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    中考数学必考点提分专练08 解直角三角形的实际应用(含解析)
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    中考数学必考点提分专练08 解直角三角形的实际应用(含解析)

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    |类型1| 两直角三角形在高线同侧

    1.[2019·襄阳]襄阳卧龙大桥横跨汉江是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量.如图所示最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121 m拉索AB与桥面AC的夹角为37°从点A出发沿AC方向前进23.5 mD测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的高度.(结果精确到0.1 m参考数据:sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75≈1.41)

    :RtACBAC=121A=37°

    tanA==≈0.75BC≈90.75

    由题知AD=23.5CD=AC-AD=97.5.

    RtDCEEDC=45°

    tanEDC==1EC=97.5

    BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8.

    :塔冠BE的高度约为6.8 m.

    2.[2019·衡阳] 如图在一次综合实践活动中小亮要测量楼房的高度先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°沿坡面向下走到坡脚C然后向楼房方向继续行走10米到达E测得楼房顶部A的仰角为60°已知坡面CD=10山坡的坡度i=1(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)求楼房AB高度.(结果精确到0.1)(参考数据:≈1.73≈1.41)

    :过点DDHAB于点HAE于点F.DGBC于点GDG=BHDH=GB.

    设楼房AB的高为xEB=x

    坡度i=1CD=10

    坡面CD的铅直高度DG5坡面的水平宽度CG5

    RtADHtanADH=

    DH=(x-5).

    5+10+x=(x-5)

    解得x=15+5≈23.7().

    所以楼房AB的高度约为23.7.

    3.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行推出了共享单车服务.3是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图是其示意图其中ABCD都与地面l平行车轮半径为32 cmBCD=64°BC=60 cm坐垫E与点B的距离BE15 cm.

    (1)求坐垫E到地面的距离.

    (2)根据经验当坐垫ECD的距离调整为人体腿长的0.8坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'EE'的长.

    (结果精确到0.1 cm参考数据:sin64°≈0.90cos64°≈0.44tan64°≈2.05)

    :(1)如图过点EEMCD于点M

    由题意知BCM=64°

    EC=BC+BE=60+15=75(cm)

    EM=ECsinBCM=75sin64°≈67.5(cm)

    故坐垫E到地面的距离为67.5+32=99.5(cm).

    (2)如图所示过点E'E'HCD于点H

    由题意知E'H=80×0.8=64(cm)

    E'C==≈71.1(cm)

    EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9(cm).

    |类型2| 两直角三角形在高线异侧

    4.[2019·铜仁]如图AB两个小岛相距10 km一架直升机由B岛飞往A其飞行高度一直保持在海平面以上的h km当直升机飞到P处时P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°60°已知ABP和海平面上一点M都在同一个平面上M位于P的正下方h.(结果取整数≈1.732)

    :由题意得PAB=60°PBA=45°AB=10 km

    RtAPMRtBPMtanPAM==tanPBM==1

    AM==hBM=h.

    AM+BM=AB=10h+h=10

    解得h=15-5≈6.

    :h约为6 km.

    5.[2019·海南]如图是某区域的平面示意图码头A在观测站B的正东方向码头A的北偏西60°方向上有一小岛C小岛C在观测站B的北偏西15°方向上码头A到小岛C的距离AC10海里.

    (1)填空:BAC=    C=     

    (2)求观测站BAC的距离BP.(结果保留根号)

    :(1)30° 45°

    (2)BP=x海里.

    由题意BPACBPC=BPA=90°.

    ∵∠C=45°

    ∴∠CBP=C=45°CP=BP=x.

    RtABPBAC=30°ABP=60°.

    AP=tanABP·BP=tan60°·BP=x

    x+x=10解得x=5-5

    BP=5-5.

    :观测站BAC的距离BP(5-5)海里.

    6.[2019·邵阳]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点OOB=OE支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cmADE=30°DE=190 cm另一支架AB与水平线夹角BAD=65°OB的长度.(结果精确到1 cm温馨提示:sin65°≈0.91cos65°≈0.42tan65°≈2.14)

    :OE=OB=2xOD=DE+OE=190+2x.

    ∵∠ADE=30°OC=OD=95+x

    BC=OC-OB=95+x-2x=95-x.

    tanBAD=2.14≈

    解得:x≈9

    2x=18OB的长度约为18 cm.

    |类型3| 其他类型

    7.[2019·泸州]如图海中有两个小岛CD某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向且相距20 n mile该渔船自西向东航行一段时间到达点B此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上且相距50 n mile又测得点B与小岛D相距20 n mile.

    (1)sinABD的值

    (2)求小岛CD之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).

    :(1)DDEABERtAEDAD=20DAE=45°

    DE=20×sin45°=20.

    RtBEDBD=20

    sinABD===.

    (2)DDFBCF

    RtBEDDE=20BD=20

    BE==40.

    易知四边形BFDE是矩形

    DF=EB=40BF=DE=20

    CF=BC-BF=30.

    RtCDFCD==50

    小岛CD之间的距离为50 n mile.

    8.[2019·镇江]在三角形纸片ABC(如图)BAC=78°AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图).

    (1)ABC=    ° 

    (2)求正五边形GHMNC的边GC的长.

    (参考值:sin78°≈0.98cos78°≈0.21tan78°≈4.7)

              

                           

    :(1)30 [解析]五边形ABDEF是正五边形

    ∴∠ABD==108°

    DBG=BAC=78°

    ∴∠ABC=ABD-DBG=30°

    故答案为:30.

    (2)CQABQ

    RtAQC

    sinQAC=

    QC=AC·sinQAC≈10×0.98=9.8.

    RtBQCABC=30°

    BC=2QC=19.6

    GC=BC-BG=BC-AC=9.6.

    9.[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2货厢底面距地面的高度BH=0.6坡面与地面的夹角BAH=α木箱的长(FC)2(EF)和宽都是1.6.通过计算判断:sinα=木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部.

    :BH=0.6sinα=AB===1

    AH=0.8.

    AF=FC=2BF=1

    FQBG于点QEPFQ于点P

    FB=AB=1EPF=FQB=AHB=90°EFP=FBQ=ABH

    EFP∽△ABHFBQ≌△ABH

    =BQ=BH=0.6=

    EP=1.28EP+BQ=1.88()<2

    木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部.

     

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