河南省新乡市上学期期末八年级数学试题（解析版）

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1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 2025年2月7日，将在哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会．下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好，，三段篱笆，其长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系得到的取值范围即可求解．
详解】解：根据题意，，，，
设在篱笆上接上新的篱笆的长度为，
若要围成一个三角形的空地，则，
解得，
故选项D符合题意，
故选：D．
3. 如图所示是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选C．
4. 下列从左到右的变形中，是用公式法进行因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式和分解因式的定义，把一个多项式化为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此可判断A、B；C选项是用提公因式法分解因式，D选项是用平方差公式分解因式，据此可得答案．
【详解】解：A、，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，是用提公因式法分解因式，不符合题意；
D、，是用平方差公式分解因式，符合题意；
故选：D．
5. 如图，已知线段，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的交点得到直线，在直线上取一点，使得，延长至，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法及性质、等边对等角、三角形的外角的性质等知识点，掌握垂直平分线的作法是解题的关键．
由作法可知直线是线段的垂直平分线，则；由等边对等角结合已知条件可得，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵由作法可知直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6. 要使得分式有意义，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分式的分母不为零是解题的关键．
根据分式有意义条件列不等式求解即可．
详解】解：根据题意可得：，解得：．
故选：A．
7. 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式，是解题的关键．先根据正多边形的内角和公式得出，然后根据正六边形的6个内角都相等求出结果即可．
【详解】解：正六边形的内角和为，
又正六边形的6个内角都相等，
∴正六边形的每一个内角的度数是．
故选：D．
8. 如图，的面积为9，平分，且于点，连接，则的面积是（ ）
A. 6B. 5C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，延长交于，证明，得到，根据三角形中线的性质得到，据此根据图形面积之间的关系即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
9. 如图，在中，，垂足分别为点D，E，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形的相关性质，根据垂线的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，据此可判断①；根据三角形三条高所在的直线交于一点可判断B；根据，可判断C；求出的度数即可判断D．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①错误；
∵且交于点，
∴（三角形三条高所在的直线交于一点），故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
10. 如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ）
A. 4B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，由折叠的性质得到，，再证明，得到，据此可得答案．
详解】解：如图所示，连接，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 2024年7月29日，在巴黎奥运会男子10米气步枪决赛中，盛李豪打破奥运会纪录夺得冠军．如图，盛李豪在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是______．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案．
【详解】解：盛李豪在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12. 如图，在等边三角形中，于点于点，若，那么的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，先由等边三角形的性质得到，再证明，则可得到，再由三线合一定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 已知，则______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键．
由，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：16．
14. 若关于的分式方程无解，则的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，接着根据分式方程无解，即原方程有增根求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
解得，
∵关于的分式方程无解，
∴原方程有增根，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：4．
15. 已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，求不等式组的解集，根据长方形和正方形面积计算公式求出，进而得到，再根据满足条件的整数有且只有2个得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵满足条件的整数有且只有2个，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，同底数幂乘除法计算：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和同底数幂乘除法计算，再根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可；
（2）先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据已知条件结合分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵，且，
∴，
∴原式．
18. 如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于y轴对称的，点C的对称点的坐标是______；
（2）的面积为______；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小．
【答案】（1）见解析，
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称最短路径问题：
（1）关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）作点A关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
∵与关于y轴对称，，
∴；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：如图所示，作点A关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，点P即为所求．
19. 如图，在中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点E．恰为等边三角形．
（1）试判定的形状，并说明你的理由；
（2）若的周长为6，求的长．
【答案】（1）是等边三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，等角对等边等等：
（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明，再由等边三角形的性质得到，则由三角形外角的性质可得，则，同理可得，据此可得结论；
（2）可证明，同理可得，由三角形周长计算公式可得，据此可得答案．
【小问1详解】
解：是等边三角形，理由如下：
∵与的平分线相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
解：由（1）可得，
∴，
同理可得，
∵的周长为6，
∴，
∴．
20. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得的长为；当小球摆到位置时，与恰好互相垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得的长为．
（1）判断与的数量关系，并说明理由；
（2）求两次摆动中，点B和点C的高度差．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理：
（1）通过证明即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质得到的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴点B和点C的高度差为．
21. 2025年蛇年春晚吉样物“巳升升”正式发布亮相，“巳升升”的设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考了安阳出土的甲骨文中的“巳”字，呈现出憨态可掬又富有古意的形象．某商店销售一种“巳升升”的玩偶，第一次用2160元购进一批后很快售完；该商店第二次购进该玩偶时，进价提高了，同样用2160元购进的数量比第一次少了12件．
（1）求第一次购进的“巳升升”玩偶每件的进价；
（2）若两次购进的“巳升升”玩偶每件的售价均为50元，且全部售完．求两次的利润总和．
【答案】（1）第一次购进的“巳升升”玩偶每件的进价为30元
（2）2280元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）设第一次购进的“巳升升”玩偶每件的进价为x元，则第二次的进价为元，再根据第二次同样用2160元购进的数量比第一次少了12件列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求分别计算出第一次和第二次购买的数量，再根据利润等于单件利润乘以销售量分别求出两次的利润，求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：设第一次购进的“巳升升”玩偶每件的进价为x元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“巳升升”玩偶每件的进价为30元；
【小问2详解】
解：，
∴第一次购进的数量为72件，第二次购进的数量为60件，
元，
答：两次的利润总和为2280元．
22. 【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
（1）；
（2）；
（3）．
我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式： ______；
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值；
【拓展应用】
（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）根据结合题意分解因式即可；
（2）把分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得的结果等于分解成的两个整数的和，据此建立方程求解即可；
（3）把看做一个整体，再仿照题意因式分解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴或或或，
解得（舍去）或或或（舍去）；
（3）
．
23. 如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（）．
（1）用含t的代数式表示的长度：______；
（2）若点P，Q的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
（3）若点P，Q的运动速度不相等，当a为多少时，能够使与全等？
【答案】（1）
（2）和全等，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）先表示出，根据，可得出答案；
（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等．
（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度；
【小问1详解】
解：依题意，则；
小问2详解】
解：和全等，理由如下：
，
，
厘米，
，点为AB的中点，
．
，
在和中，
；
【小问3详解】
解：点、的运动速度不相等，
，
又与全等，，
，，
∴点，点运动的时间为秒，
厘米秒．