北师大版 (2019)必修 第二册正弦函数和余弦函数的概念及其性质优秀学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册正弦函数和余弦函数的概念及其性质优秀学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cs α＝x，tan α=yx．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
1．已知角θ的终边经过点(2，−1)，则sinθ＝（ ）
A．63B．−63C．33D．−33
【答案】D
【解答】解：因为角θ的终边经过点(2，−1)，
则sinθ=−12+1=−33．
故选：D．
2．设θ∈R，则“θ=π6，是“sinθ=12”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：设θ∈R，若“θ=π6时，则“sinθ＝sinπ6=12”故“θ=π6，能推出“sinθ=12”，
若“sinθ=12”则“θ=π6+2kπ，k∈Z；或θ=5π6+2kπ，k∈Z；
故：“sinθ=12”不能推出“θ=π6，
由充要条件可判断：θ∈R，“θ=π6，是“sinθ=12”的充分不必要条件，
故选：B．
3．“x=π6”是“sinx=12”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为由x=π6可以推出sinx=12，
所以“x=π6”是“sinx=12”的充分条件，
由sinx=12，可得x=π6+2kπ，k∈Z或x=5π6+2kπ，k∈Z，
所以“x=π6”不是“sinx=12”的必要条件，
所以“x=π6”是“sinx=12”的充分不必要条件．
故选：A．
4．已知角α终边上一点P坐标为（1，3），则3csα−2sinα2csα+3sinα=（ ）
A．511B．−511C．311D．−311
【答案】D
【解答】解：由题可得：|OP|=12+32=10，
故sinα=310，csα=110，
故3csα−2sinα2csα+3sinα=310−610210+910=−311．
故选：D．
5．角α的终边过点（2sin30°，﹣2cs30°），则csα的值为（ ）
A．12B．32C．−32D．−12
【答案】A
【解答】解：由题意r＝2，则csα=2sin30°2=sin30°=12．
故选：A．
6．已知点P(−26，m)在角α的终边上，且sinα=15．
（1）求m的值；
（2）求csα，tanα的值；
（3）化简并求值：sin(−π−α)⋅cs(π2+α)sin(π2−α)⋅sin(π−α)⋅cs(π+α)．
【答案】（1）1；
（2）csα=−265，tanα=−612；
（3）原式=tanαcsα=524．
【解答】解：（1）由题意得sinα=m24+m2=15，解得m＝1；
（2）由（1）得P（−26，1），可得r＝|OP|=(−26)2+12=5，
所以csα=xr=−265，tanα=yx=1−26=−612．
（3）原式=sinα⋅(−sinα)csα⋅sinα⋅(−csα)=sinαcsα⋅csα=tanαcsα=−612−265=524．
▉题型2 三角函数线
【知识点的认识】
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
7．已知a=43，b=sin43，c=tan43，则（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】C
【解答】解：画出θ∈（0，π2）时对应的三角函数线，
如图所示：
结合图形和三角函数的定义可得：|sinθ|＝|AC|，tanθ＝|BD|，BC=θ，
设扇形OBC的面积为S1，则S1=12θ，S△OBC=12OB⋅AC=12sinθ，S△OBD=12OB⋅BD=12tanθ，
又S△OBC＜S1＜S△OBD，故12sinθ＜12θ＜12tanθ，
可得sinθ＜θ＜tanθ，θ∈∈（0，π2），
又因为43∈（0，π2），所以sin43＜43＜tan43，即b＜a＜c．
符合条件的只有选项C．
故选：C．
8．若a＝tan7，b=sinπ6，c=tan100π3，则a，b，c为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【答案】B
【解答】解：由于π6＜7−2π＜π4，故a=tan7=tan(7−2π)∈(33，1)，
而33＞12=sinπ6=b，故a＞b，
又c=tan100π3=tan(32π+4π3)=tan4π3=3，
即c＞a＞b．
故选：B．
（多选）9．下列关系式成立的有（ ）
A．sin（﹣1）＜﹣1＜tan（﹣1）
B．cs(32π−1)=−sin1
C．1+2sin1cs1=sin1+cs1
D．sin1＜cs1
【答案】BC
【解答】解：A：由正弦函数的值域可得sin（﹣1）＞﹣1，故A错误；
B：由诱导公式cs(32π−α)=−sinα可知cs(32π−1)=−sin1，故B正确；
C：因为sin1＞0，cs1＞0，所以1+2sin1cs1=(sin1+cs1)2=sin1+cs1，故C正确；
D：因为π4＜1＜π2，所以sin1＞22＞cs1，故D错误．
故选：BC．
10．已知函数f(x)=cs(7π+x)cs(5π2−x)cs(9π−x)．
（1）求f(2026π3)；
（2）求不等式2[f（x）]2＞1+sinx的解集．
【答案】（1）−32．
（2）{x|2kπ−5π6＜x＜2kπ−π6，k∈Z}．
【解答】解：（1）∵f（x）=cs(7π+x)cs(5π2−x)cs(9π−x)=−csxsinx−csx=sinx，
∴f(2026π3)=sin(2026π3)=sin(674π+4π3)=sin4π3=−sinπ3=−32．
（2）由f（x）＝sinx知，2[f（x）]2＞1+sinx可化为2sin2x﹣sinx﹣1＞0，
可得（2sinx+1）（sinx﹣1）＞0，
解得sinx＜−12或sinx＞1（舍去），
∴2kπ−5π6＜x＜2kπ−π6，k∈Z，
∴2[f（x）]2＞1+sinx的解集为{x|2kπ−5π6＜x＜2kπ−π6，k∈Z}．
▉题型3 三角函数值的符号
【知识点的认识】
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11．若α是第一象限角，则下列结论一定成立的是（ ）
A．sinα2＞0B．csα2＞0
C．tanα2＞0D．sinα2csα2＜0
【答案】C
【解答】解：因为α在第一象限，所以2kπ＜α＜π2+2kπ，k∈Z，
所以kπ＜α2＜π4+kπ，k∈Z，所以α2是第一、三象限角，
当α2是第一象限角时，sinα2＞0，csα2＞0，tanα2＞0，sinα2csα2＞0；
当α2是第三象限角时，sinα2＜0，csα2＜0，tanα2＞0，sinα2csα2＞0；
综上，tanα2＞0一定成立．
故选：C．
12．点A（tan4，cs2）在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解答】解：因为2∈(π2，π)，所以cs2＜0，又4∈(π，3π2)，所以tan4＞0，
所以点A（tan4，cs2）在平面直角坐标系中位于第四象限．
故选：D．
13．若csα＜0，且sin2α＞0，则角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解答】解：因为csα＜0，且sin2α＝2sinαcsα＞0，
所以csα＜0且sinα＜0，
所以角α的终边在第三象限．
故选：C．
（多选）14．若角α的终边在第四象限，则3sinα2|sinα2|−2csα2|csα2|−tanα2|tanα2|的值可能为（ ）
A．0B．4C．6D．﹣4
【答案】CD
【解答】解：因为角α的终边在第四象限，所以−π2+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，
所以−π4+kπ＜α2＜kπ，k∈Z，即α2是第二象限角或第四象限角．
当α2是第四象限角时，3sinα2|sinα2|−2csα2|csα2|−tanα2|tanα2|=−3−2−(−1)=−4；
当α2是第二象限角时，3sinα2|sinα2|−2csα2|csα2|−tanα2|tanα2|=3−(−2)−(−1)=6．
故选：CD．
（多选）15．给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）
A．如果α≠β，那么sinα≠sinβ
B．如果sinα≠sinβ，那么α≠β
C．如果θ是第一或第二象限角，那么sinθ＞0
D．如果sinθ＞0，那么θ是第一或第二象限角
【答案】BC
【解答】解：对于A，如果α≠β，那么sinα≠sinβ，错误，如α=π3，β=2π3，π3≠2π3，但sinα＝sinβ；
对于B，如果sinα≠sinβ，那么α≠β，其逆否命题：如果α＝β，那么sinα＝sinβ，正确，故原命题正确，即B正确；
对于C，θ是第一或第二象限角，由正弦函数的性质可知，sinθ＞0，故C正确；
对于D，如果sinθ＞0，那么θ是第一或第二象限角或θ的终边为y轴正半轴，故D错误；
故选：BC．
▉题型4 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2πω．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为π|ω|．
③利用图象．图象重复的x的长度．
16．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（ ）
A．y＝tan2xB．y=tan(x+π4)
C．y=cs(2x+32π)D．y=sin(2x+π2)
【答案】C
【解答】解：对于A，y＝tan2x的最小正周期为π2，故A错误；
对于B，y=tan(x+π4)为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，y=cs(2x+32π)=sin2x，易知为奇函数，且最小正周期为2π2=π，故C正确；
对于D，y=sin(2x+π2)=cs2x为偶函数，故D错误．
故选：C．
17．函数y＝3cs（25x−π6）的最小正周期是（ ）
A．2 π5B．5 π2C．2πD．5π
【答案】D
【解答】解：由周期公式可得：函数y＝3cs（25x−π6）的最小正周期T=2π25=5π．
故选：D．
18．已知ω＞1，函数f(x)=4sin(ωx+φ)(−π2＜φ＜π2)的最小正周期与函数g（x）＝tan（ω﹣1）x的最小正周期相等．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）解不等式g(2x)≥3；
（3）若f(0)=−23，求f（x）在[π4，π2]上的值域．
【答案】（1）π；
（2）[π6+kπ2，π4+kπ2)(k∈Z)；
（3）[2，4]．
【解答】解：（1）由题意得2πω=πω−1，解得ω＝2，
所以f（x）＝4sin（2x+φ），最小正周期T=2π2=π．
（2）由（1）知，g（x）＝tanx，不等式g(2x)≥3即tan2x≥3，
结合正切函数的性质，解得π3+kπ≤2x＜π2+kπ(k∈Z)，
即π6+kπ2≤x＜π4+kπ2(k∈Z)，
所以不等式g(2x)≥3的解集为[π6+kπ2，π4+kπ2)(k∈Z)．
（3）由（1）知f（x）＝4sin（2x+φ），
根据f（0）=4sinφ=−23，解得sinφ=−32，
结合−π2＜φ＜π2，可知φ=−π3，f(x)=4sin(2x−π3)，
当x∈[π4，π2]时，2x−π3∈[π6，2π3]，
因为f（x）max＝f（5π12）＝4sinπ2=4，f（x）min＝f（π4）＝4sinπ6=2，
所以f（x）在[π4，π2]上的值域为[2，4]．
▉题型5 诱导公式
【知识点的认识】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
公式
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2−x）＝csx
②余弦函数：表达式为y＝csx；
有cs（π+x）＝cs（π﹣x）＝﹣csx，cs（﹣x）＝csx，cs（π2−x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（π2−x）＝ctx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝ctx；
ct（﹣x）＝﹣ctx，ct（π2−x）＝tanx，ct（π+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cs（α+2kπ）＝csα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα．
公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cs（π﹣α）＝﹣csα．
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα=sinαcsα化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cs θ）2＝1±2sin θcsθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cs2θ＝cs2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
19．已知sin(60°+α)=−14，则cs（30°﹣α）的值为（ ）
A．−14B．14C．−223D．223
【答案】A
【解答】解：cs(30°−α)=cs[90°−(60°+α)]=sin(60°+α)=−14．
故选：A．
20．已知cs（π﹣α）=−45，则sin（α+π2）＝（ ）
A．35B．45C．−35D．−45
【答案】B
【解答】解：∵cs（π﹣α）=−45，
∴csα=45，
∴sin（α+π2）＝csα=45．
故选：B．
21．已知α、β均为第二象限角，且cs(α−π2)=55，sinβ=1010．
（1）求csα的值；
（2）求tan（α+β）的值．
【答案】（1）−255；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）由诱导公式可知sinα=cs(α−π2)=55，
所以csα=−255；
（2）由第一问可知tanα=−12，同理tanβ=−13，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−1．
▉题型6 运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
22．sin4π3=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】A
【解答】解：∵sin4π3=sin（π+π3）＝﹣sinπ3=−32．
故选：A．
23．cs480°的值为 −12 ．
【答案】−12
【解答】解：∵cs480°＝cs（360°+120°）＝c0s120°=−12．
∴cs480°的值为−12．
故答案为：−12．
24．已知f(α)=sin(π−α)cs(2π−α)sin(3π2−α)cs(π+α)cs(7π2−α)．
（1）化简f（α）；
（2）若θ是第三象限角，且f(θ+π4)=35，求f(θ−π4)的值．
【答案】（1）f（α）＝﹣csα；
（2）45．
【解答】解：（1）f(α)=sinαcsα(−csα)(−csα)(−sinα)=−csα．
（2）因为f（α）＝﹣csα，f(θ+π4)=35，所以cs(θ+π4)=−35，
又因为θ是第三象限角，所以θ+π4为第三象限角，
所以sin(θ+π4)=−1−cs2(θ+π4)=−45，
故f(θ−π4)=−cs(θ−π4)=−cs(π4−θ)=−cs[π2−(θ+π4)]=−sin(θ+π4)=45．
▉题型7 正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcs x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x+b（sin x±cs x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求解．
25．函数y=csx+sinx2的值域为 [−2，98] ．
【答案】[−2，98]．
【解答】解：由函数y=csx+sinx2=−2sin2x2+sinx2+1=−2(sinx2−14)2+98，
因为sinx2∈[−1，1]，当sinx2=14时，函数取得最大值ymax=98，
当sinx2=−1时，函数取得最小值ymin＝﹣2，
所以函数的值域为[−2，98]．
故答案为：[−2，98]．
26．已知函数f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[−12，14]，则n﹣m的取值范围为 [π3，2π3] ．
【答案】[π3，2π3]．
【解答】解：f（x）＝sinx•sin（x+π3）−14
＝sinx（12sinx+32csx）−14
=12sin2x+32sinxcsx−14
=14（1﹣cs2x）+34sin2x−14
=12（32sin2x−12cs2x）
=12sin（2x−π6），值域为[−12，14]，
sin（2x−π6）∈[﹣1，12]，
所以2x−π6∈[2kπ−7π6，2kπ+π6]，
故x∈[kπ−π2，kπ+π6]，k∈Z，
kπ+π6−（kπ−π2）=2π3，
所以n﹣m最大值为2π3；
令2x−π6=−π2，得x=−π6，
令2x−π6=π6，得x=π6，
所以n﹣m的最小值为π6−（−π6）=π3，
所以n﹣m的取值范围是[π3，2π3]．
故答案为：[π3，2π3]．
27．已知函数f(x)=2sin(2x−π6)+a，a为常数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，π2]时，|f（x）|的最大值为3，求a的值．
【答案】（1）π；（2）a＝﹣2或a＝1．
【解答】解：（1）因为f(x)=2sin(2x−π6)+a，所以f（x）的最小正周期T=2π2=π．
（2）当x∈[0，π2]时，2x−π6∈[−π6，5π6]，f（x）∈[﹣1+a，2+a]，
即﹣1+a＝﹣3，2+a≤3；或2+a＝3，﹣1+a≥﹣3，故a＝﹣2或a＝1．
▉题型8 正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
28．若函数y＝sin（πx−π6）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为（ ）
A．13B．12C．23D．1
【答案】C
【解答】解：由y＝sin（πx−π6），可得当−π2+2kπ≤πx−π6≤π2+2kπ，k∈Z时函数单调递增，
即x∈[−13+2k，23+2k]，k∈Z，
当k＝0时，x∈[−13，23]，
又函数在[0，m]上单调递增，
所以0＜m≤23，即m的最大值为23．
故选：C．
29．若函数f(x)=sin(ωx+π3)（ω＞0）在（π2，π）上单调，且在（0，π4）上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）
A．(13，2]B．(23，2]C．(23，76]D．(13，76]
【答案】C
【解答】解：函数f(x)=sin(ωx+π3)在（0，π4）上存在极值点，
故该极值点满足π3＜π2＜π4ω+π3；
所以ω＞23，
由于函数f（x）在（π2，π）上单调，
故T≥2(π−π2)=π，
所以ω≤2；
所以23＜ω≤2；
当x=π2时，7π12＜ωx+π3≤4π3；
当x＝π时，ωπ+π3≤3π2，解得：ω≤76．
综上所述：23＜ω≤76．
即ω的取值范围是（23，76]．
故选：C．
30．已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω＞0)在[−π4，−π12]上单调递减，则ω的取值范围为 （0，4] ．
【答案】（0，4]．
【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω＞0)在[−π4，−π12]上单调递减，
故π2+2kπ≤ωx−π6≤2kπ+3π2，（k∈Z）整理得：2kπ+2π3ω≤x≤2kπ+5π3ω，（k∈Z）；
故[−π4，−π12]⊆[2kπ+2π3ω，2kπ+5π3ω]（k∈Z）；
故：2kπ+2π3ω≤−π42kπ+5π3ω≥−π12，（k∈Z），由于ω＞0，解得0＜ω≤4．
故ω的范围为（0，4]．
故答案为：（0，4]．
31．将y=2sin(x+π3)的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到y＝f（x）的图象．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程；
（3）求不等式f（x）＞0的解集．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据函数图象变换，可得f(x)=2sin(2x+π3)+1，
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以f（x）的递增区间为[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z；
（2）令2x+π3=kπ+π2，k∈Z，得x=12kπ+π12，k∈Z，
所以f（x）图象的对称轴方程为x=12kπ+π12，k∈Z；
（3）由f（x）＞0，得sin(2x+π3)＞−12，
所以2kπ−π6＜2x+π3＜2kπ+7π6，k∈Z，解得kπ−π4＜x＜kπ+5π12，k∈Z，
所以f（x）＞0的解集为(kπ−π4，kπ+5π12)，k∈Z．
▉题型9 余弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcs x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x+b（sin x±cs x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求解．
32．已知函数f(x)=3cs(2ωx+π6)(ω＞0)，若f（x）在区间[0，π）内有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A．(76， 1712]B．[73， 176]C．[76， 53)D．[76， 1712)
【答案】A
【解答】解：当x∈[0，π）时，2ωx+π6∈[π6，2πω+π6)，
由于函数f（x）在区间[0，π）上有且仅有3个零点和2条对称轴，
根据余弦函数的图象与性质，
可得5π2＜2πω+π6≤3π，解得76＜ω≤1712，即ω∈(76，1712]．
故选：A．
33．函数f(x)=−3cs(2x+π6)+1，x∈[−π4，π3]的值域为（ ）
A．[−12，52]B．[1−3，−12]C．[1−3，52]D．[1−32，52]
【答案】C
【解答】解：因为x∈[−π4，π3]，所以2x+π6∈[−π3，5π6]，
所以cs（2x+π6）∈[−32，1]，所以−3cs（2x+π6）∈[−3，32]，
所以f（x）的值域为[1−3，52]．
故选：C．
34．已知函数f（x）＝acsx+b的最大值为1，最小值为﹣3，则函数g（x）＝absinx+3的最大值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【答案】A
【解答】解：f（x）＝acsx+b，
若a＞0，由题意可得a+b=1−a+b=−3，解得a=2b=−1，
所以g（x）＝﹣2sinx+3≤5（当sinx＝﹣1时取等号）；
若a＜0，由题意可得−a+b=1a+b=−3，解得a=−2b=−1，
所以g（x）＝2sinx+3≤5（当sinx＝1时取等号）．
综上所述，g（x）的最大值为5．
故选：A．
35．已知π6，t是函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的两个零点，|t−π6|的最小值为π2，且|f(π6+π2ω)|=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[−π，−π2]上的值域．
【答案】（1）f(x)=2cs(2x+π6)；
（2）[−2，3]．
【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，
因为π6，t是函数f（x）的两个零点，|t−π6|的最小值为π2，
所以T2=πω=π2，ω＝2．
由f(π6)=0得cs(2×π6+φ)=0，
因为0＜φ＜π2，所以π3+φ=π2，φ=π6，
由|f(π6+π2ω)|=2，可得|f(π6+π2ω)|=|f(5π12)|=|Acs(2×5π12+π6)|=|−A|=2，
解得A＝2，
所以f(x)=2cs(2x+π6)．
（2）当−π≤x≤−π2时，−11π6≤2x+π6≤−5π6，
因为y＝csx在[−11π6，−π]上单调递减，在[−π，−5π6]上单调递增，
且cs(−11π6)=cs(−2π+π6)=csπ6=32，cs（﹣π）＝﹣1，cs(−5π6)=−32，
所以−2≤2cs(2x+π6)≤3，
即f（x）在[−π，−π2]上的值域为[−2，3]．
▉题型10 余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
36．若函数f(x)=2cs(ωx+π3)(ω＞0)在区间[0，π3]上单调递减，则ω的取值范围为（ ）
A．(0，12]B．（0，1]C．(0，32]D．（0，2]
【答案】D
【解答】解：由题意函数f(x)=2cs(ωx+π3)(ω＞0)在区间[0，π3]上单调递减，
由0≤x≤π3，可得π3≤ωx+π3≤π3ω+π3，
可知π3ω+π3≤π，
解得ω≤2，
综上可知，ω的取值范围是（0，2]．
故选：D．
37．若函数f(x)=cs(ωx−π8)(ω＞0)在(−π8，0)上单调递增，则ω的取值范围为 （0，7] ．
【答案】（0，7]．
【解答】解：当x∈(−π8，0)时，ωx−π8∈(−ωπ8−π8，−π8)，
根据f（x）＝cs（ωx−π8）在(−π8，0)上单调递增，
结合余弦函数的性质，可知(−ωπ8−π8，−π8)∈[﹣π，0]，
所以−ωπ8−π8≥−π，解得ω≤7，结合ω＞0，可得ω的取值范围为（0，7]．
故答案为：（0，7]．
38．函数y＝csx在区间[﹣π，a]上单调递增，则实数a的取值范围是 （﹣π，0] ．
【答案】（﹣π，0]．
【解答】解：根据三角函数的性质可得，y＝csx在区间[﹣π，0]上单调递增，
又y＝csx在区间[﹣π，a]上单调递增，
则﹣π＜a≤0，
则a的取值范围为（﹣π，0]．
▉题型11 三角函数的最值
【知识点的认识】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【解题方法点拨】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ 32+22cs（2x+π4） ．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x=1−cs2x2−sin2x2+2•1+cs2x2=32+12（cs2x﹣sin2x）
=32+22cs（2x+π4）．
故答案为：32+22cs（2x+π4）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t=12
∴当t=12时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
39．当x∈[π6，α]时，函数f(x)=csx+1csx−m的最小值为3，最大值为23，则csα＝（ ）
A．5312B．33C．34D．36
【答案】D
【解答】解：根据csα≠0，可知f（x）在x=π2时无定义，所以π6＜α＜π2，
因为y＝csx在(0，π2)上递减，csx∈（0，1），且y=x+1x在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在[π6，α]上单调递增，
可得f(x)min=f(π6)=32+23−m=3，解得m=36，
结合f(x)max=f(α)=csα+1csα−36=23，
整理得csα+1csα=36+23，解得csα=36．
故选：D．
40．当x＝θ时，函数f（x）＝2sinx+csx取得最小值，则sin(θ+π4)= −31010 ．
【答案】−31010．
【解答】解：函数f(x)=2sinx+csx=5sin(x+φ)(sinφ=15，csφ=25)，
∴函数f（x）＝2sinx+csx取得最小值为−5，
则有f(θ)=2sinθ+csθ=−5，①
由sin2θ+cs2θ＝1，②
由①②联立解得sinθ=−25csθ=−15，
∴sin(θ+π4)=22(sinθ+csθ)
=22(−255−55)=−31010．
故答案为：−31010．
41．已知f(x)=sin(x+φ)，φ∈(0，π2)，且f(0)=12．
（1）求φ；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的值域．
【答案】（1）π6；
（2）[−12，1]．
【解答】解：（1）由题意得f(0)=sinφ=12，结合φ∈(0，π2)，可得φ=π6；
（2）由（1）的结论，可得f(x)=sin(x+π6)，当x∈[0，π]时，x+π6∈[π6，7π6]，
可得f（x）的最大值为f（π3）＝sinπ2=1，f（x）的最小值为f（π）＝sin7π6，
所以函数f（x）的值域为[−12，1]．
题型1 任意角的三角函数的定义
题型2 三角函数线
题型3 三角函数值的符号
题型4 三角函数的周期性
题型5 诱导公式
题型6 运用诱导公式化简求值
题型7 正弦函数的定义域和值域
题型8 正弦函数的单调性
题型9 余弦函数的定义域和值域
题型10 余弦函数的单调性
题型11 三角函数的最值