河南省新乡市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省新乡市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共20页。

2．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，如图为“杭州亚运”的方正小篆体，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
2. 已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系．分类讨论，这个边长可能为底边长也可能为腰长．
【详解】解：当底边为2时，腰长，符合题意；
当腰长为2时，底边，而，，不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
3. 河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为0.00002m，将0.00002用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：将0.00002用科学记数法表示为．
故选：B．
4. 计算的结果是（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．根据分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法．利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，，，
，
，
∴的面积为：，
故选：A．
7. 已知关于y的方程的解为，则实数k的值为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解．根据分式方程解的定义，将方程的根代入方程中求解易得出k的值．
【详解】解：∵关于y的方程的解为，
∴，
即，
解得．
故选：D．
8. 如图，被树叶遮掩的部分是一个正n边形，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形外角的相关知识．正多边形每个外角都相等，外角和为，据此计算即可求解．
【详解】解：如图，由题意得，，
∴，
∴,
故选：D．
9. 观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A. ，B. ，7C. 2，D. 2，7
【答案】A
【解析】
【分析】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
10. 如图，在等边三角形中，为的平分线，在上分别取点，且，在上有一动点P，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可．
【详解】解：如图，∵是等边三角形，
∴，，
∵为的平分线，
∴，，
作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
即的最小值为，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：B．
二、填空题（每小题3 分，共 15 分）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件计算即可；
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案是：．
12. 如图，，，若要证明，需要补充的个条件是________．（写出一个即可）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形判定定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵
添加利用即可证明；
添加利用即可证明；
添加利用即可证明．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，在中，分别为和边上的高线，已知，若，则=_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大，利用三角形中的不同的底与其上高的乘积都等于三角形的面积是解答的关键．根据的面积等于底高，分别以为底，为高和以为底，为高两种方式计算，面积相等，列出等式，再将已知数据代入，解出AB即可．
【详解】解：∵在中，分别为和边上的高线，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
故答案为：．
14. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式因式分解的结果是若取，则各个因式的值：于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式取时，用上述方法产生的密码是_________（写出一个即可）
【答案】或或或或或．（任选其一即可）
【解析】
【分析】此题考查的是因式分解的应用，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先将其因式分解，然后将x和y的值分别代入各个因式中即可求出结论．
【详解】解：
，
当时，
，
，
∴用上述方法产生的密码是：或或或或或．
故答案为：或或或或或．（任选其一即可）．
15. 在等腰三角形中，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为________．
【答案】或
【解析】
【分析】分类讨论，当点在线段上，当点在线段的反向延长线时，根据等腰三角形的性质，内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，设，则，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，则，
∵是的外角，且，
∴，即，
解得，，
∴；
如图所示，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
综上所述，度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质，理解等腰三角形的性质，掌握内角和定理，外角的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）化简：
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，整式的加减－化简求值．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可；
（2）去括号，合并同类项，再代入计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
17. 如图，在单位长度为1的的正方形网格系中，的三个顶点均在格点上．
（1）画出关于直线m对称的；
（2）若将点C向右平移n个单位，使其落在的内部（不包括边界），请写出n的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图：平移变换和轴对称变换，本题的关键是作轴对称变换方法：先确定图形的关键点，再利用轴对称性质作出关键点的对称点，然后按原图形中的方式顺次连接对称点．
（1）利用网格特点和轴对称的性质，分别画出点关于直线m的对称点D、E、F，然后顺次连接即可；
（2）利用（1）所作图形，把C点向右平移2到4个单位可使点C落在的内部（不包括边界），即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，为所作三角形，
【小问2详解】
解：根据解析（1）中作图可知：，点C到直线的距离为4，
把C点向右平移2到4个单位可使点C落在的内部（不包括边界），
∴n的取值范围为．
18. 如图，在四边形中，．求证：垂直平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的证明、等腰三角形垂直平分线的判定，解题的关键在于
利用证明，可得，故点C在线段的垂直平分线上，且，故点A在线段的垂直平分线上，即可得是线段的垂直平分线．
详解】证明：∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点C在线段的垂直平分线上，
又∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
即是线段的垂直平分线．
19. 如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】如图，延长到G，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可证．
【详解】证明：如图，延长到G，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.
20. 剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2中阴影部分面积，直接写出之间的等量关系；
（2）根据（1）中的等量关系，已知求的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查完全平方差的公式和完全平方和的公式的联系．会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
（1）一种方法是表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用a、b表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示即可得出答案；
（2）根据解析（1）的结论，求出结果即可．
【小问1详解】
解：由图知：
图2中阴影部分的面积：或，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴根据解析（1）的结论可知，
．
21. 如图，在等腰三角形中，，请按要求作答：
（1）请用尺规作边的垂直平分线交于点D，交于点E；（保留痕迹，不写作法）
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，进行作图即可；
（2）连接，易得，根据等边对等角，推出，，进而得到，利用含度角直角三角形的性质，即可求出结果．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：∵在中，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查尺规作垂线，中垂线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
22. 某打字员承接了一份36000字的稿件输入工作，实际操作时，将打字的效率提高了，比原计划提前40分钟完成．

（1）求实际操作时该打字员的打字速度；
（2）输入40分钟后，由于客户加急，打字员决定再次加快输入速度，以确保用时不超过184分钟，那么该打字员每分钟至少要多输入多少字？
【答案】（1）实际操作时该打字员的打字速度为字/分钟
（2）该打字员每分钟至少要多输入20字
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程，不等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）设打字员的计划打字速度为x字/分钟，实际操作时该打字员的打字速度为字/分钟，根据实际比原计划提前40分钟完成，列出方程，解方程即可；
（2）设该打字员每分钟多输入y字，根据打字员决定再次加快输入速度，以确保用时不超过184分钟，列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设打字员的计划打字速度为x字/分钟，实际操作时该打字员的打字速度为字/分钟，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
答：实际操作时该打字员的打字速度为字/分钟．
【小问2详解】
解：设该打字员每分钟多输入y字，根据题意得：
，
解得：，
答：该打字员每分钟至少要多输入20字．
23. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点B在x轴上，一锐角顶点C在y轴上．
（1）如图1，若点B的坐标是，点A的坐标是，则点C的坐标为 ；
（2）如图2，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于点E，问与有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图3，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第三象限内，过点A作轴于点F，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值．
【答案】（1）
（2）；理由见解析
（3）为定值，定值为1．
【解析】
【分析】（1）过点A作，利用勾股定理从而求出的长，根据，由勾股定理可以求得，即可求解；
（2）先说出与有怎样的数量关系，然后针对得到的数量关系，作出合适的辅助线，画出相应的图形，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三线合一，可以最终证得所要说明的数量关系；
（3）先猜想之间的关系，然后根据猜想作出合适的辅助线，画出相应的图形，然后证明所要证明的结论即可．
【小问1详解】
解：过点A作，如图，

∵是等腰直角三角形，点B的坐标是，点A的坐标是，，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
即点B的坐标为；
故答案为：；
小问2详解】
解：；
作延长线交的延长线于点F， 如图，

∵是等腰直角三角形，，直角顶点B在x轴上，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵y轴恰好平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：作，如图，
∵，轴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵是等腰直角三角形，，直角顶点B在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为定值；
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．