数学必修 第二册正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识优质学案

这是一份数学必修 第二册正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识优质学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2πω．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为π|ω|．
③利用图象．图象重复的x的长度．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（ ）
A．y＝tan2xB．y=tan(x+π4)
C．y=cs(2x+32π)D．y=sin(2x+π2)
2．函数y＝3cs（25x−π6）的最小正周期是（ ）
A．2 π5B．5 π2C．2πD．5π
3．已知ω＞1，函数f(x)=4sin(ωx+φ)(−π2＜φ＜π2)的最小正周期与函数g（x）＝tan（ω﹣1）x的最小正周期相等．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）解不等式g(2x)≥3；
（3）若f(0)=−23，求f（x）在[π4，π2]上的值域．
▉题型2 正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
4．在[0，2π]内函数f(x)=1−2csx+ln(sinx−22)的定义域是（ ）
A．(π4，π3]B．(3π4，5π3]C．[π3，3π4)D．[π3，π4)
5．函数y=sin(2x+π4)在一个周期内的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知方程sin(14x−π8)=12在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝（ ）
A．3πB．4πC．5πD．6π
（多选）7．已知a是实数，则函数f（x）＝1+asinax的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
▉题型3 正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcs x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x+b（sin x±cs x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求解．
8．函数y=csx+sinx2的值域为 ．
9．已知函数f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[−12，14]，则n﹣m的取值范围为 ．
10．已知函数f(x)=2sin(2x−π6)+a，a为常数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，π2]时，|f（x）|的最大值为3，求a的值．
▉题型4 正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
11．若函数y＝sin（πx−π6）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为（ ）
A．13B．12C．23D．1
12．若函数f(x)=sin(ωx+π3)（ω＞0）在（π2，π）上单调，且在（0，π4）上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）
A．(13，2]B．(23，2]C．(23，76]D．(13，76]
13．已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω＞0)在[−π4，−π12]上单调递减，则ω的取值范围为 ．
14．将y=2sin(x+π3)的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到y＝f（x）的图象．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程；
（3）求不等式f（x）＞0的解集．
▉题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+π2，k∈z．
【解题方法点拨】
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝ x=kπ2+3π8(k∈Z) ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cs2x=2sin(2x−π4)+1，
而函数y＝sint的对称轴为t=kπ+π2
则2x−π4=kπ+π2，解得x=kπ2+3π8（k∈Z）
则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x=kπ2+3π8(k∈Z)
故答案为x=kπ2+3π8(k∈Z)．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x−π4看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
15．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间(π6，2π3)上单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数f（x）的两条对称轴，则f(−5π12)=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
16．已知在函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象上，相邻两条对称轴之间的距离为π2．若函数y=f(x−π3)的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（ ）
A．关于点(π12，0)对称B．关于点(−π12，0)对称
C．关于直线x=π12对称D．关于直线x=−π12对称
17．已知函数f（x）＝sinxcs2x+1，若f(α)=12，则f（﹣α）＝（ ）
A．0B．12C．1D．32
▉题型6 余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
18．不等式2csx+3≥0在[﹣π，π]上的解集为（ ）
A．[−π，−2π3]∪[2π3，π]B．[−2π3，2π3]
C．[−π，−5π6]∪[5π6，π]D．[−5π6，5π6]
19．已知直线x=π6是函数f(x)=cs(ωx−π4)（其中ω＞0）的图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间(−π3，π12)上单调，则ω的值为（ ）
A．32B．53C．2D．152
20．若函数f(x)=3cs(ωx+φ)，（ω＞0，|φ|＜π）图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，且f(x)≤f(π3)恒成立，则φ＝（ ）
A．2π3B．−2π3C．π3D．−π3
▉题型7 余弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcs x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x+b（sin x±cs x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求解．
21．已知函数f(x)=3cs(2ωx+π6)(ω＞0)，若f（x）在区间[0，π）内有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A．(76， 1712]B．[73， 176]C．[76， 53)D．[76， 1712)
22．已知函数f（x）＝acsx+b的最大值为1，最小值为﹣3，则函数g（x）＝absinx+3的最大值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
23．函数f(x)=−3cs(2x+π6)+1，x∈[−π4，π3]的值域为（ ）
A．[−12，52]B．[1−3，−12]C．[1−3，52]D．[1−32，52]
24．已知π6，t是函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的两个零点，|t−π6|的最小值为π2，且|f(π6+π2ω)|=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[−π，−π2]上的值域．
▉题型8 余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
25．若函数f(x)=2cs(ωx+π3)(ω＞0)在区间[0，π3]上单调递减，则ω的取值范围为（ ）
A．(0，12]B．（0，1]C．(0，32]D．（0，2]
26．若函数f(x)=cs(ωx−π8)(ω＞0)在(−π8，0)上单调递增，则ω的取值范围为 ．
27．函数y＝csx在区间[﹣π，a]上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
▉题型9 余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝csx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
【解题方法点拨】
例：（中，三角函数的对称性）若函数y=cs(ωx+π3)（ω＞0）的图象相邻两条对称轴间距离为π2，则ω等于
解：因为y＝csx的图象相邻两条对称轴距离为π，要使y=cs(ωx+π3)的图象相邻两条对称轴的距离为π2，则其周期缩小为原来的一半，所以ω＝2．
这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质，从而转化为求周期的问题．
28．已知函数f(x)=cs(2x−aπ3)，则“函数f（x）的图象关于原点对称”是a=−32−6k（k∈Z）”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
29．设函数f(x)=cs(2x−π3)，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线x=−π12对称
B．f（x）的图象关于点(π6，0)对称
C．f(x+π6)是偶函数
D．f（x）在区间[0，π3]上单调递增
（多选）30．已知函数f(x)=3cs(ωx+φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）
A．ω=12
B．φ=−π8
C．函数f(x−5π2)是奇函数
D．f（x）图象的对称中心为点(−π2+kπ，0)(k∈Z)
（多选）31．下列说法正确的是（ ）
A．使y=x+4+ln(1−x)有意义的实数x的取值范围为[﹣4，1）
B．由幂函数f（x）＝（m2﹣3）xm的定义域是R，可知m＝±2
C．若函数f（x）＝cs（2x+φ）的图像关于原点对称，则φ的一个可能取值为2023π
D．若a＝cs64°cs19°+sin64°sin19°，则2a＜3＜3a
▉题型10 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T=2πω，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，π2，π，3π2，2π，求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T=2πω叫做周期，f=1T叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为π|ω|．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M−m2．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|φ|．
32．函数f(x)=2sin(2x+φ)(0＜φ＜π2)的一个对称中心是(π3，0)．
（1）求函数f（x）的最值及x为何值时取到；
（2）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的简图．
33．y=2sin(π4x+π4)，x∈[﹣1，7]．
（1）运用“五点作图法”，列表—描点—连线，做出y=2sin(π4x+π4)，x∈[﹣1，7]的图像．
（2）写出函数的振幅，最小正周期，初相．
34．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ−π3）（ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）为奇函数，且相邻两个对称轴之间的距离π2．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若x∈[0，m]时，方程f（x）=3恰有2个解，求实数m的取值范围．
（3）将函数f（x）的图象向左平移π12个单位长度，把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向上平移一个单位，得到函数g（x）的图象，用“五点法”画出g（x）在[0，2π]上的图象．
题型1 三角函数的周期性
题型2 正弦函数的图象
题型3 正弦函数的定义域和值域
题型4 正弦函数的单调性
题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
题型6 余弦函数的图象
题型7 余弦函数的定义域和值域
题型8 余弦函数的单调性
题型9 余弦函数的对称性
题型10 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ−π2，2kπ+π2）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+π2，2kπ+3π2）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ−π2，kπ+π2）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ−π2（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+π2，k∈Z
对称中心：（kπ+π2，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（kπ2，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）；
递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
x
−φω
−φω+π2ω
π−φω
3πω−φω
2π−φω
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y＝Asin（ωx+φ）
0
A
0
﹣A
0
x
π4x+π4
y