2026年甘肃兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（1）

这是一份2026年甘肃兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（1），共43页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学·押题卷（1）
满分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．国务院新闻办公室2021年4月6日发布《人类减贫的中国实践》白皮书指出，改革开放以来，按照现行贫困标准计算，中国7.7亿农村贫困人口摆脱贫困，6098万贫困人口参加了城乡居民基本养老保险．将6098万用科学记数法表示为（ ）
A．6.098×103 B．0.6098×104C．6.098×107 D．6.098×108
3．如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠ADC＝100°，则∠A等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
第3题
4．把a2﹣2a+1分解因式，正确的是（ ）
A．a（a﹣2）+1 B．（a+1）2 C．（a+1）（a﹣1） D．（a﹣1）2
5．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＝2B．k≥2且k≠0C．k≤2D．k≤2且k≠0
6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
第7题
A．|a|＜|b|B．a+b＜0C．a﹣b＞0D．ab＞0
7．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2 D．5cm2
8．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
9．为了解某校学生每周参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1200名学生，依此估计，该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（ ）
A．240名 B．300名
C．360名 D．480名
10．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是（ ）
A．B．C．D．
第11题
12．如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（每小题3分，4小题，满分12分）
13．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是 ．
第16题
第15题
第14题
15．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O．若，△ABC的周长与△DEF的周长之比为 ．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形CDE，DE＝CE＝，连接AE，F为AE的中点，连接DF并延长，与BC相交于点P，则DP的长为 ．
三、解答题(本大题共12个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．解方程：．
19．先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2x﹣y）（x+3y），其中，y＝﹣2．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
21．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ ；S甲2 S乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB＝，⊙O的半径为3，求AC的长．
23．如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120cm，BD＝80cm，∠ABD＝105°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5cm．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离．（结果精确到1cm．参考数据：≈1.41，≈1.73）
25．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
26．如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
27．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点A，点B和直线l，点A关于l的对称点为点A′，点B是直线l上一点．将线段A′B绕点A′逆时针旋转90°得到A′C，如果线段A′C与直线l有交点，称点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”．
（1）若点A的坐标为（1，2），在点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中，是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是 ；
（2）若点B的坐标是（0，﹣2），点A、C都在直线y＝x+2上，点C是点A关于y轴和点B的“旋交点”，求点A的坐标；
（3）点A在以（0，t）为对角线交点，边长为2的正方形M（正方形的边与坐标轴平行）上，直线l：y＝x﹣1，若正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，直接写出t的取值范围．
2026年兰州市初中学业水平考试
数学·押题卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．国务院新闻办公室2021年4月6日发布《人类减贫的中国实践》白皮书指出，改革开放以来，按照现行贫困标准计算，中国7.7亿农村贫困人口摆脱贫困，6098万贫困人口参加了城乡居民基本养老保险．将6098万用科学记数法表示为（ ）
A．6.098×103B．0.6098×104
C．6.098×107D．6.098×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：6098万＝60980000＝6.098×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠ADC＝100°，则∠A等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
4．把a2﹣2a+1分解因式，正确的是（ ）
A．a（a﹣2）+1B．（a+1）2
C．（a+1）（a﹣1）D．（a﹣1）2
【分析】根据完全平方公式分解即可．
【解答】解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．
故选：D．
【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，熟记公式结构是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＝2B．k≥2且k≠0C．k≤2D．k≤2且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，
∴（﹣4）2﹣4×2k≥0，且k≠0，
解得k≤2且k≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a+b＜0C．a﹣b＞0D．ab＞0
【分析】利用数轴知识判断a、b的符号和绝对值，再判断选项正误．
【解答】解：由数轴图可知，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴A选项正确；
a+b＞0，B选项错误；
a﹣b＜0，C选项错误；
ab＜0，D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
7．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
8．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，
∴选项B正确；
∵342×5＝1710（m），
∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，
∴选项C错误；
∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了自变量、因变量的含义和判断，要熟练掌握．
9．为了解某校学生每周参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1200名学生，依此估计，该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（ ）
A．240名B．300名C．360名D．480名
【分析】将每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生比例乘以该校总人数即可作出估计．
【解答】解：∵样本中每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生占比为：，
∴可用估计该校共有1200名学生，每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是：1200×40%＝480（名），
故选：D．
【点评】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
10．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OC，由切线的性质得CD⊥OC，则∠OCD＝∠OCE＝90°，所以∠A＝∠OCA＝90°﹣∠ACD＝30°，则∠BOC＝2∠A＝60°，可证明∠E＝∠A＝30°，△BOC是等边三角形，则EC＝AC＝3，BC＝OB，∠OBC＝60°，再证明∠BCE＝∠E＝30°，所以BE＝BC＝OB＝OC，则OE＝2BE，由EC＝＝BE＝3，求得BE＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OC，则OC＝OA＝OB，
∵CD与⊙O相切于点C，∠ACD＝60°，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD＝∠OCE＝90°，
∴∠A＝∠OCA＝90°﹣∠ACD＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠E＝90°﹣∠BOC＝30°＝∠A，△BOC是等边三角形，
∴EC＝AC＝3，BC＝OB，∠OBC＝60°，
∴∠BCE＝∠OBC﹣∠E＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴BE＝BC＝OB＝OC，
∴OE＝2BE，
∴EC＝＝＝BE＝3，
∴BE＝，
故选：A．
【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12．如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】当0＜t≤1时，点P在OE上，当1＜t≤2时，点P在OF上，分别求出S与t的函数关系，即可解答．
【解答】解：如图，当0＜t≤1时，
由题得，PE＝BQ＝t cm，
∵正方向ABCD是边长为2cm，
∴P到BC的距离为（2﹣t）cm，
∴S＝t•（2﹣t）＝﹣t2+t，
如图，当1＜t≤2时，
由题得，PF＝CQ＝（2﹣t）cm，
∴四边形CFPQ为矩形，
∴PQ＝CF＝1cm，
∴S＝t•1＝t，
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象应用，三角形面积的计算是解题关键．
二．填空题（共4小题）
13．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让灯泡L2发光的2种，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，
∴能让灯泡L2发光的概率为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O．若，△ABC的周长与△DEF的周长之比为 3：2 ．
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴＝＝，
∴△ABC的周长与△DEF的周长之比为3：2，
故答案为：3：2．
【点评】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形CDE，DE＝CE＝，连接AE，F为AE的中点，连接DF并延长，与BC相交于点P，则DP的长为 ．
【分析】作EH⊥CD于H，并延长交DP于G，由等腰三角形的性质可得DH＝CD＝2，然后根据全等三角形的判定与性质可得GH＝EG﹣EH＝，最后由平行线的性质及勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，作EH⊥CD于H，并延长交DP于G，
∵DE＝CE，
∴H是CD的中点，DH＝CD＝2，
∴EH＝＝，
∵EG⊥CD，AD⊥CD，
∴AD∥EG，∠DAF＝∠GEF，
∵F为AE的中点，
∴AF＝EF，
在△ADF和△EGF中，
，
∴△ADF≌△EGF（ASA），
∴EG＝AD＝4，
∴GH＝EG﹣EH＝，
∵GH∥AD∥BC，
∴，
∴G是DP的中点，
∴PC＝2GH＝，
∴DP＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
三．解答题（共12小题）
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．
【解答】解：解不等式3（x+2）＞x+4得x＞﹣1，
解不等式得，x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3．
∴不等式组的整数解为0，1，2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
18．解方程：．
【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验，即可得出答案．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+3）（x﹣3），得2（x+3）＝5﹣（x2﹣9），
整理，得 x2+2x﹣8＝0，
解这个整式方程，得 x1＝﹣4，x2＝2，
经检验：当x＝﹣4，x＝2时，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以，原方程的根是x1＝﹣4，x2＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，关键是四则混合元算的应用．
19．先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2x﹣y）（x+3y），其中，y＝﹣2．
【分析】先展开，再去括号合并同类项，化简后将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（2x2+6xy﹣xy﹣3y2）
＝x2+4xy+4y2﹣2x2﹣6xy+xy+3y2
＝﹣x2﹣xy+7y2；
当x＝，y＝﹣2时，
原式＝﹣（）2﹣×（﹣2）+7×（﹣2）2
＝﹣+1+7×4
＝﹣+1+28
＝．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和多项式乘多项式法则，把所求式子化简．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
【分析】（1）把A（m，4）代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，由S△OBP＝2S△OAC得到，即，解得PD＝2，即可求得点P的纵坐标为2或﹣2，进一步求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数 的图象上，
∴，
∴m＝1，
∴A（1，4），
又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，
∴OB＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，
∵S△OBP＝2S△OAC，
∴，即，
解得PD＝2，
∴点P的纵坐标为2或﹣2，
将y＝2或﹣2代入 得x＝2或﹣2，
∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ 7.5 ；S甲2 ＜ S乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可；
（3）根据题意求解即可．
【解答】解：（1）甲公司配送速度得分从小到大排列为：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10，
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
所以中位数m＝＝7.5．
＝×[3×（7﹣7）2+4×（8﹣7）2+2×（6﹣7）2+（5﹣7）2]＝1，
＝×[（4﹣7）2+（8﹣7）2+2×（10﹣7）2+2×（6﹣7）2+（9﹣7）2+2×（5﹣7）2+（7﹣7）2]＝4.2，
∴＜，
故答案为：7.5，＜；
（2）小丽应选择甲公司（答案不唯一），理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司；
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）
【点评】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB＝，⊙O的半径为3，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，求得∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，等量代换得到∠BOD＝∠A，求得∠BDO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到OB＝5，求得BC＝OB+OC＝8，设AC＝3x，AB＝5x，根据勾股定理得到BC＝＝4x＝8，于是得到结论．
【解答】解：（1）直线AB与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，
∴，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BOD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）∵sinB＝＝，OD＝3，
∴OB＝5，
∴BC＝OB+OC＝8，
在Rt△ACB中，sinB＝＝，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC＝＝4x＝8，
∴x＝2，
∴AC＝3x＝6．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．求出AH，AD，利用梯形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，
∴BH＝AB•cs60°＝1，AH＝AB•sin60°＝，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AH⊥CB，CD⊥AD，
∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD＝CH＝2，
∴S四边形ABCD＝×（2+3）×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
24．如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120cm，BD＝80cm，∠ABD＝105°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5cm．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离．（结果精确到1cm．参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．
【解答】解：如图，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N
∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，
∴MH＝ND，EF＝HG＝5，BM∥DH，
∴∠NBD＝∠BDQ＝60°，
∴∠ABM＝∠ABD﹣∠NBD＝105°﹣60°＝45°，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，
∵，
∴AM＝AB•sin45°＝120×＝60，
在Rt△BDN中，∠BND＝90°，
∵sin∠NBD＝sin60°＝，
∴ND＝BDsin60°＝80×＝40，
∴MH＝ND＝40，
∴AG＝AM+MH+GH＝60+40+5≈60×1.41+40×1.73+5≈159（cm），
答：展板最高点A到地面PF的距离为159cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．
25．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；
当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
26．如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
【分析】（1）直接由平行公理的推理即可解答．
（2）先连接CG，然后根据正方形的性质得出△ADG≌△CDG，从而得到∠DAG＝∠DCG．再证明∠EGH＝∠DCG＝∠OEC即可．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE＝∠GEC＝90°，
∴AD∥GE，
∴∠DAG＝∠EGH．
（2）解：AH⊥EF，理由如下．
连结GC交EF于点O，如图：
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°，
又∵DG＝DG，AD＝CD，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG．
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠DAG＝∠OEC，
由（1）得∠DAG＝∠EGH，
∴∠EGH＝∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴AH⊥EF．
【点评】本题考查正方形的性质与全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．
27．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 AE＝BE﹣CE ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE；
（2）①AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE；
（3）连接AF，作AG⊥DE于G，先证明△ABF∽△ADG，从而，∠BAF＝∠DAG，进而∠BAD＝∠FAG，再证明△ABD∽△AFG．
【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即：∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①由（1）得：∠DAE＝60°，AD＝AE，BD＝CE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∴AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE，
故答案为：AE＝BE﹣CE；
②如图，
∠BAD＝45°，理由如下：
连接AF，作AG⊥DE于G，
∴∠AGD＝90°，
∵F是BC的中点，△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，
∴AF⊥BC，∠ABF＝∠ADG＝60°，
∴∠AFB＝∠AGD，
∴△ABF∽△ADG，
∴，∠BAF＝∠DAG，
∴∠BAF+∠DAF＝∠DAG+∠DAF，
∴∠BAD＝∠FAG，
∴△ABD∽△AFG，
∴∠ADB＝∠AGF＝90°，
由（1）得：BD＝CE，
∵CE＝DE＝AD，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝45°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和想，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用二次相似：第一对相似三角形为第二对相似三角形提供两个条件．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点A，点B和直线l，点A关于l的对称点为点A′，点B是直线l上一点．将线段A′B绕点A′逆时针旋转90°得到A′C，如果线段A′C与直线l有交点，称点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”．
（1）若点A的坐标为（1，2），在点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中，是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是 C1，C2 ；
（2）若点B的坐标是（0，﹣2），点A、C都在直线y＝x+2上，点C是点A关于y轴和点B的“旋交点”，求点A的坐标；
（3）点A在以（0，t）为对角线交点，边长为2的正方形M（正方形的边与坐标轴平行）上，直线l：y＝x﹣1，若正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；
（2）过A′作ED∥y轴，过点B、C作ED的垂线，垂足分别为D、E，证明△A'EC≌△BDA'，设A（m，m+2）得出A'（﹣m，m+2），可得C（m+2，m+2+m），代入y＝x+2即可求解；
（3）根据题意，正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，则线段A′C与直线l有交点，找到两个邻界点，即可求解．
【解答】解：（1）∵A（1，2）关于x轴的对称点为A′（1，﹣2），
∵C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1），
∴线段A′C1和线段A′C2与x轴有交点，线段A′C3与x轴没有交点，
故点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是C1，C2．
故答案为：C1，C2；
（2）由题意画出图形，作出点A关于y轴的对称点A′，则A′B＝A′C，∠BA′C＝90°，过A′作ED∥y轴，交X轴于点G，过点B作BD⊥DE于点D，过点C作CE⊥ED于点E，CE交y轴于点F，如图，
∴∠A′DB＝∠CEA′＝90°，
∴∠CA′E+∠ECA′＝∠CA′E+∠DA′B＝90°，
∴∠ECA′＝∠DA′B，
在△A'EC和△BDA'中，
，
∴△A'EC≌△BDA'（AAS），
∴A'E＝BD，CE＝A′D，
∵点B的坐标是（0，﹣2），
∴OB＝DG＝2．
设A（m，m+2），则A'（﹣m，m+2），其中m＞0，
∴BD＝OG＝EF＝m，A′G＝m+2，
∴CE＝A′D＝m+2+2＝m+4，A′E＝BD＝m，
∴FO＝EG＝A′G+A′E＝m+2+m＝m+4，
∴CF＝EC﹣EF＝m+4﹣m＝4．
∴C（4，m+4），
∵C在直线y＝x+2上，
∴4+2＝m+4，
解得：m＝2，
∴A（2，4）；
（3）正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，则线段A′C与直线l有交点，
如图，正方形M与关于直线l：y＝x﹣1对称的正方形M′有交点，符合题意，此时t＜1，
当C在y＝x﹣1上，且两个正方形有唯一交点时，如图所示，此时t＝1，
同理可得当t＜0时，仅当两个正方形有唯一交点时，符合题意，此时t＝﹣3，
综上所述，t的取值范围为：﹣3≤t≤1．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，几何新定义，待定系数法求函数的解析式，旋转的性质，理解新定义中的规定并熟练运用是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/16 13:39:45；用户：刘老师；邮箱：13119420505；学号：40096498
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
乙
8
8
7
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
乙
8
8
7