2022年中考数学二轮复习专题《解直角三角形的实际应用》练习册 (含答案)

这是一份2022年中考数学二轮复习专题《解直角三角形的实际应用》练习册 (含答案)，共16页。试卷主要包含了60，cs37°≈0等内容，欢迎下载使用。

1. (2017邵阳)如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°.n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是___________km.
第1题图
2. (2017新疆建设兵团)如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30 m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度(结果保留根号)．
第2题图
3. (2017潍坊)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度(精确到0.1米．参考数据：eq \r(3)≈1.73)．
第3题图
4. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的信号塔PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60)
第4题图
5. (2017黄冈)在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)．已知标语牌的高AB＝5 m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
第5题图
6. (2017株洲)如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2eq \r(3)，无人机的飞行高度AH为500eq \r(3)米，桥的长度为1255米．
(1)求点H到桥左端点P的距离；
(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．
第6题图
类型二 背靠背型
7. (2016长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度为( )
A. 160 eq \r(3) m B. 120eq \r(3) m
C. 300 m D. 160 eq \r(2) m
第7题图
8. 如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(结果精确到1米，参考数据：eq \r(3)≈1.73)
第8题图
9. (2017南京)如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？
(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
第9题图
10. (2016达州)如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5 km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20 km.一轮船以36 km/h的速度航行，上午10∶00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10∶40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12 km.
(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?
(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)
第10题图
类型三 其他类型
11. (2017山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为________米(结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cs54°＝0.5878，tan54°＝1.3764)．
第11题图
12. (2017常德)图①，②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)．(参考数据：cs75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，eq \r(3)≈1.732，eq \r(2)≈1.414)
第12题图
13. (2017黔东南州)如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)
(参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81，eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(5)≈2.24)
第13题图
答案
1. 20eq \r(3)－20 【解析】由题意知，∠ARL＝30°，∠BRL＝45°，AR＝40，∴在Rt△ALR中，AL＝AR·sin30°＝40×eq \f(1,2)＝20 km，由勾股定理得RL＝eq \r(AR2－AL2)＝20eq \r(3) km，在Rt△BLR中，∵∠BRL＝45°，∴BL＝RL＝20eq \r(3) km，∴AB＝BL－AL＝(20eq \r(3)－20) km，即火箭上升的高度是(20eq \r(3)－20) km.
2. 解：如解图，延长AE交DC于点F，则AF⊥DC，
第2题解图
∵在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝BC＝30 m，
∴DF＝AF＝30 m，
∵在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，
∴DC＝BC·tan60°＝30eq \r(3) m，
∴AB＝FC＝DC－DF＝(30eq \r(3)－30) m.
答：甲建筑物的高度为(30eq \r(3)－30)m，乙建筑物的高度为30eq \r(3) m.
3. 解：由题意知A′B′＝AB＝14米，
∠DA′C′＝60°，∠EB′C′＝30°，
∵MC＝2.5米，CC′＝1.5米，
∴MC′＝1米，
设每层楼的高度为x米，则DC′＝(5x＋1)米，EC′＝(4x＋1)米，
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，
∴A′C′＝eq \f(DC′,tan60°)＝eq \f(5x＋1,\r(3))＝eq \f(5\r(3)x＋\r(3),3)米，
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，
∴B′C′＝eq \f(EC′,tan30°)＝eq \f(4x＋1,\f(\r(3),3))＝(4eq \r(3)x＋eq \r(3))米，
∵B′C′＝A′C′＋A′B′，
即4eq \r(3)x＋eq \r(3)＝eq \f(5\r(3)x＋\r(3),3)＋14，
解得x＝2eq \r(3)－eq \f(2,7)，
∴CD＝5x＋2.5＝5(2eq \r(3)－eq \f(2,7))＋2.5≈18.4(米)．
答：居民楼的高度约为18.4米．
4. 解：如解图，延长PQ交直线AB于点M，
第4题解图
则∠PMA＝90°，
设PM的长为x，
∵在Rt△PAM中，∠PAM＝45°，
∴AM＝PM＝x，
又∵AB＝100米，
∴BM＝(x－100)米，
在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝eq \f(PM,BM)，
∴tan68°＝eq \f(x,x－100)≈2.48，
解得x≈167.57，
即AM＝PM≈167.57(米)，
在Rt△QAM中，
QM＝AM·tan∠QAM＝167.57×tan31°≈167.57×0.60≈100.54(米)，
∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0(米)．
答：信号塔PQ的高度约为67.0米．
5. 解：如解图，过点F作FM⊥AE于点M.
∵∠AFB＝75°，∠E＝30°，
∴∠EAF＝45°，
∴AM＝MF，
在Rt△ABE中，AB＝5 m，∠E＝30°，
∴AE＝2AB＝10 m，
设AM＝MF＝x，则EF＝2x，EM＝eq \r(3)x，
又∵AE＝AM＋EM，
∴10＝x＋eq \r(3)x，解得x＝5(eq \r(3)－1)，
∴EF＝2x＝10(eq \r(3)－1)≈10(1.73－1)＝7.3 m.
答：点E与点F之间的距离约为7.3 m.
第5题解图
6. 解：(1)∵tan∠APH＝tanα＝2eq \r(3)，
∴eq \f(AH,HP)＝2eq \r(3)，
又∵AH＝500eq \r(3)，
∴HP＝250，
答：点H到桥左端点P的距离为250米；
(2)如解图，设HA、QB的延长线交于点M，
第6题解图
∵HQ＝HP＋PQ＝250＋1255＝1505，∠BQH＝30°，
∴MH＝HQ·tan30°＝1505×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(1505\r(3),3)(米)，
∴MA＝MH－AH＝eq \f(5\r(3),3)(米)，
又∵在Rt△ABM中，∠MBA＝30°，
∴AB＝eq \f(MA,tan30°)＝eq \r(3)MA＝5(米)．
答：这架无人机的长度为5米．
7. A 【解析】如解图，设过点A垂直于BC的直线与BC的交点为D，∵AD＝120 m，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，则BD＝AD·tan∠BAD＝120·tan30°＝40eq \r(3) m，CD＝AD·tan∠CAD＝120·tan60°＝120eq \r(3) m，∴BC＝BD＋CD＝160eq \r(3) m.
第7题解图
8. 解：如解图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BEFC是矩形，
∴EF＝BC＝10米，
∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，
∴AE＝2.5BE＝50米，
∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°，
∴DF＝eq \f(CF,tan30°)＝20eq \r(3)≈35米，
∴AD＝AE＋EF＋DF＝50＋10＋35＝95米．
答：坝底AD的长度约为95米．
第8题解图
9. 解：如解图，过点C作CH⊥AD，垂足为H，设AH＝x km.
第9题解图
∵在Rt△ACH中，∠A＝37°，
∴CH＝AH·tan37°＝x·tan37°，
∵在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，
∴EH＝CH＝x·tan37°，
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴eq \f(AH,HD)＝eq \f(AC,CB)，
又∵C为AB的中点，
∴AC＝CB，
∴AH＝HD，
即x＝x·tan37°＋5，
∴x＝eq \f(5,1－tan37°)≈eq \f(5,1－0.75)＝20，
∴HE＝CH＝20·tan37°≈20×0.75＝15(km)
∴AE＝AH＋HE＝20＋15≈35(km)．
答：E处距离港口A大约35 km.
10. 解：(1)如解图，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，延长AB与直线l相交于点F，
第10题解图
则∠BCE＝90°－60°＝30°，
∠ACD＝90°－30°＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝36×eq \f(40,60)＝24 km，BC＝12 km，
∴sin∠BAC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(12,24)＝eq \f(1,2)，
∴∠BAC＝30°，则∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∵∠EBF＝∠EBC，
∴BF＝BC＝12 km，
则t＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3)(小时)＝20(分钟)．
答：轮船照此速度与航向航行，上午11∶00能到达海岸线l；
(2)由(1)可知，BC＝BF，BE⊥CF，
∵ME＝EC＝BC·sin60°＝12×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3) km，
∴CF＝CE＋EF＝12eq \r(3)≈20.4 km，
又∵CN＝20 km，MN＝1.5 km，
∴CM＝CN＋MN＝20＋1.5＝21.5 km，
∵20 km<20.4 km<21.5 km，
∴轮船能停靠在码头．
11. 15.3 【解析】根据题意得CD＝BE＝10米，BD＝CE＝1.5米，∠ACD＝54°，∴AD＝CD·tan54°≈10×1.3764≈13.8米，∴这棵树的高度AB＝AD＋BD＝13.8＋1.5＝15.3米．
12. 解：如解图，延长FE交CB延长线于点M，过点A作AG⊥FE延长线于点G，
第12题解图
∴HE∥AG，
∴∠FAG＝∠FHE＝60°，
∴在Rt△AFG中，FG＝AF·sin60°＝2.5×eq \f(\r(3),2)≈2.165，
∴在Rt△ACB中，AB＝BC·tan∠ACB＝0.6×tan75°≈0.6×3.732＝2.2392，
在矩形ABMG中，GM＝AB＝2.2392，
∴DM＝FG＋GM－FD＝2.165＋2.2392－1.35＝3.0542≈3.05(米)．
答：篮框D到地面的距离约为3.05米．
13. 解：如解图，设平移后的点为D′，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，过D′作D′G⊥AC交AC的延长线于点G.
第13题解图
∵在Rt△CDE中，CD＝12米，
∠DCE＝∠α＝60°，
∴CE＝CD·csα＝6米，
DE＝CD·sinα＝6eq \r(3) 米，
∵DE⊥AC，D′G⊥AC，
∴DE∥D′G，
∵DD′∥AG，
∴四边形DEGD′是矩形，
∴D′G＝DE＝6eq \r(3) 米，
∵∠D′CG＝39°，
∴CG＝eq \f(D′G,tan39°)，
∴DD′＝EG＝CG－CE＝eq \f(6\r(3),tan39°)－6≈7米．
答：点D向后至少要平移7米才能保证教学楼的安全．