专题07 解直角三角形实际问题练习含答案--2026年中考数学一轮专题

这是一份专题07 解直角三角形实际问题练习含答案--2026年中考数学一轮专题，文件包含专题07解直角三角形实际问题教师版docx、专题07解直角三角形实际问题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共177页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc16452" 【类型1 仰角俯角问题】1
\l "_Tc5338" 【类型2 方位角问题】26
\l "_Tc31833" 【类型3 坡度坡比问题】51
\l "_Tc846" 【类型4 其他问题】76
►类型1仰角俯角问题
1．（2024·湖南·模拟预测）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
2．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和．
(1)求的长；
(2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，）
3．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，AB前有一座高为DE的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ．
(1)求DE的长；
(2)求塔AB的高度．（，结果保留整数）
4．（2024·山西·模拟预测）项目化学习
【项目主题】
学校太阳能路灯电池板离地面高度的思考．
【项目背景】
为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《锐角三角函数》之后，在数学课上进行了项目化学习研究：
【提出驱动性问题】
学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量
【设计实践任务】
5．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告：
(1)求无人机从点到点处的飞行距离；
(2)求慈氏塔的高度．
6．（2024·安徽·模拟预测）某海域有两个海拔均为米的海岛A和海岛，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为米的空中飞行，飞行到点处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是，然后沿平行与的方向水平飞行米到达点处，在处测得正前方另一海岛顶端的俯角是，求两海岛间的距离．
7．（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，）
(1)的高度为__________，的长为__________；
(2)求“美”字的高度．
8．（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）．
9．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）．
(1)若米，求圆锥的侧面积；
(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）．
10．（2024·福建泉州·模拟预测）某课外活动小组进行综合实践活动．
【问题】测量如图1所示斜坡的坡角．
【思考】“转化”是解决问题的一种常用的思想方法．当斜坡角度不能直接测量时，可“转化”为可度量的角进行测量．
【创新】该活动小组制作了如图2所示的矩形测角仪，量角器固定在矩形板上，将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点（矩形顶点）处．测量时，将矩形板的边放在斜坡上，如图3，此时重锤线在量角器上对应的刻度即为坡角的度数．
（1）请说出该矩形测角仪的数学原理：______，并用图3进行证明．
【应用】小组成员进一步实践，发现可以利用矩形测角仪测量计算高度；
（2）如图4，小明在点M处观测树顶，使眼睛、矩形测角仪的边、树顶在同一直线上，观测矩形测角仪上的示数，仰角；小明继续沿正对着大树的方向前进，在点N处观测树顶的仰角．已知小明的眼睛离地面，求大树的高度AB（精确到）．（参考数据：，，）
11．（2024·湖北·模拟预测）如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点，点A处的俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为(点A， B， C， P在同一平面内)， 求大楼的高度 (结果精确到，参考数据： ）
12．（2024·安徽合肥·模拟预测）某数学兴趣小组想使用无人机测量写字楼的高度，他们作出如下的测量方案：如图，将无人机放在水平面的点处（无人机自身高度忽略不计），先控制无人机从点出发向右上方匀速飞行9.9秒到达空中点处，再调整飞行方向，向左上方匀速飞行13秒到达该楼顶点处（点均在同一平面），已知无人机的速度为10米/秒，且无人机在点处测得点的俯角为，点的仰角为，求写字楼的高度．（结果精确到1米）
参考数据：，，，
13．（2024·陕西西安·模拟预测）在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树AB适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架EF上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为度；小溪用皮尺分别测量及小林目高的长．已知于点于点于点米，米，米，请你利用测得的数据求出这棵树AB的高度（结果保留整数．参考数据：，）
14．（2024·上海·模拟预测）小张同学用无人机测量教学楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼AB的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，）
15．（2024·海南·模拟预测）如图，，为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物的顶点A测得M点的俯角为，从建筑物的顶点C测得M点的俯角为，测得建筑物的顶点A的俯角为．若已知建筑物的高度为米，（参考数据：，）．
(1)填空：______度，______ 度；
(2)求点A到的距离（结果保留根号）；
(3)求建筑物的高度（结果精确到1米）．
16．（2024·辽宁·模拟预测）“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，这些矗立在高山、草原上的“大风车”构成了一道道亮丽的风景线．周日，某校组织项目学习小组的同学来到郊外的山脚下，测量一座风力发电机组的塔筒的高度，并设计了如下测量方案：
17．（2024·辽宁·模拟预测）消防云梯是消防救援的重要装备，通过改变云梯长度与停车的位置，可以调整消防云梯顶端的高度．云梯长度，车高度，当云梯仰角，云梯长度，到达楼顶．云梯车前移，到达A处，仰角时，调整云梯长度，刚好到达大楼进行救人．（精确到）
(1)求大楼高度；
(2)求云梯调整后的长度．
（参考数据：）
18．（2024·河南·模拟预测）如图①，铁塔位于开封城东北隅，建于公元年，素有“天下第一塔”的美称．如图②，某数学兴趣小组测量铁塔的高度，从点处测得塔顶的仰角是由点向铁塔前进米到达点处，由点处测得塔顶的仰角是．塔底点与点、共线，且求铁塔CD的高．（结果精确到米，参考数据：，）
19．（2024·河南·模拟预测）某长方体建筑上有一整排灯，横截面可表示为如图所示的矩形（是地面），点E表示灯（是灯杆），经过测量可知，，且从D点观测E点的仰角为，观测B点的俯角为（取3.2）
(1)通过测量，发现点E在以为直径的圆上，求长；
(2)求灯的高度．（保留根号）
20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，百合塔是沈阳世界园艺博览会内四大主题建筑之一，是世界上最大的雕塑体建筑，造型似绽放的百合花，寓意沈阳百业兴盛，和谐发展．数学小组的同学要测量百合塔的高度，在点B处测得塔的最高点A的仰角．，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，求百合塔的高度．(结果精确到1m， 参考数据∶，)
21．（2024·山东·模拟预测）【实践背景】科技迅速发展，无人机已经变得很常见．学校组织“科技改变生活”数学实践活动，让同学们用新科技发现生活中的数学，获得实践成就感，从而培养同学们对数学学科与科学的兴趣．
学校对面新建了一个大楼已封顶，但是还没有完全修好，所以大楼是封闭状态，老师和同学们无法进入工地．但是同学们很好奇该大楼的高度，老师就组织同学们想办法去测量该大楼的高度．以下为未完成的实践报告．
【实践目的】测量新大楼的高度
【实践器材】测角仪、无人机、测距仪、图纸、绘图笔
【提出问题】怎样测出大楼的高度呢？
【作出假设】聪明的小慧同学认为，只要测出教学楼AB的高度与大楼楼顶与教学楼楼顶的距离、某些仰角与俯角、测角仪与教学楼的距离，便可以测量、计算出新建大楼CD的高度．老师和同学们都很认可她的想法，并按照她的想法进行了实践．
【作出实践】
【步骤一】无人机携带测距仪飞上大楼楼顶，（测距仪本身高度忽略不计），老师进行远程操控，测得两楼顶的距离为米；
【步骤二】将测距仪放在点处，测得学校与点处的距离为；高为的测角仪在点测得点的仰角为；无人机携带测角仪飞往教学楼楼顶（测角仪顶端与教学楼楼顶齐平），在点测得在点的上方处的俯角为；
【步骤三】画出图纸，标出数据；（图纸已画出，如上图）
【步骤四】根据数据，计算新大楼CD的高．
请你完成步骤四，并写出计算过程．（参考数据：；；；；；），计算结果保留一位小数．
【得出结论】_____________．
22．（2024·广西·模拟预测）日月双塔是中国名塔，是桂林市的文化地标，也是两江四湖环城水系中最著名的旅游景点；其中，日塔荣获了三项世界之最：世界上最高的铜塔、世界上最高的水中电梯塔、世界最高的铜质建筑物．登上这个世界最高的铜塔，您可以眺望桂林的象鼻山、七星山、尧山、叠彩山、独秀峰、南溪山等著名景点，并俯瞰桂林美丽迷人的市貌；同时，也是桂林夜晚最佳登高赏景处．桂林某校九年级“综合与实践”小组开展了“日塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告：
请根据以上测量数据，求日塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）．
23．（2024·海南·模拟预测）如图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高为2米的影子；此时，小明用2米高的木棒垂直于水平地面，测得楼顶的仰角为，已知点距点的水平距离米．
(1)______度，______米；
(2)求教学楼的高度；
(3)学校要在之间挂一些彩旗，请你求出之间的距离（结果保留整数）．
（参考数据：）
24．（2024·辽宁·模拟预测）朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到）
25．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里．
(1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数）
(2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，）
►类型2 方位角问题
26．（2024·吉林·三模）如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B在点A的正北方，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东，且在点E的正北方，，米，米．求的长（参考数据：，，）．
27．（2024·重庆·模拟预测）如图，小琳和几个同学相约周末到公园游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于人口A西南方向的中央广场B，然后去位于中央广场B南偏西方向的雕塑园C，最后再去桂花山茶园D，已知桂花山茶园位于雕塑园C的正东方向，入口A的正南方向，米，米．（参考数据：，结果精确到个位）
(1)求中央广场B到路线的距离；
(2)小言因有事耽误晚到了15分钟，计划沿着路线与小琳他们在桂花山茶园D处会合，若小琳他们行走的平均速度为50米/分钟，小言行走的平均速度为70米/分钟，请计算说明小言能否赶在小琳他们之前到达桂花山茶园．
28．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，泊霞湾公园的彩虹灯塔成为新晋的网红打未地，很多年轻人选择祭泊霞湾公园晨跑锻炼．如图2，彩虹灯塔位于的中点P处，沿海步道的长为，点A在点B的正南方向，点C在点B的正东方向，在点A的北偏东方向有一排长的凉亭，，，点C位于凉亭另一端E的北偏西方向，
(1)求凉亭到的距离；（结果精确到）
(2)小明与小亮同时从点A出发跑向灯塔，小明沿甲路线以的速度到灯塔，小亮沿乙路线经过凉亭再到灯塔，速度为，谁先到达灯塔P？请说明理由．
（参考数据：，，，）
29．（2024·重庆·模拟预测）如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据
(1)求的距离．（结果保留到个位）
(2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E．
30．（2024·河南·模拟预测）自驾游作为一种旅游方式，在当代社会中愈发受到人们的喜爱．它不仅提供了一种摆脱日常束缚、追求个性化旅行体验的机会，而且也是一种展现自我风格和生活态度的方式．刘明一家计划自驾到景区游玩，通过查阅信息，该景区有两个停车场和，景区入口在停车场的正北方向，在停车场的东北方向，停车场在停车场的北偏西方向，相距，如图所示．车停在停车场后都需要步行一段距离到达景区入口．请你利用所学知识，帮助刘明计算一下，把车停在哪个停车场，步行的路程更短？少走多少米？（停车场内步行的路程忽略不计，参考数据：，，，）
31．（2024·海南·一模）如图，早上一渔船以海里/时的速度从海港出发沿正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，航行个小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向，同时测得灯塔正东方向的避风港在的北偏东方向上．
(1)填空：______；
(2)求海港与灯塔之间的距离；（结果保留根号）
(3)天气预报显示台风将登陆渔船所在海域，渔船立即沿方向加速驶向避风港．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前个小时抵达避风港，求渔船加速后的最小速度．（结果精确到，参考数据：，，）
32．（2024·重庆·三模）如图，某景区、两个景点位于湖泊两侧，游客需沿着绕行才能从景点到达景点．经测量，点位于点南偏东方向200米处，点在点正东方向100米处且在点的南偏西方向．当地政府为了方便游客游览，打算修建一条从景区直达景区的跨湖栈道．（参考数据：，，，结果精确到1米）
(1)求的长度；
(2)栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？
33．（2024·天津·三模）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，，
(1)求的度数：
(2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．）
34．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
(1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
35．（2024·重庆·二模）五一国际劳动节前，某校组织学生进行劳动体验活动．如图，学生到达活动基地大门处后分组沿两条线路进行体验，最后前往休息区，处集合．根据基地平面图得知，处在处的正北方，插秧体验区在处的正西方，磨豆花体验区在处的正北方米处，也在处的南偏西方向米处．采摘体验区在处的东北方向，也在处的南偏东方向．
（参考数据：，，）

(1)求休息区与基地大门之间的距离；
(2)已知第一组学生沿线路①体验，在处的活动时间为分钟，在处的活动时间为分钟，第二组学生沿线路②体验，在处的活动时间为分钟，若两组学生步行的平均速度均为米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达休息区处．（计算结果精确到1分钟）
36．（2024·重庆·三模）某户外徒步团在重庆南山开辟出了两条经典的野徒路线．如图是两条野徒路线的平面示意图，已知终点在起点的东北方向．路线①从起点出发向北偏东30°的方向先行走一段山路到达补给站，再沿正东方向行走一段公路即可到达终点；路线②从起点出发沿北偏东75°的方向行走一段山路到达补给站，再从补给站沿正北方向的公路行走1600米即可到达终点．（参考数据：，，）
(1)求的长度.（结果精确到1米）
(2)该户外徒步团组织了甲、乙两个队进行登山活动，甲队选择了路线①，该队的平均速度为50米/分钟，乙队选择了路线②，该队的平均速度为60米/分钟，若两队同时出发，请通过计算说明哪一支队伍会先到达终点？
37．（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：）
38．（2024·广西·二模）如图，甲、乙两架无人机在空中执行飞行任务，甲以千米秒的速度向正南方向飞行，当甲在处时，乙在甲南偏西方向千米的处，且乙从沿南偏西方向匀速直线飞行，当甲飞行2秒到达处时，乙飞行到甲的南偏西方向的处．求乙无人机的飞行速度．（结果保留根号）
39．（2024·湖北·模拟预测）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔100的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．求这时B处距离灯塔P的距离（结果取整数）．（参考数据：，，，，，）
40．（2024·海南·一模）木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图），被称为“亚洲第一灯塔”．如图，虎威岛位于木栏头灯塔的南偏西方向上．一 艘轮船在处测得灯塔位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔正东方向上的处，该船继续向北航行至直线上的点处．

(1)填空：______度，______度．
(2)求点到灯塔的距离．
(3)若轮船的航行速度为，求轮船在BD段航行了多少小时．
（参考数据：，，，．结果精确到小数点后一位）
41．（2024·重庆·一模）重庆东站位于重庆南岸茶园新区，是全国在建的最大城景融合的高铁枢纽站之一，目前正处于紧密锣鼓施工中．从设计图纸中，发现从广场A到B，受地形的影响，不能直接到达．施工设计图设计了两条线路，如图2所示：线路①A→C→B，线路②A→D→E→B．经勘测，C位于广场A的东北方向且到AB的距离为，D位于广场A南偏东方向，也在F的正南方，．E在D的正东方向处，也在B的南偏西方向．（参考数据：，结果保留整数）
(1)求的长度；
(2)为缩短施工时间，决定从线路①和线路②中选择一条较短线路先进行施工，应该选择哪一条线路先施工？
42．（2024·安徽·二模）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
43．（2024·西藏·二模）如图，A、B两城市相距，且B城位于A城的正东方向，C为国家级自然保护区的中心．现测得C在A的北偏东的方向上，同时C在B的北偏西的方向上，自然保护区是以C为圆心，为半径的圆形区域．为了开发旅游，需修建连接的高速公路，问高速公路是否穿过自然保护区，请说明理由．（参考数据，）
44．（2024·贵州·模拟预测）小华周末与家人一起到十里河滩游玩，行至某地处时，小华看到B，C处各有一棵被湖水隔开的法国梧桐，他在A处测得B在南偏西方向，C在南偏东方向，他从A处走了30米到达B处，又在B处测得C在南偏东方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两棵法国梧桐B、C之间的距离．（结果保留两位小数，）
45．（2024·安徽·一模）如图，，，，四所学校在同一平面内，校到校的距离千米，校到校的距离千米，测得，，求，两校之间的距离（结果精确到千米，参考数据：，，，，，）
46．（2024·重庆·一模）为了缓解学习压力，就读于育才成功学校的小育和就读于育才本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往奥体中心公交站汇合一同前往奥体中心打羽毛球． 经勘测，大公馆公交站点C在育才成功学校点A的正北方200米处，育才中学本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，奥体公交站点E在点D的正北方，点E在点C的北偏东方向．（参考数据： ，）
(1)求BD的长度；(结果精确到1米)
(2)周五放学，小育和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点E汇合． 小育的路线为A—C一E，他从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E，假设小育匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时 2分钟(小育上车和下车时间忽略不计)． 哥哥的路线为B—D—E，全程步行，他从点B经过点 D 买水(买水时间忽略不计)再前往点E，假设哥哥匀速步行且速度为 100米每分钟． 请问小育和哥哥谁先到达点E呢?说明理由．
47．（2024·重庆·一模）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站B的正东方向．现有一辆客车从车站B出发，沿北偏东方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东方向，D在C的北偏西方向．
(1)求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）
(2)客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C出发以35千米每小时的速度沿方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：）
48．（2024·重庆·一模）某景区有A，B两个入口，有两条线路可以到达景点E处．如图，线路①：A→G→F→E；线路②：B→C→D→E．经勘测，点B，C均在点A的正东方向，且千米，千米，点D在点 C的北偏东：方向上，点E在点 D的西北方向上，点G在点A的东北方向千米处，点F在点G的正东方向10千米处，点D正好在点F的正东方向，点E在点F的北偏东方向上．
（参考数据：
(1)求的长度；（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小王决定选择一条较短的线路进行游览，请计算说明他应该选择线路①还是线路②．
49．（2024·重庆·二模）为了增强体质，就读于重庆文德中学 校区的小明和就读于十一中本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往涂山站汇合一同前往江南体育馆打羽毛球，经勘测，腾黄大道公交站C在文德中学校区点A的正北方150米处，十一中本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，涂山站E在点D的正北方，点E在点C的北偏东60°方向．（参考数据： ）

(1)求BD的长度；（结果精确到1米）
(2)周五放学，小明和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点 E处汇合，小明的路线为，他从点A步行至点 C再乘坐公交车前往点 E，假设小明匀速步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分钟（小明上车和下车时间忽略不计）．哥哥的路线为，全程步行，他从点B经过点 D 买水（买水时间忽略不计）再前往点 E，假设哥哥匀速步行且速度为100米每分钟．请问小明和哥哥谁先到达点E呢?说明理由（结果保留两位小数）．
50．（2024·山西太原·模拟预测）如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁，A地和B地都有休闲步道与桥梁相连．为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁和休闲步道（点A，E，F，B在同一水平直线上），桥梁与桥梁平行，且．经过测量，桥梁的一端C在A地的北偏东方向，另一端D在B地的北偏西方向，B地在A地的正东方向．A，B两地相距870米，A，C两地相距650米．
(1)求桥梁的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
(2)周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A→C→D→B，平均速度为100米/分钟；爷爷的路径为A→E→F→B，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达B地？并说明理由．（参考数据：）
►类型3 坡度坡比问题
51．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，，
(1)求山脚到河岸的距离；
(2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到）
52．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
(1)求测角仪与塔身的水平距离；
(2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
53．（2024·海南海口·一模）如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且．
(1) ， ；
(2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，）
54．（2024·吉林·模拟预测）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进，如图，测得米，米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点B、C、D在同一直线上）．
(1)求这个车库的斜坡的长；
(2)求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0．1米，参考数据：，，）．
55．（2024·辽宁·模拟预测）如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，同时可以储存水资源．已知为水平地面，斜坡的坡角为于点A．在斜坡的正中央修建水坝，已知，点E与点C在同一条水平线上．经测量．
(1)求水坝的高度；
(2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝的下方又修建了临时防护栏．已知C、E、G三点共线，．已知洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏？（参考数据：，，，）
56．（2024·重庆·模拟预测）在课外实践中，小明为了测量江中信号塔离河边的距离，采取了如下措施：如图在江边处，测得信号塔的俯角为，若米，，米，平行于，的坡度为，坡长米，求的长（精确到0.1米，参考数据：，，）
57．（2024·山东济南·模拟预测）某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点，，在同一平面内，操控者站在坡度、坡面长的斜坡底部点处操控无人机，坡顶点处的无人机以的速度沿仰角的方向爬升，时到达空中点处．
(1)求此时无人机离地面的高度；
(2)在距离点的点处站着一个人，他正抬头仰望无人机，此时无人机是否在此人正上方？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，，）
58．（2024·山东·模拟预测）如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且．
(1)求新坡面的坡比以及新坡面的长；
(2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？
59．（2024·陕西西安·一模）某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，如图，他们的测量方法如下：小宇将一根长5米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处米）距离地面的高度米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，，
60．（2024·安徽淮北·三模）某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m．
(1)求改造后背水坡的长；
(2)求所需土石方的体积．（结果精确到，）
61．（2024·湖北武汉·模拟预测）某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡的坡度为，山坡上A处的水平距离为30米．

(1)求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)A处有一棵树，米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
(3)求手榴弹在飞行的过程中离坡面的最大高度是多少米．
62．（2024·江苏苏州·一模）有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，）

(1)水果放置区的水平宽度；
(2)求顶棚端点F离地面的高度．（精确到1）
63．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小．
（温馨提示：，，，结果精确到0.1牛）
64．（2024·河南南阳·二模）在坡度为的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点在斜坡上，，从点向右发射出的小球沿抛物线运动，解决下列问题．
(1)点的坐标是__________；
(2)①求所满足的数量关系；
②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式．
65．（2024·山东青岛·一模）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带AB长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
(1)求新传送带的长度．
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由．
66．（2024·山东日照·二模）某班两个兴趣小组计划合作测量校园内一斜坡（坡度为）旁路灯的高度，分工如下：
小组甲：测量竹竿的长度，并将该竹竿竖立在地面上，测量其在地面上的影长．
小组乙：在同一时刻，测量路灯在斜坡上的影长，及路灯与斜坡底端的距离．测量示意图和测量数据如下：
请你根据以上信息计算路灯的高度．（结果保留整数，参考数据：）
67．（2024·河南·二模）郑州市政府坚持以人民为中心的发展思想和“人民至上、生命至上”理念，未雨绸缪好过亡羊补牢，对京广路隧道考虑增加多种安全措施，排除安全隐患．根据各段隧道空间情况，在不影响交通的情况下，加装了大小、形状不一的19条人行逃生爬梯．如图1，起初工程师计划修建一段坡角为50°（即，）的爬梯，从安全角度再次考虑，工程师对爬梯的设计进行了修改，如图2，修建了、两段平行的爬梯，并在中间修建了1米的水平平台，点C、B、F三点共线，小明实地测量后得到为4米，为5米．
(1)求修改后的爬梯坡角比修改前坡角减缓了多少度？
(2)求修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：，，）
68．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图①，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角，一般情况下，倾角愈小，楼梯的安全程度愈高．如图②，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由减至，这样楼梯占用地板的长度由增加到，已知，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（，精确到）
69．（2024·安徽·二模）如图，小河岸边有一棵大树，大树的一边为河面，一边为河堤．为了测量小河岸边大树的高度，小明从树根部点A沿河堤向上走了到达点C处，测得大树顶端B的仰角为，再继续向上走了到达点D处，此时点D和大树顶端B在一条水平线上，试求大树的高度和河堤的坡比．（结果保留根号）
70．（2024·山东济南·模拟预测）某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点，，在同一平面内，操控者站在坡度是，坡面长的斜坡的底部处遥控无人机，坡顶处的无人机以的速度沿仰角的方向爬升，时到达空中的点处．
(1)求此时无人机离点所在地面的高度；
(2)此时，若在距离点处的点处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶的正上方？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，，）
71．（2024·上海虹口·二模）根据以下素材，完成探索任务．
72．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务．
73．（2024·辽宁·一模）如图，在坡顶处的同一水平面上有一建筑，在斜坡底处测得该建筑顶点的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了米到达坡顶，在坡顶处又测得该建筑的顶点的仰角为．
(1)求坡顶到地面的距离；
(2)求该建筑的高度．（结果精确到米．参考数据：，，）
74．（2024·广东深圳·一模）如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．
(1)求石阶路（折线）的长．
(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）
75．（2024·贵州·模拟预测）高架塔式滑雪台已经成为滑雪大跳台项目的重要训练场所，如下图所示，滑道分为，两段，已知，，米，米，图中所有点均在同一平面内（计算结果均四合五人至整数）．
(1)根据表格判断段滑道属于______（填“初级道”“中级道”或“高级道”）；
(2)求滑道的长度；
(3)在多次训练的过程中，安全员发现运动员的着陆点大多在与点相距米的点，为了保证高架塔的稳定性，相关团队准备用钢材(即和)加固高架塔，点在点的正下方，点，，，在同一直线上．通过计算说明至少需要钢材和多少米？（参考值：，，，，，）
►类型4 其他问题
76．（2024·山西·模拟预测）图1是某红色文化主题公园内的雕塑（胜利的号角），将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，．连接，交于点，若，求 （即雕塑的高度）的长．（结果精确到，参考数据，，）
77．（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）

78．（2024·安徽·三模）如图1是某地红色广场标牌，将其红色主体部分拍象为图2，，，，米，米，求该标牌的高（精确到米，参考数据：，，，
79．（2024·贵州贵阳·模拟预测）6月21日，我们共赴中考．小为了给小加油打气，特意赠送一个装有自己相片的相框（如图1）；没有想到的是，作为数学学霸的小，就按这个相框抽象出了侧面示意图（如图2），并测量出相关数据，给小出了一个难题：相框AB放置在水平桌面上，O为支撑点，是支撑杆，，AB，，．在这几个条件下让小完成以下问题，可作为学酥的小无法完成，只能求救与你了，
(1)相框点到桌面的距离．（保留根号）
(2)支撑杆的长度．（结果精确到，参考数，，）
80．（2024·贵州·模拟预测）贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．）

(1)求乌当惜字塔的高度；
(2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度．
81．（2024·安徽·模拟预测）图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角．
(1)求拉杆的长；
(2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：）
82．（2024·山西·三模）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，）
83．（2024·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，）
(1)求索道的长（结果精确到0.）；
(2)求水平距离的长（结果精确到0.）．
84．（2024·贵州·模拟预测）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作， 垂足为N， 测得，．
(1)设米， 则的长为 ． (用含x的代数式表示)
(2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到 )．
参考数据：，
85．（2024·辽宁·模拟预测）如图1是一个花洒实物图，图2和图3是其侧面示意图．点B处既可以调节花洒的高度，又可以调节花洒臂与花洒杆的夹角．若打开花洒后水柱与花洒臂垂直，花洒的高度，花洒臂，小丽与花洒杆的距离．
(1)如图2，当时，水柱恰好落在小丽的头顶上，求小丽的身高（结果保留整数．参考数据：
(2)如图3，调节花洒臂AB与花洒杆的角度，当时，要使水柱恰好落在小丽的脚上，求此时小丽与花洒的距离．（结果保留整数．参考数据：）
86．（2024·辽宁·模拟预测）云梯，又称飞梯、竹飞梯，最早出现于商周，春秋时期鲁国公输盘加以改进，在古代属于战争器械，用于攀越城墙攻城的用具．《武经总要·攻城法》记载：“云梯以大木为床，下施六轮，上立二梯，各长丈余，中施转轴，四面以生牛皮为屏蔽，内以人推进，及城则起飞梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”图1是某款云梯，忽略其梯身等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面简化结构图如图2所示，已知，，，．
(1)求的长；
(2)如图3，某次应用云梯时，云梯的顶端D搭在与AB垂直的城墙上，，且，求此时点B距离城墙的距离．结果精确到．参考数据：，，，）
87．（2024·河南·模拟预测）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：）
88．（2024·浙江·模拟预测）如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．
(1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度．
(2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）．
89．（2024·江苏·模拟预测）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档与的长分别为和，且它们互相垂直，座杆的长为．点、、在同一条直线上，且．（参考数据：，，
(1)求车架档的长；
(2)求车座点E到车架档的距离（结果精确到）．
90．（2024·辽宁·模拟预测）如图1所示是某初中校园内一标志建筑，它的上面是类似凤凰的图形，下面是实心底座（底部不可以到达），如图2，是凤凰的高度，梯形是底座的截面图，（E，F，I，J在同一直线上）．数学兴趣小组的同学想测量类似凤凰图形的竖直高度．
任务一：他们分别在地面的点E，F处放一个高度为的测角仪，利用测角仪及皮尺测得如下数据：，，，，，请根据以上数据求出凤凰的高度的长？（结果精确到）（参考数据：，，，，，，）
任务二：数学兴趣小组的同学想利用上面的测量方法得到一般性的结论，若，，，其他数据不变，求出凤凰的高度的长？（用含α，β，n表示）
91．（2024·辽宁·模拟预测）如图1是某停车场入口“曲臂直杆道闸”，如图2，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．已知，，入口宽度．
(1)如图3，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离（结果精确到）；
(2)如图4，当曲臂杆旋转时，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，）
92．（2024·河南·模拟预测）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．
(1)如图，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离；
(2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，结果精确到）
93．（2024·辽宁·模拟预测）一天晚辅导结束后，小星和小明从教学楼回宿舍，途径校园内的路灯下时，小星发现此时自己的影子正好在脚下 A 处，小星又向前走了5步到B 处，发现自己的影子落在路灯杆标识为高的C 处，此时小明马上从书包文具盒里拿出量角器，测得光线与路灯杆形成的角度 ，小星又继续向前走了2步，到达路灯杆底部 D 处，已知小星的身高为.
(1)求小星一步大约多少厘米；
(2)求路灯与地面的距离.
(结果精确到.参考数据：
94．（2024·辽宁·模拟预测）物业维修员李师傅需要在距离地面的墙面上安装一块安全标语警示牌，现有一把折叠梯子可以利用，该梯子展开时与折叠后的规格尺寸如下表：
如图5，已知李师傅站在地面上并在托起警示牌的状态下，利用身体前倾和手臂上举的方式，所能达到的最高高度，最远前伸距离．如图6，当梯脚点K 与地面和墙面夹角的顶点重合时（地面和墙面垂直，即），请判断李师傅站在踏板上是否可以顺利安装安全标语警示牌？若可以，请写出计算过程；若不可以，请说明理由．（结果精确到．参考数据：，，）
95．（2024·辽宁·模拟预测）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？

【解决问题】
（1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系；
【问题探究】
（2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小；
【问题拓展】
（3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离
96．（2024·浙江·模拟预测）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．思思买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点，，在同一条直线上，且．

(1)求下管的长；
(2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫离地面的距离．（结果精确到，参考数据，，）
97．（2024·浙江·模拟预测）如图，道路旁的一处测速仪A 到道路BC的距离为，检测角，线段为监测范围． 已知与道路的夹角为．
(1)求监测范围的长．
(2)如果道路BC的限速为90千米/时，一辆汽车通过段的时间为秒，请你判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：
98．（2024·辽宁·模拟预测）某小区装修需要安装楼梯扶手，如图所示，这是楼梯横截面示意图，台阶高度均相等，扶手由两条长度相等的斜杆（和）和四条竖杆 组成，点和是水平台阶的中点，为直角三角形，，，．
(参考数据：
(1)求的长和每节台阶的高度；(结果精确到)
(2)若竖杆的高度为，求安装该楼梯扶手需要材料的长度．(结果精确到)
99．（2024·浙江·模拟预测）某数学学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝．图2是其示意图，已知两条侧翼的长均为，夹角为，平分，求两点间的距离．（参考数据：，，）
100．（2024·浙江·模拟预测）如图是水槽水龙头（图1）的侧面平面示意图，矩形为水槽侧面，有，在水槽边上方安装水管，水龙头，其中．测得，．
(1)求点F离水槽底的高度．
(2)若水柱与共线，当手伸到水槽内洗手时（即手与水柱的交点在下面），水不会溅出．当手与水柱交点P离水槽壁的距离为，洗手时水会不会溅出？试通过计算说明．（参考数据：）
学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量
素
材
1
光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能
源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其
清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎．
省实验学校学生开展综合实践活动，测量太阳
能路灯电池板顶端E点离地面的高度．
素
材
2
如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点
B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在
与点B相距2米的测点D处安置等高的测角
仪，测得点E的仰角为，点B，D与F在同
一条直线上．
问题解决
任务
学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量
求电池板离地面的高度EF的长．
（结果精确到0.1米；参考数据：
，，
，）
课题
测量慈氏塔的高度
测量工具
测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程
如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为
说明
点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据：
测量对象
应县木塔
测量目的
学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具
无人机
测量方案
1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为；
2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
课题
测量风力发电机组的塔筒的高度
实物图
测量工具
卷尺、测角仪……
测量示意图
说明
点A，B，C，D，E 均在同一竖直平面内，表示风力发电机组的塔筒的高度，点C表示坡底，所在直线表示斜坡，与垂直，点C，D，B 在同一条直线上．
测量数据
，小颖同学在坡底C处测得塔筒顶端A的仰角为，小颖沿坡面CB前行到达D处，此时测得塔筒顶端A的仰角为．
参考数据
，，，
任务
求风力发电机组的塔筒的高度．(结果保留整数)
测量对象
广西桂林日月双塔——日塔
测量目的
1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题；
2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神．
测量工具
无人机，测角仪等．
测量方案
1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得日塔的顶端A的俯角为；
2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为．
测量示意图

小组
甲
乙
图示

（点，，，在同一平面内）
测量数据
，
，
探究斜坡上两车之间距离
素材1
图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．
素材2
如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．
问题解决
任务一
如图①，求斜坡的坡比．
任务二
如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．
素材
如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最大高度米．
素材
现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米．
问题解决
任务
请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务
当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务
草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围．
坡角
坡度
初级道：
中级道：
高级道：