）设直线与y轴的交点为C（0，4），
∵S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC，
∴S△AOB＝＝8．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
21．某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：cm）数据统计如下：
A.16名学生的身高：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176；
B．16名学生身高的平均数、中位数、众数：
（1）m＝ 167 ，n＝ 166 ；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 甲组 ；（填“甲组”或“乙组”）
（3）该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169，169，173，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 170cm 和 171cm ．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算；
（2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；
（3）根据方差进行比较．
【解答】解：（1）数据按由小到大的顺序排序：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176，
则舞蹈队16名学生身高的中位数为m＝＝167（cm），众数为n＝166（cm），
故答案为：167；166；
（2）甲组学生身高的平均值是：＝165.8（cm），
甲组学生身高的方差是：×[（165.8﹣163）2+（165.8﹣166）2+（165.8﹣166）2+（165.8﹣167）2+（165.8﹣167）2]＝2.16，
乙组学生身高的平均值是：＝166.4（cm），
乙组学生身高的方差是：×[（166.4﹣162）2+（166.4﹣163）2+（166.4﹣165）2+（166.4﹣166）2+（166.4﹣176）2]＝25.04，
∵25.04＞2.16，
∴甲组舞台呈现效果更好．
故答案为：甲组；
（3）∵169，169，173的平均数为（169+169+173）＝170（cm），
且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，
∴数据的差别较小，
可供选择的有170cm，171cm，
平均数为：（169+169+170+171+173）＝170.4（cm），
方差为：[（169﹣170.4）2+（169﹣170.4）2+（170﹣170.4）2+（171﹣170.4）2+（173﹣170.4）2]＝2.24＜，
∴选出的另外两名学生的身高分别为170cm和171cm．
故答案为：170cm，171cm．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当，CD＝4时，求BF的长．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，求得∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，根据勾股定理得到OF＝＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵∠EAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OC∥AD，
∵CDAD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD为⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴，
设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，
∴OF＝＝x，
∵OC∥AD，
∴△AFD∽△OFC，
∴，
∴，
∴x＝2，
∴BF＝OF﹣OB＝10﹣2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．已知△ABC，在BC上方求作一点P，使PB＝PC，且S△PBC＝S△ABC．
【分析】作线段BC的垂直平分线，再根据作一个角等于已知角的方法，在AB的上方作∠BAP＝∠ABC，与线段BC的垂直平分线交于点P，则点P即为所求．
【解答】解：如图，作线段BC的垂直平分线，再在AB的上方作∠BAP＝∠ABC，与线段BC的垂直平分线交于点P，
则PB＝PC，AP∥BC，
∴S△PBC＝S△ABC，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行线的判定与性质是解答本题的关键．
24．小刚和小强要测量建筑物AB的高度，小刚站在建筑物对面的教学楼前地面上一点C处，测得建筑物顶端A的仰角为58°，小强站在建筑物对面的教学楼二楼上的点D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，此时两人的水平距离EC为5m，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，E在同一条水平直线上，教学楼二楼上的点D所在的高度DE为10m，根据测得的数据，计算建筑物AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60．
【分析】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10m，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：由题意得∠ADF＝45°，∠ACB＝58°，CE＝5m，DE＝10m，
∴四边形BFDE是矩形，
∴FB＝DE＝10m，FD＝BE，
设AB＝x m，则AF＝（x﹣10）m，
在Rt△AFD中，，∠ADF＝45°，
∴FD＝＝＝（x﹣10）m，
在Rt△ABC中，，∠ACB＝58°，
∴，
∵FD＝BE，
∴，
解得 ．
答：建筑物AB的高度约为40m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25．公园里，一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置OA，喷水口A距离水面的距离OA＝1.25米，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下．为了方便研究，以O为坐标原点，OA方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系．测得喷出的水流在离OA水平距离为0.75米的B处达到距水面的最大高度，同时经过距OA水平距离为2米，距水面的高度为0.75米的C点．
（1）若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
（2）如果水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？
【分析】（1）依据题意，顶点的横坐标为0.75，故可设解析式为y＝a（x﹣0.75）2+k，又过A（0，1.25），C（2，0.75），进而可得方程组，求出a，k后得抛物线的解析式，再y＝0，求出x的值即可得解；
（2）依据题意，当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，可设y＝﹣（x﹣m）2+n，把点（0，1.25），（3，0）代入抛物线解析式计算可得解析式，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，顶点的横坐标为0.75，
∴可设解析式为y＝a（x﹣0.75）2+k．
又过A（0，1.25），C（2，0.75），
∴．
∴．
∴抛物线为y＝﹣（x﹣0.75）2+．
令y＝0，
∴0＝﹣（x﹣0.75）2+．
∴x＝2.5 或x＝﹣1（舍去）．
∴水池的半径至少为2.5米．
（2）由题意，可设y＝﹣（x﹣m）2+n，
把点（0，1.25），（3，0）代入抛物线解析式得，
∴．
∴．
∴y＝﹣（x﹣）2+．
∴水池的半径为3m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据顶点式求出二次函数的解析式是关键．
26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．G为CD边中点，DF∥AC交BG延长线于点F，且BF＝2AB，BF交AC于点E，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CFDE是矩形；
（2）若四边形CFDE是正方形，且BC＝8，求AB的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△DGF≌△CGE，可得DF＝CE，可证四边形DFCE是平行四边形，由平行线分线段成比例可得BE＝EF＝AB＝CD，可得结论；
（2）由勾股定理可求CG的长，可得结论．
【解答】（1）证明：∵DF∥CE，
∴∠FDC＝∠DCE，
∵点G是CD的中点，
∴DG＝GC，
在△DGF和△CGE中，
，
∴△DGF≌△CGE（ASA），
∴DF＝CE，
又∵DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AB＝CD，
∵AC∥DF，
∴，
∴BE＝EF，
∵BF＝2AB，
∴BE＝EF＝AB＝CD，
∴平行四边形DFCE是矩形；
（2）解：∵四边形CFDE是正方形，
∴EF⊥CD，GC＝GE＝GF，
∴BG＝3CG，
在Rt△BGC中，BC2＝BG2+CG2，
∴64＝9CG2+CG2，
∴CG＝，
∴AB＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27．课堂上，小颖和同学们以“图形的旋转与面积”为主题开展以下数学活动．
问题提出
（1）如图①，正方形ABCD的边长为a．将对角线AC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC，连接BE，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，易证△ABC≌△CFE，从而得到△BCE的面积为 a2 ；（用含a的代数式表示）
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，BC＝m，将对角线AC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC，连接BE，求△BCE的面积；（用含m的代数式表示）
问题解决
（3）如图3，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，△ABC的面积为40，将边BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，补全图形并求△BCD的面积．
【分析】（1）根据题意和三角形面积公式即可解决问题；
（2）如图2，过点E作BC的垂线，与BC的延长线交于点F，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△CFE，就有EF＝BC＝m．进而由三角形的面积公式得出结论；
（3）过点B作BH⊥AC于点H，过点A作AG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质可以得出BG＝BC，由条件同（2）△ABG≌△BDE（AAS），就可以得出BG＝DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知：△ABC≌△CFE，
∴BC＝EF＝a，
∵S△BCE＝BC•EF，
∴S△BCE＝a2；
∴△BCE的面积为a2；
故答案为：a2；
（2）如图2，过点E作BC的垂线，与BC的延长线交于点F，
∴∠BFE＝∠ABC＝90°，
∵线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，
∴AC＝CE，∠ACE＝90°．
∴∠ACB+∠ECF＝90°．
∵∠BAC+∠ACB＝90°．
∴∠BAC＝∠ECF，
在△ABC和△CFE中，
，
∴△ABC≌△CFE（AAS），
∴BC＝EF＝m，
∵S△BCE＝BC•EF，
∴S△BCE＝m2；
（3）如图3，过点B作BH⊥AC于点H，过点A作AG⊥BC于点G，
在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，△ABC的面积为40，
∴AC•BH＝40，
∴BH＝8，
∴AH＝＝6，
∴CH＝AC﹣AH＝4，
∴BC＝＝＝4，
∴BG＝CG＝BC＝2，
过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，
∵将边BA绕点B顺时针旋转 90°得到线段BD，
同（2）△ABG≌△BDE（AAS），
∴BG＝DE＝2，
∵S△BCD＝BC•DE，
∴S△BCD＝×4×2＝20．
∴△BCD的面积为20．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A（3，0），B（5，0），
①在点P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，线段AB的融合点是 P1，P3 ；
②若直线y＝t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A（a，0），B（a+1，0），直线l过点T（0，﹣1），记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①分别求出P1A的线段垂直平分线与x轴的交点为（，0），直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（，0），直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（3，0），再根据定义判断即可；
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当y＝t与圆有交点时，直线y＝t上存在线段AB的融合点；
（2）由（1）可知，A'B'的融合点在以A'、B'为圆心，A'B'为圆心的圆及内部，圆O与圆A'、圆B'的公共区域为以O为圆心2为半径，以T为圆心的圆环与圆O有交点，临界情况是圆内含时，当a＞0时，a的最大值为＝，最小值为﹣1＝﹣1，当a＜0时，a的最大值为﹣＝﹣，最小值为﹣﹣1＝﹣﹣1，由此可求a的取值范围为﹣1≤a≤或﹣﹣1≤a≤﹣．
【解答】解：（1）①∵P1（6，0），A（3，0），
∴P1A的线段垂直平分线与x轴的交点为（，0），
∴P1是线段AB的融合点；
∵P2（1，﹣2），B（5，0），
设直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（a，0），
∴（a﹣1）2+4＝（5﹣a）2，
解得a＝，
∴直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为（，0），
∴P2不是线段AB的融合点；
∵P3（3，2），B（5，0），
设直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（b，0），
∴（b﹣3）2+4＝（5﹣b）2，
解得b＝3，
∴直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为（3，0），
∴P3是线段AB的融合点；
故答案为：P1，P3；
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，
∵A（3，0），B（5，0），
∴AB＝2，
当y＝t与圆相切时，t＝2或t＝﹣2，
∴﹣2≤t≤2时，直线y＝t上存在线段AB的融合点；
（2）由（1）可知，A'B'的融合点在以A'、B'为圆心，A'B'为圆心的圆及内部，
∵A（a，0），B（a+1，0），
∴AB＝A'B'＝1，
∵⊙O上有A'B'的融合点，
∴圆O与圆A'、B'有交点，
∴圆O与圆A'、圆B'的公共区域为以O为圆心2为半径，以T为圆心的圆环与圆O有交点，临界情况是圆内含时，
当a＞0时，a的最大值为＝，最小值为﹣1＝﹣1，
∴﹣1≤a≤；
当a＜0时，a的最大值为﹣＝﹣，最小值为﹣﹣1＝﹣﹣1，
∴﹣﹣1≤a≤﹣；
综上所述：a的取值范围为﹣1≤a≤或﹣﹣1≤a≤﹣．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质，弄清定义，根据题意能够确定线段的融合点的轨迹是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/28 10:12:50；用户：刘老师；邮箱：13119420505；学号：40096498
平均数
中位数
众数
167.75
m
n
甲组学生的身高
163
166
166
167
167
乙组学生的身高
162
163
165
166
176
A
B
C
D
E
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
（E，E）
平均数
中位数
众数
167.75
m
n
甲组学生的身高
163
166
166
167
167
乙组学生的身高
162
163
165
166
176