2026年北京中考数学二轮复习 难点04 几何动态与变换综合题(4大题型)(重难专练)

这是一份2026年北京中考数学二轮复习 难点04 几何动态与变换综合题(4大题型)(重难专练)，共37页。试卷主要包含了，点E在线段上，且，在中，，点D为平面内一点，，连接等内容，欢迎下载使用。
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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
考向 几何证明
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
考向 几何证明
题型1 探究数量关系
1．（2022·北京西城·二模）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)①，证明见解析；②，证明见解析
【来源】2022年北京西城区九年级二模考试数学试卷
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到；
②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到．
【详解】（1）解：当点E与点C重合时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即与的位置关系是互相垂直，
若，过点A作于点M，如图：

则，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：互相垂直；；
（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下：
过点A作于点M、于点N，如图：

则，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
由①知：，
即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
2．（2023·北京朝阳·一模）如图，，点A在上，过点A作的平行线，与的平分线交于点B，点C在上（不与点O，B重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)直接写出线段与之间的数量关系，并证明；
(2)连接并延长，分别交，于点E，F．若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【来源】2023年北京市朝阳区中考一模数学试卷
【详解】（1）解：线段与的数量关系为，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
证明：由旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，在上截取使，连接，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
如图，作于点K，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
3．（2025·北京延庆区·一模）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．

(1)【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；
(2)【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)作图见解析；135
(2)；理由见解析
(3)或；理由见解析
【详解】（1）解：如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：135．
（2）解：；理由如下：
连接，如图所示：

根据旋转可知，，
∵，
∴、P、B、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：

根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
即；
当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：

根据旋转可知，，
∵，
∴、B、P、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即；
综上分析可知，或．
4．（2023·北京大兴·一模）在中，，，点为射线上一动点（不与点，重合），连接，点为延长线上一点，且，作点关于射线的对称点，连接，.
(1)如图1，当点在线段上时，
①依题意补全图形，求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，直接用等式表示线段，，之间的数量关系.
【答案】(1)①见解析；②，证明见解析
(2)
【来源】2023年北京市大兴区中考一模数学试卷
【分析】（1）①由题意补全图形即可，由轴对称的性质可得，从而可证，得到，由已知 “等边对等角”可得即可证明结论；
②根据“等边对等角”得，连接EF，交射线于点M，则，由轴对称的性质可得 、，在中，由边角关系得，由“三角形的应外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，从而得到，证明可得即从而完成解答；
（2）与（1）同理可得：，，即可解答
【详解】（1）解：①依据补全图形如下：
∵点E点F于射线对称，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
'∴，
∴；
②线段，，之间的数量关系，证明如下：
在中，，
∴，
如图，连接EF，交射线于点M，
∴，
∵点E与点F关于射线对称，
∴直平分，
∴，,，
∴ ，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∵，，
∴；
（2）解：如图2：当点D线段延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系是，理由如下：
如图：连接，交射线于点M，则，
与（1）同理可得：,,，
∴，
与（1）同理可得：，
∴，
∴ ，
∵,，
∴.
5．（2024·北京东城·一模）已知，点为边上一个定点，点为线段上一个动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，，点关于直线的对称点为点，连接，．
(1)如图1，若点P为线段的中点．
①直接写出的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，若线段与交于点D．
①设，求的大小（用含的式子表示）；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①；②
(2)①；②，证明见解析
【详解】（1）解：①，关于对称，
，，
是等边三角形，
，
点为线段的中点，
，
，
．
②图形如图所示：结论：．
理由：，，关于对称，
，
，
，
，
．
（2）①如图2中，连接，．
，关于对称，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
．
②如图中，结论：．
理由：连接，在上取一点，使得．
，
，，，四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，关于对称，
，
．
∴．
6．（2025·北京第十三中学分校·三模）在中，，是直线上一点（点D不与点A、B重合），连接并延长到E，使得，过点E作，交直线于点．
(1)如图1，当点D为线段的上任意一点时，用等式表示线段的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点D为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段的数量关系是否发生改变，并证明．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)改变，，补图和证明见解析．
【详解】（1）解：结论：．
理由如下：过D作于H，
∵于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
（2）解：依题意补全图形．
结论：．
证明：过D作交的延长线于H，
∵于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
题型2 最值问题
7．（2025·北京汇文中学·三模）在中，，点D为平面内一点．
(1)如图1，若点D在线段上，且，求的值；
(2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明；
(3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【来源】2025年北京汇文中学中考三模数学试题
【分析】（1）过点D作于点K，根据角平分线的性质可得，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解；
（2）延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，再证得是等腰直角三角形，可得，，再证明，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证明，可得，即可解答；
（3）以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，再证得点D在圆O上，可得当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点D作于点K，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴点D在圆O上，
∴当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴的最小值为．
【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键．
8．（2024·北京交大附中二分校·模拟）在等边中，点D为的中点，点E为上一点（不与A、D重合）将线段绕点E顺时针旋转至，使点F落在的延长线上，在图1中补全图形：
(1)求的度数；
(2)探究线段之间的数量关系；
(3)将线段绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点H，连接，当时，请写出的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【来源】2024年北京交通大学附属中学第二分校中考模拟数学试题
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、旋转的性质，锐角三角函数等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）先说明，从而得出低昂A、E、C、F共圆，然后根据圆周角定理即可解答；
（2）在上截取，作于H，可证得，从而、，进而得出，然后解直角三角形即可解答；
（3）将绕点A顺时针旋转至，连接，结合全等三角形的判定和性质进行分析求解即可．
【详解】（1）解：如图1:
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴点A、E、C、F共圆，
∴；
（2）解：如图2，，
在上截取，作于H，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，将绕点A顺时针旋转至，连接，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当N、E、C三点共线时最小，
在等腰直角中： ，
∴的最小值为．
9．(24-25九下·北京海淀区十一学校·二模)如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当P是中点时，连接，求证：；
(2)如图2，过点Q作直线，交直线于点M，作交射线于点N，请补全图2，探究线段和线段的等量关系并证明；
(3)如图3，若，，O为的中点，M为线段上的动点，N为线段上的动点，，D为线段的中点，求线段的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)最小值为
【详解】（1）证明：由旋转可知：，
∵，点P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图：
连接，作，交于点D，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，， O为的中点，
∴，，
∴．
∵，D为线段的中点，
∴，
∴点D在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动．
∵，
∴最短时，线段值的最小．
由旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在与成角的射线上运动，
∴当时，的值最小，即线段取得的最小值．
∵，
∴线段取得的最小值为．
10．（2025·北京顺义·二模）在等腰中，，线段上存在一动点（不与点重合），连接．将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接分别是线段的中点．
(1)如图1，若，当恰好是边的中点时，______，的度数为______．
(2)如图2，若，当是边上的任意一点时（不与点重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，若，当点在边上，且，在点的运动过程中，求线段的最小值．
【答案】(1)；
(2)两个结论均成立，理由见解析．
(3)
【详解】（1）解：设
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是边的中点，点M是边的中点，
∴E与M重合，，
∴，
由旋转的性质得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵点N是的中点，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：上述两个结论均成立，理由如下：
如图2，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵M是中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
同理可得，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
综上所述，，直线和相交所成的锐角的度数为；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
同（2）得：，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∵，
∴，
当时，最小，
此时是等腰直角三角形，则，
即的最小值为．
11．(22-23九下·北京西城区北京四中·二模)已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．过点作直线的垂线，垂足为点．
(1)当为锐角时，依题意补全图形，并直接写出的度数；
(2)在（1）的条件下，写出线段和之间的数量关系，并证明；
(3)设直线与直线相交于点，若，直接写出线段长的最大值和最小值．
【答案】(1)补全图形如图所示，
(2)，证明见解析
(3)线段长的最大值为，最小值为
【详解】（1）解：补全图形，如图所示，
连接，以为半径为圆心作，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
（2），
证明：如图所示，过点作于点，连接，设交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴
∴；
∵平分，又，
∴
又（1）可得，
∴
∴，又，则是等腰直角三角形，
∴，
又∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴,
即
（3）解：如图所示，
以为斜边在右侧作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，
∵，
∴，
∴在上运动，
∵，则的半径，
如图所示，过点作交延长线于点，则
∴
∴
∴线段长的最大值为，最小值为
12．（2024·北京东城·二模）如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）延长交于点，求证：为的中点；
（3）在（2）的条件下，若的边长为1，直接写出的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1
【详解】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
是等边三角形
为等边三角形
，
，且，
（2）如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，且，
点是中点
（3）如图，连接，
是等边三角形，
点，点，点，点四点在以为直径的圆上，
最大为直径，
即最大值为1
题型3 几何与三角函数综合
13．（2025·北京陈经纶中学分校·零模）在中，已知，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当时，若，求的值：
(2)如图2，当时，点为中点，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①图形见详解②，理由见详解
【来源】2025年北京市陈经纶中学分校中考数学零模试卷
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的三角函数比，三角形中位线性质定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质和作辅助线．
（1）过点作于点，构造直角三角形，根据条件得出，再利用勾股定理和直角三角形的三角函数比即可求得结果；
（2）①根据题意画出图形；
②延长到，使，连接，根据条件得出是等边三角形，再得出，根据全等三角形的性质得出平分，在上截取，连接则是等边三角形，根据条件再证明，最后根据等量代换得出．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
由旋转可得，
又∵，
，
∴是等腰三角形，
，
，
，
在和中，
，
假设，则，根据勾股定理得，
∴；
（2）解：①补全图形如图所示
② ，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
是的中点 ，
是的中位线，
，
由题意知， ，
， ，
是等边三角形，
，，
又 ，
，
在四边形中，，
如图，作于，作交延长线于，则，
又，
，
在和中
，
又， ，
平分，
，
在上截取，连接则是等边三角形，
，，
由是等边三角形得，，
，
在和中

，
，，
．
14．(2024·北京第五中学分校·二模)已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．
（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；
（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．．
【答案】（1）α，（2）见解析；（3）
【详解】证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴AD=AC，且AB=AC，
∴AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，
∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α，
∴∠BDC=α，
（2）如图2，连接CE，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，
（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，
∵在△BOF中，BO+OF≥BF，
∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，
如图，过点O作OH⊥BC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AC，∠ACB=45°，且OH⊥BC，
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC，
∴OC=HC，
∵点O是AC中点，
∴AC=2HC，
∴BC=4HC，
∴BH=BC-HC=3HC，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
15．（2023·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．
（1）依题意补全图1；
（2）若DM＝1，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）1或．
【详解】解：（1）根据题意作图如下：
（2）连接BM，如图2，
∵点D与点E关于AM所在直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°，
∵BM＝BF，
∴△ADM≌△ABF（SAS），
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，
∴∠FAB＝∠NAE，
∴∠FAE＝∠MAB，
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF＝BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝3，
∵DM＝1，
∴CM＝2，
∴BM＝，
∴EF＝；
（3）设DM＝x（x＞0），则CM＝3﹣x，
∴EF＝BM＝，
∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝，
∴AF＞AE，
∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE＝EF，或AF＝EF，
①当AE＝EF时，有＝3，解得x＝3
∴tan∠DAM＝；
②当AF＝EF时，＝，解得，x＝，
∴tan∠DAM＝，
综上，tan∠DAM的值为1或．
故答案为：tan∠DAM的值为1或．
16．(2025·北京北师大实验中学·二模)如图，在中，，，在线段上取点，作于，连接，点是中点，连接.
(1)求线段与的位置关系和数量关系，并证明；
(2)将绕点顺时针旋转（）；
①在（1）中线段的位置关系和数量关系是否依然成立？请证明你的结论；
②若点是的重心，直接写出的值.
【答案】(1)垂直且相等；证明见解析
(2)①成立；理由见解析；②
【详解】（1）解：与垂直且相等；理由如下：
，，
，是中点，
，
点D、C、E在以为圆心、为半径的圆上，
，
∴；
即与垂直且相等；
（2）解：①（1）中的结论仍然成立；理由如下：
延长到，使得，连接，如图，设交于，交于，
，，，
∴，
，，
∴，
，
，
，
又，，
∴
，，
，
即，
∴为等腰直角三角形，
，
，，
即与垂直且相等；
②连接交于点H，连接，如图所示：
∵D是的重心，M是的中点，
∴、D、M三点共线，H为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∵H为的中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．（2025·北京八十中学·二模）已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的值．
(3)若，如图2，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
，
，
平分．
（2）过作于．
在矩形中，，，
，，
，，
由（1）得平分，
，
，
，
又，
，
，
∵，，
∴，
，
，
；
（3），
矩形是正方形，
设，则，
由（2）知：，
，，
∴，
，平分，
∴，
，
，
，
．
18．（2025·北京朝阳·二模）【问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_______．
【类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_______．
【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且，连接，．
（1）求的值；
（2）延长交于点，交于点．求的值．
【答案】[问题呈现]1；[类比探究]；[拓展提升]（1），（2）
【详解】[问题呈现]解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
[类比探究]解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
[拓展提升]解：（1），
，
，
，
，，
，
，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，
．
题型4 含相似几何证明
19．（2025·北京第十三中学分校·三模）如图，在中，D为边上的一点，且满足，作点D关于直线的对称点E，过点A作，交延长线于点F，连接．
(1)依题意补全图形，并证明；
(2)过点C作的垂线，交于点G，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析；
(2)，证明见解析．
【来源】2025年北京市第十三中学分校中考三模数学试题
【分析】（1）根据作点D关于直线的对称点E，过点A作，交延长线于点F，连接，先作好图形，再得，结合平行线的性质以及等边对等角，故，由等角对等边，得，最后证明是的中位线，即可作答．
（2）由（1）得，先整理得，结合过点C作的垂线，得，故，证明,，则，因为，则、C在以为直径的圆上，根据角之间的关系得出四点共圆，运用圆周角定理得，故，即可作答．
【详解】（1）解：过点C作于K，连接，交于H，
，
，
，
，
，
，
∴是的中点，
∵作点D关于直线的对称点E，
，即H是的中点，
∴是的中位线，
；
（2）解：连接、、，作于N，
由（1）得，
∵作点D关于直线的对称点E，
，
由（1）得
，
∵过点C作的垂线，交于点G，
∴，
∴
，
∵
,
同理得
，
∵作点D关于直线的对称点E，
，
，
、C在以为直径的圆上
∵作点D关于直线的对称点E，
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴四点共圆，
在以为直径的圆上
，
．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，四点共圆，勾股定理，圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．（2025·北京门头·一模）如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于．
(1)求证：；
(2)过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①见解析 ②；证明见解析
【来源】2025年北京市门头中考数学一模试卷
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键．
（1）根据题意， ，，由，得到即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；②延长到，使，连接，则，
由（1）得 ，可证 ，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：①依题意补全图形，如图：

②与之间的数量关系是，
证明：延长到，使，连接，
，
，
又∵由（1）得，
，
∵以为圆心，长为半径作弧，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．（2024·北京顺义·二模）如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【来源】2024年北京市顺义区中考二模数学试题
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意描述作图即可；
（2）根据旋转可得，证明，，根据平行线分线段成比例和得出，即可证明；
（3）过点作交于点，证明，得出，从而证明，再根据且，得出，，，从而证明，即可求解；
【详解】（1）解：补全图形如图：
（2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）．
证明：过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
且，
，
，
即，
，
，
，
，
，
22．（2023·北京中国人民大学附属中学·三模）等边中，、、分别是、、上的点，若．

(1)求的度数；
(2)若是的中点，连接并延长交于点，补全图形并探究与之间的数量关系；
(3)若，过作交于点交于点，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)补全图形见解析，
(3)
【来源】2023年北京市中国人民大学附属中学中考三模数学试题
【分析】（1）证明,得，同理，则，得到是等边三角形，即可得到的度数；
（2）补全图形，过点E作交于点M，过点D作交于点N，根据平行线分线段成比例定理得到，，则，证明，则，可得,，则，由即可得到结论；
（3）过作交于点交于点，取的中点N，连接,连接并延长交于点M，由是等边三角形，，则 ，，由勾股定理可得，可证，由（2）可知，，由平行线分线段成比例定理得到，即可得到的长．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴,
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的度数为；
（2），理由如下：
连接并延长交于点，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，

∴，，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴,
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过作交于点交于点，取的中点N，连接,连接并延长交于点M，如图，

∵是等边三角形，，
∴ ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
即的长为．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，适当添加辅助线和熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
23．（2023·北京八一教育集团&北京十九中·零模联考）在中，，，将线段绕点逆时针旋转角得到线段，连接，过点作于点，连接交，于点，．
(1)当时，如图1，依题意补全图形，直接写出的大小；
(2)当时，如图2，试判断线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若为的中点，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【来源】2023年北京市八一教育集团&北京市第十九中学九年级零模联考数学试卷
【分析】（1）根据题意作图，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求出；连接，可证明是直角，再根据等腰直角三角形的判定和性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）过点F作，通过，再利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）依题意补全图形，如图所示：
由旋转得，
∵，
∴
又∵
∴
∵，
∴
∴，
∴；
（2），证明如下：
连接，
由旋转得，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
又
即
（3）过点F作，则，
∵，
∴，
∴，
∵F为的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
24．（2025·北京海淀·二模）在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．

（1）若点是线段的中点，如图1．
①依题意补全图1；
②求的长；
（2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）CE＝
【详解】解：（1）①如图1，补全图形

②连接AD，如图1．
在Rt△ABN中，
∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1，
∴AN＝，
∵线段AN平移得到线段DM，
∴DM＝AN＝，
AD＝NM＝1，AD∥MC，
∴△ADP∽△CMP．
∴，
∴；
（2）如图，连接NQ，

由平移知：AN∥DM，且AN＝DM．
∵MQ＝DP，
∴PQ＝DM．
∴AN∥PQ，且AN＝PQ．
∴四边形ANQP是平行四边形．
∴NQ∥AP．
∴∠BQN＝∠BAC＝45°．
又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°，
∴BN＝BQ．
∵AN∥MQ，
∴，
又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4，
∴，
∴NB＝或（负数舍去）．
∴ME＝BN＝．
∴CE＝
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：50分钟）
1．在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，．
(1)如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)连接，依题意补全图2．若，求的大小．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)．
【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质与直角三角形的性质得，再根据正切三角函数定义求解即可得出结论．
（2）方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2，先证明，再证明，得．从而得出．即可求解．
方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．先证明，再证明．得．即可求解．
【详解】（1）解：线段与的数量关系：．
证明：连接，如图1．
点，关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线．
．
．
．
是等边三角形．
，．
中，，，
．
依题意，得，点在上．
．
．
．
．
．
在中，．
．
．
（2）解：依题意补全图2，如图．
方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2．
，
．
，
是等边三角形．
，．
点，关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线．
，．
．
，
．
，
．
．
，
．
，，
．
．
．
．
方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．
点，关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线．
，．
．
．
，
．
．
，，
．
．
．
由（1）可得．
为中点，
．
．
，，，
．
．
．
，，
．
．
．
【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键．
2．如图，中，，将绕点C顺时针旋转一个角度，使点B的对应点D在的内部，得到，延长交于点F．

(1)求证：；
(2)连接，，延长交于点G．
①补全图形；
②用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①图见解析；②，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的证明性质，以及旋转的基本性质，能够正确作出辅助线是解题关键；
（1）连接，通过旋转性质得到，，进而得到，从而可得证；
（2）①按题意补全图形即可；
②在上截取，先利用证得，得到，再利用角度之间的关系得到，进而得到，再通过等量代换即可得到．
【详解】（1）证明：连接，

∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①补全图形如下：

②，理由如下：
如图，在上截取，
∵旋转，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2023、2024、2025年考法解读
2026年考法预测
中考数学中几何证明的各种点主要考向分为两类：
一、全等证明（每年1道，7分）；
二、相似证明（每年1题，7分）；
考查内容稳定，以解答题为主，含辅助线，难度较大．
预测考查方向：旋转变换与手拉手模型，将某三角形绕公共顶点旋转，构造全等三角形转移线段。
还需关注与等边三角形、正方形结合。
考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，解决最值问题需构造二次函数或者利用几何性质解答。
主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．还需熟练掌握三角函数定义及特殊三角函数值。
主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．