河南省洛阳市八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省洛阳市八年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共8页。
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名，准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题共有4个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2. 长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星发射中心点火升空，成功将高光谱综合观测卫星送入预定轨道，该卫星搭载的可见短波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：数据“”用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可．
【详解】解：∵、分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
4. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. 平分D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质逐项分析判定即可．
【详解】解：∵，是边上的高，
∴，，即平分，
∴，
故选项A、C、D正确，不符合题意，
而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
5. 下列计算或运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，注意平方差公式和完全平方公式的应用．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
6. 将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质．先求出的度数，再根据三角形外角的性质得出，即可求出的度数．
【详解】解：由三角板的性质可得，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程去分母，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程去分母的步骤．分式方程去分母化为整式方程是要先确定几个分母的最简公分母，和的最简公分母是，再将方程两边同时乘以几个分母的最简公分母约去分母．
【详解】解：因为和的最简公分母是，
所以分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以，即．
故选：C．
8. 如图，小亮和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ）
A. 小亮、小明均正确B. 只有小明正确C. 只有小亮正确D. 小亮、小明均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】由作图可知，作出的三角形全等，利用全等三角形的性质可以解题．
【详解】如图，
，
；
小亮作图正确；
由作图可知，
C是线段垂直平分线，
，
，
，
小明作图正确；
故选A．
【点睛】本题考查作图——基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里／天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等可得方程．
【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，
根据题意，得．
故选：D．
10. 如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为 的正方形场地．场地甲中间有一个边长为 的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为 、宽为 的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据图形分别用含a、b的式子表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案．
【详解】解：甲中草坪面积为，乙中草坪面积为，
∴甲、乙两块场地中草坪面积的比是，
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 若分式的值等于0，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据“分式的值为0的条件为分子等于0，分母不等于0”，即可求解．
【详解】解：∵分式的值等于，
∴且．
∴．
故答案为：．
12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查内角和与外角和的知识，任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的倍则内角和是，边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．关键在于设立未知数，转化为方程的问题来解决．属于基础题．
【详解】解：由题意得，
解得，
故答案为：
13. 如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的判定和三角形内角和定理，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的判定定理得到平分，平分，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：在中，，
∵点O在内，且到三边的距离相等，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
故答案：．
14. 如图，，，若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质；先根据，，得是的垂直平分线，进而证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：3．
15. 中，，点、分别在、边上，将沿折叠，使点落在直线上的点处，当为直角三角形时，的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识．由题意知，当为直角三角形时，分①，②，两种情况计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由折叠的性质可知，，，
当为直角三角形时，分①，②，两种情况求解；
①当时，，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 解答下列各题：
（1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，乘法公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据乘法公式，单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，即可作答．
（2）运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，的三个顶点分别在方格纸的格点上．
（1）在图中画出关于直线成轴对称的图形；（点的对称点分别是点）
（2）在直线上求作一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置．这样画图的依据是______；
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，依据：两点之间，线段最短
【解析】
【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）连接，交直线于点P，则点P即为所求．由题意知，这样画图的依据是两点之间线段最短．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
；
【小问2详解】
解：如图，点P即为所求．
这样画图的依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
18. 先化简：，再从，和中选一个你认为合适的数作为的值代入求值．
【答案】；当时，原式=
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算法则．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，1和2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【详解】解： 原式
，
∵，
∴当时，原式．
19. 如图，在和中，，点A，，，在同一直线上，有如下三个关系式：①，②，③．用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，得到你认为成立的一个命题，然后再证明．
选择______（填序号）条件，______为结论．
【答案】①②，③；证明见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】选择①②为条件，③为结论，利用平行线的性质得出，结合图形得出，利用全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】解：选择①②为条件，③为结论，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
20. 根据以下素材，完成调查活动．
【答案】提出问题1：求出七、八年级志愿者的人数？解决问题：七年级的志愿者有90人，八年级的志愿者有72人；提出问题2：求出七、八年级志愿人均植树数？解决问题：七年级人均植树8棵，八年级人均植树10棵
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
提出问题1：求出七年级、八年级两支志愿者的人数？设七年级志愿者有x人，则八年级志愿者有人，利用人均植树数植树总棵数志愿者的人数，结合八年级比七年级人均植树多2棵树苗，可列出关于x的分式方程，据此求解即可；
提出问题2：求出七、八年级志愿人均植树数？设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，根据题意列出关于y的分式方程，据此求解即可．
【详解】解：提出问题1：求出七、八年级志愿者的人数？
解决问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级的志愿者有90人，八年级的志愿者有72人；
提出问题2：求出七、八年级志愿人均植树数？
解决问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，，
答：七年级人均植树8棵，八年级人均植树10棵．
21. 如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）当是等腰三角形时，请直接写出的度数；
【答案】（1）见解析 （2）的度数为或．
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形三角形的判定和性质．
（1）先根据得，进而可依据判定和全等；
（2）依题意和都是等腰直角三角形，设，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质得，，进而得，，由此得，则，因此当是等腰三角形时，有以下两种情况：①当时，②当时，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵是的一个外角，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴当是等腰三角形时，有以下两种情况：
①当时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，
解得：，
∴；
综上所述：当是等腰三角形时的度数为或．
22. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请推导出下列三个代数式之间等量关系；
（3）如图3，点是线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）
（2）
（3）阴影部分面积为
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算的几何应用，解题的关键是利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解．
（1）利用线段关系得出阴影部分的正方形的边长，从而求出周长；
（2）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式；
（3）用数形结合思想，用完全平方公式解决几何面积问题．
【小问1详解】
解：阴影部分的正方形边长为，
故其周长为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可以表示为：，
因此，
故答案为：；
【小问3详解】
解：设，，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
解得，
由题意：，
∴阴影部分的面积为：．
23. 【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形，角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在中，，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段，，之间的数量关系；
【拓展应用】
（2）如图②，在中，，为的邻补角的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【探究延伸】
（3）如图③，在中，，，，，为的角平分线，是的邻补角的角平分线时，请直接写出和的面积．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），
【解析】
【分析】（1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明；
（2）在的延长线上取一点G，使，连接，可证明，得，，可推导出，则，所以；
（3）在边上截取，连接，过点C作于G，过点A作于H，，根据等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义及勾股定理分别计算，，的长，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：（1），理由如下：
在上截取，连接，如图1，
∵为的角平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图2，在的延长线上取一点G，使，连接，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图3，在边上截取，连接，过点C作于G，过点A作于H，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积，
的面积．
【点睛】此题是三角形的综合题，重点考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，运用类比的方法正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数
调查活动
素材1
为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动
素材2
小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：
①七年级、八年级两支志愿者植树各720棵树苗；
②八年级比七年级人均植树多2棵树苗；
③八年级的学生人数比七年级的人数少．
交流质疑
小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”，“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究．
问题解决
任务
你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．