2026年甘肃兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（4）

这是一份2026年甘肃兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（4），文件包含第29讲统计复习讲义原卷版docx、第29讲统计复习讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
数学·押题卷（4）
满分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1．家用冰箱冷冻室的温度需控制在﹣4℃到﹣24℃之间，则可将冷冻室的温度设为（ ）
A．0℃B．﹣3℃C．﹣18℃D．﹣25℃
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
3．一把直尺和一个含30°角的三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1＝28°，则∠2的度数是（ ）
A．62°B．56°C．45°D．28°
第3题
4．把多项式a2﹣1分解因式得（ ）
A．（a+1）（a﹣1） B．a（a﹣1）C．（a﹣1）2 D．（a+1）2
5．如图，数轴上点A表示的数是2024，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
第7题
6．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＝0时，方程的解为（ ）
A．， B．， C． D．
7．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝2，结论错误的是（ ）
A．∠ADE＝30° B．AD＝4 C．△ADE的面积为4 D．△EFC的周长为18
8．甲、乙两人相约同时从某地出发同向骑行，甲骑行的速度为每小时18千米，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．当0≤t≤0.2时，则s＝15t B．当t＞0.2时，则s＝20t﹣1
C．当t＝0.5时，甲、乙两人在骑行的途中相遇
D．当甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时，此时或t＝0.4
9．某中学为丰富学生的校园体育锻炼，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．因此学校数学兴趣小组随机抽取了该校100名同学就体育兴趣爱好情况进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列统计图：
若该校共有学生1200人，则该校喜欢跳绳的学生大约有（ ）
A．280人B．240人
C．170人D．120人
10．《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人有x人，物价为y钱，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为4，∠D＝120°，则的长是（ ）
A．πB．C．D．4π
12．在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点出发沿BC向C点运动，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当△ABP为锐角三角形时x的取值范围为（ ）
A．2＜x＜4B．1＜x＜3
C．1＜x＜4D．3＜x＜5
二．填空题（每小题3分，共4小题，满分12分）
13．（4﹣π）0﹣|﹣3|＝ ．
14．一个袋中有1个白球，3个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到1个白球和1个蓝球的概率是 ．
15．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知△ABC与△DEF的面积之比是9：1，则AO与OD之比是 ．
第16题
第15题
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 ．
三、解答题(本大题共12个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．计算：．
18．先化简，再求值：（a﹣2）2+a（a+4），其中．
19．计算．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝图象交x于A（，4）、B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）求直线AB的解析式；
（3）根据图像直接写出不等式kx+b＞中x的取值范围．
21．某职业技术学院准备从本校两名优秀学员中挑选一人参加市级操作技能大赛，以下分别是两名学员在培训期间的先后8次操作技能测试的得分情况及统计情况：
根据以上统计结果回答下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）应用你所学的统计知识，你认为选派哪名学员参加比赛更合适？请说明你的理由．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC＝BC，∠CAB＝∠BDE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，AB＝BE，求的长．
23．已知：如图，点M在∠AOB的边OA上．
求作：射线MN，使MN∥OB，且点N在∠AOB的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D．
②分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P．
③画射线OP．
④以点M为圆心，OM长为半径画弧，交射线OP于点N．
⑤画射线MN．
射线MN即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠AON＝ ．
∵OM＝MN．
∴∠AON＝ （ ）．（括号内填写推理依据）
∴∠BON＝∠ONM．
∴MN∥OB（ ）．（填写推理依据）
24．如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得BC＝1.72m，DE＝2m，∠B＝55°．
（1）连接CD，则∠BCD＝ °；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（精确到0.01m，参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43）
25．要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，但不影响抛物线的形状，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高米，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，高度为3米．以O为原点，OA所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系．
（1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式；
（2）求水柱落地点A到水池中心O的距离．
（3）受场地的限制，喷水池的最大半径为2.5米，为了不让水喷到外面，喷头高度至少降低多少米？
26．如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当＝，AD＝4时，求EF的长．
27．综合与实践
【问题情景】
数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）小红将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠（如图①），使点A落在边CD的中点M处，折痕为BP，把纸片展平，则∠DMP＝ °．
【探究与实践】
（2）小亮受到此问题的启发，用矩形ABCD（如图②），继续探究，过程如下：
操作一：将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平；
操作二：将矩形纸片ABCD沿BP折叠，使点A落在EF上的点M处，延长PM交CD的延长线于点N．
①∠MBC＝ °
②若AB＝6，AD＝8，求FN的长．
【拓展应用】
（3）小明深入研究并提出新的探究点
将矩形纸片ABCD换为正方形纸片ABCD（如图③），边长为8，将矩形纸片ABCD沿BP折叠，使点A落在正方形内一点M，过点M作EF∥AB，分别交AD、BC于点E、F，将纸片展平，当点P为AD中点时，求DE的长．
28．在平面直角坐标系xOy中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点M、N（点M和N可以重合），满足PM＝P′N，其中点P′是点P关于x轴的对称点，则称点P'是图形W的“对称平衡点”．
（1）如图1所示，已知，点A（0，2），点B（3，2）．
①在点P1（0，1），P2（1，﹣1），P3（4，1）中，是线段AB的“对称平衡点”的是 ；
②线段AB上是否存在线段AB的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由．
（2）如图2，以点A（0，2）为圆心，1为半径作⊙A．坐标系内的点C满足AC＝2，再以点C为圆心，1为半径作⊙C，若⊙C上存在⊙A的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标yc的取值范围．
2026年兰州市初中学业水平考试
数学·押题卷（4）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．家用冰箱冷冻室的温度需控制在﹣4℃到﹣24℃之间，则可将冷冻室的温度设为（ ）
A．0℃B．﹣3℃C．﹣18℃D．﹣25℃
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可．
【解答】解：∵﹣25＜﹣24＜﹣18＜﹣4＜﹣3＜0，家用冰箱冷冻室的温度需控制在﹣4℃到﹣24℃之间，
∴可将冷冻室的温度设为﹣18℃．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数大小比较以及正数和负数，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】观察四个选项中的图形，根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可以重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合，逐项进行判断即可得到答案．
【解答】解：A．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可以重合，中心对称图形旋转180°后与原图重合，是解题的关键．
3．一把直尺和一个含30°角的三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1＝28°，则∠2的度数是（ ）
A．62°B．56°C．45°D．28°
【分析】根据题意得：AB∥CD，∠4＝90°，根据平行线的性质可得∠2＝∠3，再由平角的定义，即可求解．
【解答】解：如图，
根据题意得：AB∥CD，∠4＝90°，
∴∠2＝∠3，∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝28°，
∴∠2＝∠3＝90°﹣28°＝62°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．把多项式a2﹣1分解因式得（ ）
A．（a+1）（a﹣1）B．a（a﹣1）
C．（a﹣1）2D．（a+1）2
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），
故选：A．
【点评】本题主要考查了分解因式，熟练掌握公式法因式分解是关键．
5．如图，数轴上点A表示的数是2024，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据OA＝OB，求出OB，继而可以求出点B表示的数．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2024，
∴OB＝2024，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2024＝﹣2024．
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．
6．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＝0时，方程的解为（ ）
A．，B．，
C．D．
【分析】利用判别式的意义得到方程有两个相等的实数解，然后根据一元二次方程的求根公式得到方程的解．
【解答】解：∵b2﹣4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数解，
∵x＝，
∴方程的解为x1＝x2＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了公式法解一元二次方程．
7．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝2，结论错误的是（ ）
A．∠ADE＝30°B．AD＝4
C．△ADE的面积为4D．△EFC的周长为18
【分析】由等边三角形的性质可得∠A＝60°，AB＝BC＝AC，结合垂直的定义可求解∠ADE的度数，即可判断A选项；由含30°角的直角三角形的性质可求解AD的长度，可判断B选项；由勾股定理可求解DE的长，再利用三角形的面积公式可计算△ADE的度数，即可判断C选项；证明△EFC是等边三角形，利用三角形的周长公式计算，即可判断D选项．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，故A选项正确；
∵AE＝2，
∴AD＝2AE＝4，故选项B正确，
∵DE＝，
∴S△ADE＝，故选项C错误．
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∵D为BA的中点，
∴AC＝AB＝2AD＝8，
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣2＝6，
∴△EFC的周长＝3×6＝18，故选项D正确，
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．甲、乙两人相约同时从某地出发同向骑行，甲骑行的速度为每小时18千米，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．当0≤t≤0.2时，则s＝15t
B．当t＞0.2时，则s＝20t﹣1
C．当t＝0.5时，甲、乙两人在骑行的途中相遇
D．当甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时，此时或t＝0.4
【分析】根据图象分段设出函数解析式，在用待定系数法求出函数解析式即可判断A，B；甲乙同时出发，设t小时乙后追上甲，根据题意得20t﹣1＝18t，求出t的值，可以判断C；分两种情况，根据甲、乙两人的距离为0.2km列方程，求出t即可判断D．
【解答】解：当0≤t≤0.2时，设s＝at，
把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，
解得：a＝15，
∴s＝15t，
故A正确，不符合题意；
当t＞0.2时，设s＝kt+b，
把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，得：
，
解得：，
∴s＝20t﹣1，
故B正确，不符合题意；
∵甲乙同时出发，
设t小时乙后追上甲，
根据题意得：20t﹣1＝18t，
解得：t＝0.5，
故C正确，不符合题意；
当0≤t≤0.2时，
18t﹣15t＝0.2，
解得t＝；
当t＞0.2时，20t﹣1﹣18t＝0.2，
解得：t＝0.6．
∴当甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时，此时或t＝0.6，
故D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，由函数图象获取信息，不等式的应用，解题的关键是根据图象用待定系数法分段求函数解析式．
9．某中学为丰富学生的校园体育锻炼，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．因此学校数学兴趣小组随机抽取了该校100名同学就体育兴趣爱好情况进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列统计图：
若该校共有学生1200人，则该校喜欢跳绳的学生大约有（ ）
A．280人B．240人C．170人D．120人
【分析】根据喜欢跳绳的人数占总人数的20%乘以总人数即可得出结论．
【解答】解：∵100名同学中喜欢跳绳的学生有20名，
∴1200×＝240（名），
答：估计该校有240名学生喜欢跳绳．
故选：B．
【点评】本题考查了用样本估计总体，正确地列出算式是解题的关键．
10．《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人有x人，物价为y钱，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为4，∠D＝120°，则的长是（ ）
A．πB．C．D．4π
【分析】根据∠D＝120°得到∠B＝60°，从而得到∠O＝2∠B＝120°，结合求解即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵，
∴∠O＝2∠B＝120°，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握圆内接四边形对角互补及扇形弧长公式．
12．在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点出发沿BC向C点运动，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当△ABP为锐角三角形时x的取值范围为（ ）
A．2＜x＜4B．1＜x＜3C．1＜x＜4D．3＜x＜5
【分析】根据题意得到BH、AH的长度，分类讨论△ABP为直角三角形时的情况即可．
【解答】解：根据题意得：
AB＝2，点A到BC的距离为，即，此时点P到达点H，BP＝1，
当点C与点H重合时，△ABP为直角三角形，则C在H右侧时，△ABP为锐角三角形，
当∠BAP＝90°时，∠BAH+∠CAH＝90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴∠CAH+∠C＝90°，
∴∠BAH＝∠C，
∴△AHB∽△PHA，
∴，
∴AH2＝BH⋅HP，
∴，
∴HP＝3，
∴BP＝4，
∴当△ABP为锐角三角形时，1＜x＜4，
故选：C．
【点评】本题为动点函数图象问题，考查了二次函数图象最小值的实际意义以及直角三角形的分类讨论，相似三角形的判定与性质，解题的关键是以△ABP为直角三角形作为临界条件解决问题．
二．填空题（共4小题）
13．（4﹣π）0﹣|﹣3|＝ ﹣2 ．
【分析】根据零指数幂的运算法则和绝对值的意义进行计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣3
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂的运算法则和绝对值的意义．
14．一个袋中有1个白球，3个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到1个白球和1个蓝球的概率是 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸到1个白球和1个蓝球的情况数，然后根据概率公式求出答案即可．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，摸到1个白球和1个蓝球的有6种，
∴摸到1个白球和1个蓝球的概率是＝；
故答案为：．
【点评】本题考查列树状图求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知△ABC与△DEF的面积之比是9：1，则AO与OD之比是 3：1 ．
【分析】先根据位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB：DE＝OA：OD，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解决问题．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是9：1．
∴△ABC∽△DEF，AB：DE＝OA：OD＝3：1，
故答案为：3：1．
【点评】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，位似比等于相似比．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 2 ．
【分析】先连接BE，将CE+DF转化为CE+BE，再利用将军饮马解决问题即可．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，
∴CE+DF＝CE+BE，
如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'，
CB'即为CE+BE的最小值，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BB'＝2，BC＝2，
∴B′C＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将CE+DF转化为CE+BE是解题的关键．
三．解答题（共12小题）
17．计算：．
【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，零指数幂及算术平方根计算即可．
【解答】解：
＝1+2+1﹣3
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．先化简，再求值：（a﹣2）2+a（a+4），其中．
【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（a﹣2）2+a（a+4）
＝a2﹣4a+4+a2+4a
＝2a2+4，
当时，原式＝2×（）2+4＝2×2+4＝4+4＝8．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．计算．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝图象交x于A（，4）、B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）求直线AB的解析式；
（3）根据图像直接写出不等式kx+b＞中x的取值范围．
【分析】（1）把点A（，4）代入y＝中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；
（2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝图象交x于A（，4）．B（3，m），
∴n＝×4＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点B（3，m）代入y＝得m＝＝2；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A（，4），B（3，2）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6；
（3）∵A（，4），B（3，2），
结合函数图象可知：当x＜0或＜x＜3时，kx+b＞，
即不等式kx+b＞中x的取值范围：x＜0或＜x＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
21．某职业技术学院准备从本校两名优秀学员中挑选一人参加市级操作技能大赛，以下分别是两名学员在培训期间的先后8次操作技能测试的得分情况及统计情况：
根据以上统计结果回答下列问题：
（1）a＝ 89 ；b＝ 92 ；c＝ 92 ；
（2）应用你所学的统计知识，你认为选派哪名学员参加比赛更合适？请说明你的理由．
【分析】（1）根据甲的平均数求a、根据中位数和众数的定义分别计算b和c即可；
（2）从平均数、中位数、方差以及数据的变化趋势分析．
【解答】解：（1）∵×（82+92+86+a+92+93+92+94）＝90，
∴a＝89，
将甲成绩从小到大排序处在第4、5位的平均数为（92+92）÷2＝92，
因此甲的中位数b＝92，
乙的成绩中92分的最多，所以众数c＝92；
故答案为：89，92，92；
（2）选派甲学员参加比赛更合适，
理由：甲的方差＝[（82﹣90）2+3×（92﹣90）2+（86﹣90）2+（89﹣90）2+（93﹣90）2+（94﹣90）2]÷8＝14.75，
乙的方差＝[2×（96﹣90）2+3×（92﹣90）2+（80﹣90）2+（96﹣90）2+（79﹣90）2+（93﹣90）2]÷8＝43.75，
因为甲和乙的平均数，中位数和众数都一样，但是甲的方差比乙的小，说明甲的成绩稳定，
所以选派甲学员参加比赛更合适．
【点评】本题考查平均数、中位数、方差的意义及计算方法，从多角度分析数据的发展趋势是一项基本的能力．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC＝BC，∠CAB＝∠BDE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，AB＝BE，求的长．
【分析】（1）连接AD，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则可判断AD为⊙O的直径，再根据SAS判断△ADC≌△ABC，根据全等的性质证得∠CAB＝∠CAD，等量代换证得∠CAD＝∠BDE，从而得到∠ADE＝90°证得结论；
（2）连接OC，先确定△ABD为等边三角形，然后计算∠AOC，根据弧长的计算公式求出弧长即可．
【解答】（1）证明：连接AD，如图，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴AD为⊙O的直径，
∵DC＝BC，AC＝AC，
∴△ADC≌△ABC（SAS），
∴∠CAB＝∠CAD，
∵∠CAB＝∠BDE，
∴∠CAD＝∠BDE，
∵∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°，
即AD⊥DE，
∵AD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接OC，
∵△ADC≌△ABC
∴AD＝AB，
∵O的半径为2，
∴AD＝4，
∵AB＝BE，
∴AB＝BE＝4，
∴AE＝8，
∴∠E＝30°，
∴∠DAE＝∠ADB＝60°，
∴∠AOC＝2∠ADB＝120°，
∴的长为．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及弧长的计算，解题的关键是熟记相关的定理以及公式．
23．已知：如图，点M在∠AOB的边OA上．
求作：射线MN，使MN∥OB，且点N在∠AOB的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D．
②分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P．
③画射线OP．
④以点M为圆心，OM长为半径画弧，交射线OP于点N．
⑤画射线MN．
射线MN即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠AON＝ ∠NOB ．
∵OM＝MN．
∴∠AON＝ ∠ONM （ 等边对等角 ）．（括号内填写推理依据）
∴∠BON＝∠ONM．
∴MN∥OB（ 内错角相等，两直线平行 ）．（填写推理依据）
【分析】（1）根据题中步骤作图；
（2）根据角的平分线的性质及等腰三角形的性质证明．
【解答】（1）解：如图：
（2）证明：∵OP平分∠AOB，
∴∠AON＝∠NOB．
∵OM＝MN．
∴∠AON＝∠ONM（等边对等角）．
∴∠BON＝∠ONM．
∴MN∥OB（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠NOB．∠ONM，等边对等角，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行线的判定定理及等腰三角形的性质是截图的关键．
24．如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得BC＝1.72m，DE＝2m，∠B＝55°．
（1）连接CD，则∠BCD＝ 90 °；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（精确到0.01m，参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ADC＝∠ACD，然后利用三角形内角和定理可得∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，从而可得∠ACB+∠ACD＝90°，进而可得∠BCD＝90°，即可解答；
（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而求出BE的长，然后在Rt△BEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，
∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，
∴∠ACB+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°，
故答案为：90；
（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，
∴BD＝≈＝3（m），
∵DE＝2m，
∴BE＝BD+DE＝5（m），
在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈5×0.82＝4.1（m），
∴雕塑的高约为4.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，但不影响抛物线的形状，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高米，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，高度为3米．以O为原点，OA所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系．
（1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式；
（2）求水柱落地点A到水池中心O的距离．
（3）受场地的限时，喷水池的最大半径为2.5米，为了不让水喷到外面，喷头高度至少降低多少米？
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，把（0，）代入解析式求出a即可；
（2）令y＝0，解方程即可；
（3）根据题意在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，设柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+k，先把（3.5，0）代入解析式求出k的值，再令x＝0求出y的值，再用减去y的值即可．
【解答】解：（1）根据题意知，抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
把代入解析式得，a+3＝，
解得，
∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为；
（2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1（舍去），
∴A（3，0），
∴0A＝3，
∴水柱落地点A到水池中心O的距离为3m；
（3）由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+k，
把（2.5，0）代入解析式得：﹣（2.5﹣1）2+k＝0，
解得k＝，
∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝0时，y＝﹣+＝，
∴﹣＝（米），
∴喷头高度至少降低米．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
26．如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当＝，AD＝4时，求EF的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到GE＝GF，再根据等边对等角得出∠E＝∠GFE，根据矩形的性质得出AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，于是可证△ABF和△DCE全等，得到BF＝CE，从而问题得证；
（2）先证△ECD∽△EFH，得出比例式，再结合已知即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE＝90°，
∵GE＝GH，
∴，
∴∠E＝∠GFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴BF＝CE，
∴BF﹣BC＝CE﹣BC，
即BE＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4，
∵FH⊥EF，
∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴，
∴，
∵，
∴，
设BE＝CF＝x，
∴EC＝x+4，EF＝2x+4，
∴，
解得x＝1，
∴EF＝6．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
27．综合与实践
【问题情景】
数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）小红将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠（如图①），使点A落在边CD的中点M处，折痕为BP，把纸片展平，则∠DMP＝ 30 °．
【探究与实践】
（2）小亮受到此问题的启发，用矩形ABCD（如图②），继续探究，过程如下：
操作一：将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平；
操作二：将矩形纸片ABCD沿BP折叠，使点A落在EF上的点M处，延长PM交CD的延长线于点N．
①∠MBC＝ 30 °
②若AB＝6，AD＝8，求FN的长．
【拓展应用】
（3）小明深入研究并提出新的探究点
将矩形纸片ABCD换为正方形纸片ABCD（如图③），边长为8，将矩形纸片ABCD沿BP折叠，使点A落在正方形内一点M，过点M作EF∥AB，分别交AD、BC于点E、F，将纸片展平，当点P为AD中点时，求DE的长．
【分析】（1）根据折叠的性质可知，△ABP≌△MBP，BM＝AB＝CD，∠BMP＝∠A＝90°，有，可推出∠MBC＝30°，∠BMC＝60°，从而求得∠PMD＝30°；
（2）①根据折叠可知AB＝BM，有，可证∠EMB＝30°，而EM∥BC，故∠MBC＝∠BME＝30°；
②根据①结论可求出∠FMN＝∠PME＝60°，可求得，，根据，可求出FN的值；
（3）设DE＝x，则AE＝BF＝8﹣x，PE＝4﹣x，可证△PEM∽△MFB，有，可求出，再根据PE2+EM2＝PM2，列出关于x的一元二次方程，解方程取正根即可求解．
【解答】解：（1）∠DMP＝30°，
由折叠性质可知：△ABP≌△MBP，
∴BM＝AB＝CD，∠BMP＝∠A＝90°，
∵M为CD中点，
∴，
∵∠C＝90°，
∴∠MBC＝30°，
∴∠BMC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DMP＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
即∠DMP度数为30°，
故答案为：30；
（2）①∠MBC＝30°，
由（1）可知：BM＝BA，
∵E为AB中点，
∴，
∵∠BEF＝90°，
∴∠BME＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠MBC＝∠BME＝30°，
即∠MBC＝30°，
故答案为：30；
②∵∠BMP＝90°，∠EMB＝∠MBC＝30°，
∴∠PME＝90°﹣30°＝60°，
∴∠FMN＝∠PME＝60°，
∵，BM＝AB＝6，
∴，
∴，
在Rt△MFN中，，
即，
∴；
（3）由（2）知BM＝AB＝8，
∵P为AD中点，
∴，
∴PM＝AP＝4，
设DE＝x，则AE＝BF＝8﹣x，
PE＝DP﹣DE＝4﹣x，
∵∠MPE+∠EMP＝90°，∠FMB+∠BMP＝90°，
∴∠MPE＝∠FMB，
又∵∠PEM＝∠MFB＝90°，
∴△PEM∽△MFB，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DEM中，PE2+EM2＝PM2，
∴，
解得：x1＝8（舍去），，
∴DE的长为．
【点评】本题考查了矩形与折叠，长方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识，根据各项性质找到线段相等和角度相等关系，并通过相似三角形构建线段等量关系是解题的关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点M、N（点M和N可以重合），满足PM＝P′N，其中点P′是点P关于x轴的对称点，则称点P'是图形W的“对称平衡点”．
（1）如图1所示，已知，点A（0，2），点B（3，2）．
①在点P1（0，1），P2（1，﹣1），P3（4，1）中，是线段AB的“对称平衡点”的是 P1，P3 ；
②线段AB上是否存在线段AB的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由．
（2）如图2，以点A（0，2）为圆心，1为半径作⊙A．坐标系内的点C满足AC＝2，再以点C为圆心，1为半径作⊙C，若⊙C上存在⊙A的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标yc的取值范围．
【分析】（1）①根据“对称平衡点”的定义进行判断即可；
②不存在，根据“对称平衡点”的定义进行讨论可得结论；
（2）画出图形进行判断即可．
【解答】解：（1）①如图1，点Q（1，2），P1′Q＝，P1B＝，
∴P1′Q＝P1B，
∵P3′B＝，P3Q＝，
∴P3′B＝P3Q，
∴线段AB的“对称平衡点”是P1，P3，
故答案为：P1，P3；
②不存在，理由如下：
设P为线段AB上任意一点，则它与线段AB上点的距离最小值为0，最大值为PA和PB中的较大值，
∴PA≤3，PB≤3，
点P关于x轴的对称点为P'，它到线段AB上任意一点的距离大于等于4，
若M、N是线段AB上的任意两点，则PM≤3，P'N≥4，
∴不存在PM＝P'N，
∴线段AB上不存在线段AB的“对称平衡点”；
（2）如图2，由②可知线段MN上不存在⊙A的“对称平衡点”，⊙O上存在⊙A的“对称平衡点”，
∵A（0，2），O（0，0），
∴0≤yC≤2．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，理解题意，弄清“对称平衡点”的定义，取特殊点特殊位置是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/25 22:32:08；用户：刘老师；邮箱：13119420505；学号：40096498
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