中考数学必考点提分专练08 解直角三角形的实际应用（含解析）

|类型1|　两直角三角形在高线同侧

1.[2019·襄阳]襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量.如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121 m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5 m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41)

解:在Rt△ACB中，AC=121，∠A=37°，

∴tanA==≈0.75，∴BC≈90.75，

由题知AD=23.5，∴CD=AC-AD=97.5.

在Rt△DCE中，∠EDC=45°，

∴tan∠EDC==1，∴EC=97.5，

∴BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8.

答:塔冠BE的高度约为6.8 m.

2.[2019·衡阳] 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:≈1.73，≈1.41)

解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.

设楼房AB的高为x米，则EB=x米，

∵坡度i=1∶，CD=10米，

∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5米，

在Rt△ADH中，tan∠ADH=，

∴DH=(x-5).

∴5+10+x=(x-5)，

解得x=15+5≈23.7(米).

所以楼房AB的高度约为23.7米.

3.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图3①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32 cm，∠BCD=64°，BC=60 cm，坐垫E与点B的距离BE为15 cm.

(1)求坐垫E到地面的距离.

(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长.

(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)

解:(1)如图①，过点E作EM⊥CD于点M，

由题意知∠BCM=64°，

EC=BC+BE=60+15=75(cm)，

∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，

故坐垫E到地面的距离为67.5+32=99.5(cm).

(2)如图②所示，过点E'作E'H⊥CD于点H，

由题意知E'H=80×0.8=64(cm)，

则E'C==≈71.1(cm)，

∴EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9(cm).

|类型2|　两直角三角形在高线异侧

4.[2019·铜仁]如图，A，B两个小岛相距10 km，一架直升机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的h km，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A，B，P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h.(结果取整数，≈1.732)

解:由题意得，∠PAB=60°，∠PBA=45°，AB=10 km，

在Rt△APM和Rt△BPM中，tan∠PAM==，tan∠PBM==1，

∴AM==h，BM=h.

∵AM+BM=AB=10，即h+h=10，

解得h=15-5≈6.

答:h约为6 km.

5.[2019·海南]如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里.

(1)填空:∠BAC=　　　　，∠C=　　　　； 

(2)求观测站B到AC的距离BP.(结果保留根号)

解:(1)30°　45°

(2)设BP=x海里.

由题意，得BP⊥AC，则∠BPC=∠BPA=90°.

∵∠C=45°，

∴∠CBP=∠C=45°，则CP=BP=x.

在Rt△ABP中，∠BAC=30°，则∠ABP=60°.

∴AP=tan∠ABP·BP=tan60°·BP=x，

∴x+x=10，解得x=5-5，

则BP=5-5.

答:观测站B到AC的距离BP为(5-5)海里.

6.[2019·邵阳]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm，∠ADE=30°，DE=190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度.(结果精确到1 cm；温馨提示:sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)

解:设OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x.

∵∠ADE=30°，∴OC=OD=95+x，

∴BC=OC-OB=95+x-2x=95-x.

∵tan∠BAD=，∴2.14≈，

解得:x≈9，

∴2x=18，即OB的长度约为18 cm.

|类型3|　其他类型

7.[2019·泸州]如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20 n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距20 n mile.

(1)求sin∠ABD的值；

(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).

解:(1)过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD=20，∠DAE=45°，

∴DE=20×sin45°=20.

在Rt△BED中，BD=20，

∴sin∠ABD===.

(2)过D作DF⊥BC于F，

在Rt△BED中，DE=20，BD=20，

∴BE==40.

易知四边形BFDE是矩形，

∴DF=EB=40，BF=DE=20，

∴CF=BC-BF=30.

在Rt△CDF中，CD==50，

∴小岛C，D之间的距离为50 n mile.

8.[2019·镇江]在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC=78°，AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②).

(1)∠ABC=　　　　°； 

(2)求正五边形GHMNC的边GC的长.

(参考值:sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7)

①                        ②

解:(1)30　[解析]∵五边形ABDEF是正五边形，

∴∠ABD==108°，

∠DBG=∠BAC=78°，

∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=30°，

故答案为:30.

(2)作CQ⊥AB于Q，

在Rt△AQC中，

sin∠QAC=，

∴QC=AC·sin∠QAC≈10×0.98=9.8.

在Rt△BQC中，∠ABC=30°，

∴BC=2QC=19.6，

∴GC=BC-BG=BC-AC=9.6.

9.[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长(FC)为2米，高(EF)和宽都是1.6米.通过计算判断:当sinα=，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部.

解:∵BH=0.6，sinα=，∴AB===1，

∴AH=0.8.

∵AF=FC=2，∴BF=1，

作FQ⊥BG于点Q，作EP⊥FQ于点P，

∵FB=AB=1，∠EPF=∠FQB=∠AHB=90°，∠EFP=∠FBQ=∠ABH，

∴△EFP∽△ABH，△FBQ≌△ABH，

∴=，BQ=BH=0.6，即=，

∴EP=1.28，∴EP+BQ=1.88(米)<2米，

∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部.