2026年甘肃兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（3）

这是一份2026年甘肃兰州市初中学业水平考试数学押卷含答案（3），共47页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
数学·押题卷（3）
满分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1．在3，0，﹣2，﹣1这四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣1
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
第2题
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．球
3．如图，已知a∥b，则∠ACB的度数是（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
4．下列多项式分解因式正确的是（ ）
第3题
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．a2+b2＝（a+b）2
C．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3D．2a﹣4＝2（a﹣2）
5．如图，数轴上位于数字1和2之间的点A表示的数为x+2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．0＜x＜1D．1＜x＜2
6．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（ ）
A．厘米B．10厘米C．8厘米D．8厘米
7．某水文局测得一组关于降雨强度I和产汇流历时t的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得t关于I的函数表达式近似为（ ）
A． B．C． D．
8．某校对学生学习方式进行评价调查，评价组随机抽取了若干名学生的参与情况，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），在这次评价中，一共抽取的学生人数为（ ）
A．560人B．420人C．210人D．100人
第8题
第9题
9．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）
第10题
的图象上，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10B．4C．3D．5
11．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（弧AB），点O是这段弧所在圆的圆心，连接OA，OB，AB，点C是AB的中点，连接OC并延长交弧AB于点D．若AB＝2，，则弧AB的长是（ ）
A．πB．πC．D．π
第11题
12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，CD⊥AD，∠BCD＝90°，AB＝BC＝4，动点P，Q同时从A点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△APQ的面积为y个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
13．要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
14．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有 个．
15．已知△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标为 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是边BC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，则线段AF的长为 ．
三．解答题（共12小题）
17．已知（2﹣a）2+|b+3|＝0，若ax2+bx﹣4＝0，求代数式4x2﹣6x+1的值．
18．已知3x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+3x2的值．
19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．
20．如图，已知反比例函数的图象与直线y2＝k2x+b相交于A（﹣1，3），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＞y2时，对应的x的取值范围．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，DE是⊙O的切线且交AC于点E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若，DE＝3，求EF的长．
22．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑．某校对七年级学生以20人为一组随机分组，进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果用5级记分法呈现：“不及格”记为1分，“及格”记为2分，“中等”记为3分，“良好”记为4分，“优秀”记为5分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为 度；
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）若该校有3600人，请你估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有多少人？
23．如图，已知直线m∥n，点C在直线n上，点B到直线m，n的距离分别为2、3．
（1）利用直尺和圆规作出以BC为底的等腰△ABC，使点A在直线m上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．
24．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题实践报告如下：
实践报告
（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84．）
25．中国女排五次蝉联世界冠军为国争光．团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练．嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分（MN为球网）．
（1）在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是 米，排球在空中的最大高度是 米；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？
26．如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：
（1）求证：△AFD≌△DCE；
（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．求证：EF•DF＝GF•CF．
27．【问题提出】
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E在DC边上，连接BE，AF⊥BE，垂足为点G，交BC于点F．请判断AF与BE的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
（2）如图②，在矩形ABCD中，，点E在DC边上，连接BE，AF⊥BE，垂足为点C，交BC于点F．求的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在（2）的条件下，平移线段AF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若MN＝3，sin∠ENC＝，则BC的长为 ．
28．在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ ，在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 ．
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”．求b的取值范围；
（3）已知点，图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点“，直接写出t的取值范围．
2026年兰州市初中学业水平考试
数学·押题卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在3，0，﹣2，﹣1这四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣1
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可．
【解答】解：∵|﹣2|＞|﹣1|，
∴﹣2＜﹣1，
∴﹣2＜﹣1＜0＜3．
∴在3，0，﹣2，﹣1这四个数中，最大的数是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数的比较大小的法则．
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．球
【分析】根据几何体的主视图和左视图是全等的等腰三角形，可判断该几何体是锥体，再根据府视图的形状可判断锥体底面的形状，即可得出答案．
【解答】解：因为主视图和左视图是全等的等腰三角形，所以该几何体是锥体，
又因为府视图是含有圆心的圆，所以该几何体是圆锥．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
3．如图，已知a∥b，则∠ACB的度数是（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【分析】如图，过点C作直线c∥a，根据平行线的性质得到∠ACD＝20°+45°．
【解答】解：如图，过点C作直线c∥a，则∠1＝20°．
又∵a∥b，
∴c∥b，
∴∠2＝45°，
∴∠ACD＝∠1+∠2＝20°+45°＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质．关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点．
4．下列多项式分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．a2+b2＝（a+b）2
C．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3D．2a﹣4＝2（a﹣2）
【分析】根据平方差公式和完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故本选项不符合题意；
B、a2+b2不能因式分解，故本选项不符合题意；
C、a2+2a﹣3＝（a+3）（a﹣1），故本选项不符合题意；
D、2a﹣4＝2（a﹣2），故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了用公式法正确进行因式分解的能力，熟记平方差公式和完全平方公式结构是解题的关键．
5．如图，数轴上位于数字1和2之间的点A表示的数为x+2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．0＜x＜1D．1＜x＜2
【分析】根据题给数轴判断出x+2得范围，然后解不等式即可得x的范围．
【解答】解：由题给数轴可以看出，1＜x+2＜2，给此不等式各项减去2，得﹣1＜x＜0，
故选：B．
【点评】本题主要考查了由数轴判断数，题目难度不大，理解题给数轴上位于数字1和2之间的点A表示的数为x+2是解答该题的关键．
6．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（ ）
A．厘米B．10厘米C．8厘米D．8厘米
【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子上沿的最短距离即可解答．
【解答】解：如图所示：最短距离为PA'的长度，将圆柱展开，
PA'＝＝＝10cm，
最短路程为PA'＝10cm．
故选：B．
【点评】此题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
7．某水文局测得一组关于降雨强度I和产汇流历时t的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得t关于I的函数表达式近似为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据每组数据It的值即可得到结论．
【解答】解：根据表格，得4×18.0＝72.0，6×12.1＝72.6，8×9.0＝72.0，10×7.2＝72，12×6.0＝72.0，14×5.1＝71.4，
∴近似有It＝72，
∴t＝．
故选：A．
【点评】本题考查函数关系式，找到数据的变化规律是解题的关键．
8．某校对学生学习方式进行评价调查，评价组随机抽取了若干名学生的参与情况，绘制学成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
在这次评价中，一共抽取的学生人数为（ ）
A．560人B．420人C．210人D．100人
【分析】由“专注听讲”的学生数和所占的百分比即可得出抽查的学生总人数；
【解答】解：224÷40%＝560（人），
故选：A．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
9．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468
B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468
D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．
【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝468．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
10．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10B．4C．3D．5
【分析】设A点的坐标为（）则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：（），即（），进而可得出BC的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值．
【解答】解：设 A（ ），
∴AB＝，
∵矩形的面积为10，
∴BC＝，
∴矩形对称中心的坐标为：（），即（）
∵对称中心在 的图象上，
∴，
∴mk﹣5m＝0，
∴m（k﹣5）＝0，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝5，
故选：D．
法二：解：连接BE，作EH⊥AB于H．
设 A（ ），
∴AB＝，
∴E（2m，），
∵矩形ABCD的面积为10，
∴△ABE的面积为＝，
∴＝，
即××（2m﹣m）＝，
∴k＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
11．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（弧AB），点O是这段弧所在圆的圆心，连接OA，OB，AB，点C是AB的中点，连接OC并延长交弧AB于点D．若AB＝2，，则弧AB的长是（ ）
A．πB．πC．D．π
【分析】由垂径定理求出AC的长，再设OA＝r，在Rt△AOC中，利用勾股定理列出方程，求出r＝2，即可证得△AOB是等边三角形，∠AOB＝60°，然后利用弧长公式求出答案．
【解答】解：连接OA，
∵点C是AB的中点，
∴AB⊥OD，AC＝AB＝＝1，
设OA＝r，则OC＝OD﹣CD＝r﹣2+，
在Rt△AOC中，
∵OA2＝AC2+OC2，
∴r2＝12+（r﹣2+）2，
解得r＝2．
∴OA＝OB＝2，
∵AB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AB的长是：＝π．
故选：D．
【点评】此题考查了弧长的计算，垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是根据定理列出方程，是一道典型题．
12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，CD⊥AD，∠BCD＝90°，AB＝BC＝4，动点P，Q同时从A点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△APQ的面积为y个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分当0≤x＜2时，点Q在AB上和当2≤x≤4时，点Q在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图1，过Q作QN⊥AD于N，当0≤x＜2时，点Q在AB上，
∵∠A＝60°，
∴∠AQN＝90°﹣60°＝30°，
∴AN＝，
∴，
∴，
当2≤x≤4时，点Q在BC上，过点B作BM⊥AD于点M，如图2，
∵BM⊥AD，∠A＝60°，
∴∠ABM＝30°，
∴AM＝，
∴，
∵CD⊥AD，QN⊥AD，
∴QN∥CD，
∴∠BQN＝∠BCD＝90°，
∵BM⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形BMNQ是矩形，
∴QN＝BM＝，
，
综上所述，当0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
13．要使分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】直接利用分式的有意义的条件分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】此题主要考查了分式的有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
14．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有 14 个．
【分析】根据概率公式求出总数，利用总数减去白球的即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
总的可能有：6÷30%＝20，20﹣6＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查求简单概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
15．已知△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标为 （1，3）或 （﹣1，﹣3） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6），
∴点A'的坐标是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（1，3）或 （﹣1，﹣3）．
故答案为：（1，3）或 （﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是边BC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，则线段AF的长为 ．
【分析】利用相似三角形的判定定理证得△ADF∽△DEC，再利用相似三角形的性质定理列出比例式解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，BC＝AD＝2，AB＝CD＝3．
∴∠ADF+∠CDE＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE．
∵∠AFD＝∠C＝90°，
∴△ADF∽△DEC，
∴．
∵点E是边BC的中点，
∴CE＝BC＝1，
∴DE＝＝．
∴，
∴AF＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共12小题）
17．已知（2﹣a）2+|b+3|＝0，若ax2+bx﹣4＝0，求代数式4x2﹣6x+1的值．
【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，代入ax2+bx﹣4＝0变形得2x2﹣3x＝4，再代入4x2﹣6x+1＝2（2x2﹣3x）+1求解即可．
【解答】解：∵（2﹣a）2+|b+3|＝0，
∴2﹣a＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
代入ax2+bx﹣4＝0，得：2x2﹣3x﹣4＝0，
则2x2﹣3x＝4，
∴4x2﹣6x+1
＝2（2x2﹣3x）+1
＝2×4+1
＝8+1
＝9．
【点评】本题主要考查非负数的性质：偶次乘方、绝对值，解题的关键是掌握任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
18．已知3x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+3x2的值．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，求出3x2+2x＝1，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+3x2
＝x2+2x+1﹣（x2﹣4）+3x2
＝x2+2x+1﹣x2+4+3x2
＝3x2+2x+5，
∵3x2+2x﹣1＝0，
∴3x2+2x＝1，
∴原式＝1+5＝6．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想．
19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式与整式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及整式的运算法则，本题属于基础题型．
20．如图，已知反比例函数的图象与直线y2＝k2x+b相交于A（﹣1，3），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＞y2时，对应的x的取值范围．
【分析】（1）反比例函数的图象过点A（﹣1，3）得k1＝﹣3，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点B（3，n）得n＝﹣1，则B（3，﹣1），根据直线y2＝k2x+b过点A（﹣1，3），B（3，﹣1）得，进行计算即可得；
（2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，即C（0，2），令y＝0，则﹣x+2＝0，计算得x＝2，即D（2，0），根据S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△ODB进行计算即可得；
（3）观察函数图象即可得；
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（﹣1，3），
∴k1＝（﹣1）×3＝﹣3，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点B（3，n），
∴，
∴B（3，﹣1），
∵直线y2＝k2x+b过点A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式y2＝﹣x+2；
（2）如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，
在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，即C（0，2），
令y＝0，则﹣x+2＝0，
x＝2，
即D（2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△ODB
＝
＝4；
（3）根据函数图象得，当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，DE是⊙O的切线且交AC于点E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若，DE＝3，求EF的长．
【分析】（1）连接OD，证∠C＝∠B＝∠ODB得OD∥AC，再根据切线的性质得OD⊥DE，据此即可得出结论；
（2）连接FD，根据∠F＝∠B＝∠C得sinC＝sinF＝，在RtDEF中根据sinF＝＝，DE＝3得FD＝，然后由勾股定理即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
（2）解：连接FD，如图2所示：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
又∵∠F＝∠B，
∴∠F＝∠C，
∴sinC＝sinF＝，
由（1）可知：DE⊥AC；
∴在RtDEF中，sinF＝＝，
∵DE＝3，
∴FD＝，
由勾股定理得：EF＝＝6．
【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形是解决问题的关键．
22．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑．某校对七年级学生以20人为一组随机分组，进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果用5级记分法呈现：“不及格”记为1分，“及格”记为2分，“中等”记为3分，“良好”记为4分，“优秀”记为5分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为 54 度；
（2）a＝ 2.1 ，b＝ 3 ，c＝ 5 ；
（3）若该校有3600人，请你估计该校学生在调查中表现为“优秀”的有多少人？
【分析】（1）已知有样本容量为20，则可求出第一组得分为4的人数，据此可补充条形图；先求出第二组得分为3分的占比，再根据各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，可求出这一项所对应的圆心角的度数；
（2）根据平均数、中位数和众数的概念分别解答即可；
（3）求出在调查的三个组中表现为“优秀”的总人数占比，再乘该校的总人数即可解答．
【解答】解：（1）20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人），据此补充的条形图如下：
1﹣10%﹣5%﹣30%﹣40%＝15%，
15%×360°＝54°；
（2）（20×40%×1+20×30%×2+20×15%×3+20×10%×4+20×5%×5）÷20
＝40%×1+30%×2+15%×3+10%×4+5%×5
＝0.4+0.6+0.45+0.4+0.25
＝2.1，故a＝2.1；
第3小组共20个数据，从小到大看，第10个数据和第11个数据分别为3和3，
所以第3小组的中位数为：（3+3）÷2＝3，即b＝3；
通过观察条形统计图可以看出，第一组数据中得分为5的人数最多，所以第一组的众数为5，即c＝5．
故答案为：2.1，3，5．
（3）8+20×5%+2＝11（人），
11÷（20+20+20）＝，
3600×＝660（人），
答：估计优秀的学生总人数约有660人．
【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．如图，已知直线m∥n，点C在直线n上，点B到直线m，n的距离分别为2、3．
（1）利用直尺和圆规作出以BC为底的等腰△ABC，使点A在直线m上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，交直线m于点A，连接AB，AC即可．
（2）根据题意，结合等腰直角三角形的性质、点到直线的距离、全等三角形的判定与性质、勾股定理求出AB，AC的长，再利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，作线段BC的垂直平分线，交直线m于点A，连接AB，AC，
则AB＝AC，
即△ABC为等腰三角形，
则△ABC即为所求．
（2）设过点B的EF垂直于直线m，
∴∠BEA＝90°．
∵点B到直线m，n的距离分别为2、3，
∴BE＝2，EF＝5．
过点C作直线m的垂线，交直线m于点D，
∴∠ADC＝90°，CD＝EF＝5，
∴∠BEA＝∠ADC，∠DAC+∠ACD＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∴∠BAE＝∠ACD，
∴△ACD≌△BAE（AAS），
∴AE＝CD＝5，
由勾股定理得，AB＝＝＝，
∴AC＝，
∴△ABC的面积为＝＝．
【点评】本题考查作图—复杂作图、等腰直角三角形的性质、点到直线的距离、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
24．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题实践报告如下：
实践报告
（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84．）
【分析】根据俯角，在Rt△ABD中，根据三角函数求出AD，在Rt△ACD中，根据CD＝AD•tan40°，即可作答．
【解答】解：（1）∵在教学楼上的B处观测旗杆底端D的俯角是 15°，
∴∠ADB＝15°．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝90°，∠ADB＝15°，AB＝4米，
∴AB＝AD•tan∠ADB，
∴AD≈14.81（米），
在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝40°，
∴CD＝AD•tan40°≈14.81×0.84≈12.4（米），
∴旗杆CD的高度约为12.4米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
25．中国女排五次蝉联世界冠军为国争光．团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练．嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分（MN为球网）．
（1）在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是 2 米，排球在空中的最大高度是 3.6 米；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？
【分析】（1）通过观察图表可知本题答案；
（2）设函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，通过图表知顶点坐标为（4，3.6），则函数解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，把（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+3.6中即可求出；
（3）通过（2）中求出的解析式令y＝0求出x，再与K值比较即可．
【解答】解：（1）通过观察图表可知：
当水平距离为0时，出手的竖直高度为2米，
排球最大值为3.6，
故答案为：2，3.6；
（2）解：设抛物线的解析式y＝a（x﹣h）2+k，
∵通过图表知顶点坐标为（4，3.6），
∴函数解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，
把（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+3.6中，得：a＝﹣0.1，
∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
（3）解：∵y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，
∴令y＝0，得：0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，解得：x1＝﹣2，x2＝10，
∵K＝18，10＜18，
∴发出后的排球不会出界．
【点评】本题考查二次函数实际应用，待定系数法求二次函数解析式，利用函数值求自变量值．
26．如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：
（1）求证：△AFD≌△DCE；
（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．求证：EF•DF＝GF•CF．
【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得AF＝CD，从而利用AAS证明结论；
（2）利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明△GEF∽△DCF，由相似三角形的性质得，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝45°，
∴∠DEC＝90°﹣∠EDC＝45°，
∵将△ABE沿AE折叠至△AFE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，∠AFD＝∠B＝90°，
∴AF＝AB＝DC，
在△AFD与△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS）；
（2）证明：∵△AFD≌△DCE，
∴AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，
∴∠DCF＝∠DFC＝（180°﹣∠EDC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
由折叠知：△ABE≌△AFE，
∴∠BEA＝∠FEA＝（180°﹣∠DEC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
即∠GEF＝∠EFG＝∠DCF＝∠DFC，
∴△GEF∽△DCF，
∴，
∴EF•DF＝GF•CF．
【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质，是解题的关键．
27．【问题提出】
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E在DC边上，连接BE，AF⊥BE，垂足为点G，交BC于点F．请判断AF与BE的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
（2）如图②，在矩形ABCD中，，点E在DC边上，连接BE，AF⊥BE，垂足为点C，交BC于点F．求的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在（2）的条件下，平移线段AF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若MN＝3，sin∠ENC＝，则BC的长为 8 ．
【分析】（1）证明△ABF≌△BCE（ASA），得出AF＝BE；
（2）证明△ABF∽△BCE，得出，则可得出答案；
（3）由平移的性质可得MN∥AF，MN＝AF，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）AF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵AF⊥BE，
∴∠BAG+∠ABG＝90°，∠ABG+∠CBE＝90°，
∴∠BAG＝∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴AF＝BE；
（2）∵AF⊥BE，
∴∠BAF+∠ABE＝90°．
在矩形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠BAF＝∠CBE，
∴△ABF∽△BCE，
∴，
∵，
∴；
（3）由平移的性质可得MN∥AF，MN＝AF，
∴MN⊥BE，，
∴，
∴，
∵点H为BE的中点，
∴MN垂直平分BE，
∴BN＝NE，
∵sin∠ENC＝，
∴可设BN＝EN＝5x，CE＝4x，
∴，
∴BC＝BN+CN＝8x，
在Rt△EBC中，由勾股定理得BE2＝BC2+CE2，
∴，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴BC＝8x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ 5 ，在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 P2，P4 ．
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”．求b的取值范围；
（3）已知点，图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点“，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；
（2）由题意可得d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，ON＝6，则﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）由题意可得d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TM＝2，此时T（1﹣2，0）；当TM＝3时，T（﹣2，0），则1﹣2≤t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），当NT＝3时，3＝，解得t＝或t＝﹣（舍），则≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），
∴OC＝5，
∴d＝5，
∵P1（﹣1，0），
∴P1O＝1，
∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P2（2，8），
∴P2到AC的距离为5，
∴P2是矩形AOBC的“关联点”；
∵P3（3，1），
∴P3到OB的距离为1，
∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；
∵，
∴P4O＝5，
∴P4是矩形AOBC的“关联点”；
故答案为：P2，P4；
（2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形，
∴d＝DF＝2，
过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，
当ME＝2时，OM＝3，
∵∠MNO＝45°，
∴ON＝6，
∴﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）∵⊙T是T（t，0）为圆心，1为半径的圆，
∴d＝2，
当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，
当KL＝2时，TL＝3，
∵M（1，0），，
∴ON＝，OM＝1，
∴tan∠OMN＝，
∴∠OMN＝60°，
∴TM＝＝2，
此时T（1﹣2，0），
当TM＝3时，OT＝2，
∴T（﹣2，0），
∴1﹣2≤t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），
当NT＝3时，3＝，解得t＝或t＝﹣（舍），
∴≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
∴1﹣2≤t≤﹣2或≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/25 14:37:52；用户：刘老师；邮箱：13119420505；学号：40096498
降雨强度I（mm/h）
4
6
8
10
12
14
产汇流历时t（h）
18.0
12.1
9.0
7.2
6.0
5.1
平均数
中位数
众数
第1小组
3.9
4
c
第2小组
a
2
1
第3小组
3.25
b
3
活动课题
测量教学楼前旗杆的高度CD.
活动工具
一把皮尺（最大长度10米）和一台测角仪．
测量过程
（1）在教学楼的底端A处，测得旗杆顶端C的仰角是40°，然后爬到教学楼二楼的B处，测得旗杆底端D的俯角是15°．
（2）测得AB＝4米．
解决问题
根据以上数据计算旗杆CD的高度．（结果保留一位小数）
水平距离x/m
0
2
4
5
6
8
竖直高度y/m
2
3.2
3.6
3.5
3.2
2
降雨强度I（mm/h）
4
6
8
10
12
14
产汇流历时t（h）
18.0
12.1
9.0
7.2
6.0
5.1
平均数
中位数
众数
第1小组
3.9
4
c
第2小组
a
2
1
第3小组
3.25
b
3
活动课题
测量教学楼前旗杆的高度CD.
活动工具
一把皮尺（最大长度10米）和一台测角仪．
测量过程
（1）在教学楼的底端A处，测得旗杆顶端C的仰角是40°，然后爬到教学楼二楼的B处，测得旗杆底端D的俯角是15°．
（2）测得AB＝4米．
解决问题
根据以上数据计算旗杆CD的高度．（结果保留一位小数）
水平距离x/m
0
2
4
5
6
8
竖直高度y/m
2
3.2
3.6
3.5
3.2
2